Baire-Kategoriensatz - Baire category theorem

Das Baire-Kategorien-Theorem (BCT) ist ein wichtiges Ergebnis in der allgemeinen Topologie und Funktionsanalyse . Der Satz hat zwei Formen, von denen jede hinreichende Bedingungen dafür liefert , dass ein topologischer Raum ein Baire-Raum ist (ein topologischer Raum, bei dem der Schnitt von abzählbar vielen dichten offenen Mengen immer noch dicht ist).

Versionen des Baire-Kategoriensatzes wurden erstmals 1897 und 1899 unabhängig voneinander von Osgood bzw. Baire bewiesen . Dieser Satz besagt, dass jeder vollständige metrische Raum ein Baire-Raum ist .

Stellungnahme

Ein Baire-Raum ist ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass für jede abzählbare Sammlung offener dichter Mengen ( U n )∞
n = 1, ihr Schnittpunkt ist dicht.

Keine dieser Aussagen impliziert direkt die andere, da es vollständige metrische Räume gibt, die nicht lokal kompakt sind (die irrationalen Zahlen mit der unten definierten Metrik; auch jeder Banach-Raum unendlicher Dimension), und es gibt lokal kompakte Hausdorff-Räume, die nicht metrisierbar (zum Beispiel ist jedes überzählbare Produkt von nicht-trivialen kompakten Hausdorff-Räumen ein solches; auch mehrere in der Funktionalanalyse verwendete Funktionsräume; der überzählige Fort-Raum ). Siehe Steen und Seebach in den Referenzen unten.

  • ( BCT3 ) Ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum mit nichtleerem Inneren oder eine seiner Teilmengen mit nichtleerem Inneren ist keine abzählbare Vereinigung von nirgendwo dichten Mengen.

Diese Formulierung entspricht BCT1 und ist manchmal in Anwendungen nützlicher. Außerdem: Wenn ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ist, dann hat eine dieser abgeschlossenen Mengen einen nichtleeren Innenraum.

Beziehung zum Auswahlaxiom

Der Beweis von BCT1 für beliebige vollständige metrische Räume erfordert eine Form des Auswahlaxioms ; und tatsächlich ist BCT1 über ZF dem Axiom der abhängigen Wahl äquivalent , einer schwachen Form des Wahlaxioms .

Eine eingeschränkte Form des Baire-Kategoriensatzes, bei der auch der gesamte metrische Raum als separierbar angenommen wird , ist in ZF ohne zusätzliche Wahlprinzipien beweisbar. Diese eingeschränkte Form gilt insbesondere für die reelle Gerade , den Baire-Raum ω ω , den Cantor-Raum 2 ω und einen separierbaren Hilbert-Raum wie L 2 (ℝ n ) .

Verwendet

BCT1 wird in der Funktionalanalyse verwendet , um das offene Abbildungstheorem , das geschlossene Graphentheorem und das Uniform-Beschränktheits-Prinzip zu beweisen .

BCT1 zeigt auch , dass jeder vollständigen metrischen Raum ohne isoliert Punkte ist unzählbar . (Wenn X ein zählbarer vollständiger metrischer Raum ohne isoliert Punkte ist, dann wird jeder Singleton { x } in X ist nirgends dicht , und so X ist die ersten Kategorie für sich.) Insbesondere das beweist , dass die Menge aller reellen Zahlen ist unzählbar.

BCT1 zeigt, dass jeder der folgenden Bereiche ein Baire-Raum ist:

  • Der Raum ℝ der reellen Zahlen
  • Die irrationalen Zahlen mit der Metrik definiert durch d ( x , y ) = 1/n + 1, wobei n der erste Index ist, für den sich die Kettenbruchentwicklungen von x und y unterscheiden (dies ist ein vollständiger metrischer Raum)
  • Das Cantor-Set

Nach BCT2 ist jede endlichdimensionale Hausdorff- Mannigfaltigkeit ein Baire-Raum, da sie lokal kompakt und Hausdorff ist. Dies gilt sogar für nicht parakompakte (daher nicht metrisierbare) Mannigfaltigkeiten wie die lange Linie .

BCT wird verwendet, um den Satz von Hartogs zu beweisen , ein grundlegendes Ergebnis in der Theorie mehrerer komplexer Variablen.

BCT3 wird verwendet, um zu beweisen, dass ein Banachraum keine abzählbar unendliche Dimension haben kann.

Nachweisen

Das Folgende ist ein Standardbeweis, dass ein vollständiger pseudometrischer Raum ein Baire-Raum ist.

Sei U n eine abzählbare Sammlung offener dichter Teilmengen. Wir wollen zeigen, dass der Durchschnitt ∩ U n dicht ist. Eine Teilmenge ist genau dann dicht, wenn jede nichtleere offene Teilmenge sie schneidet. Um zu zeigen, dass der Schnitt dicht ist, genügt es zu zeigen, dass jede nichtleere offene Menge W in X einen Punkt x mit allen U n gemeinsam hat . Da U 1 dicht ist, schneidet W U 1 ; also gibt es einen Punkt x 1 und 0 < r 1 < 1 so dass:

B ( x 1 , r 1 ) ⊆ W  ∩ U 1 

wobei B( x , r ) und B ( x , r ) eine offene bzw. geschlossene Kugel bezeichnen, die bei x mit dem Radius r zentriert ist . Da jede U n dicht ist, können wir rekursiv fortfahren, ein Paar von Folgen x n und 0 < r n < . zu finden1/n so dass:

B ( x n , r n ) B ( x n −1 , r n −1 ) U n  .

(Dieser Schritt beruht auf dem Auswahlaxiom und der Tatsache, dass ein endlicher Schnittpunkt offener Mengen offen ist und somit eine offene Kugel mit x n zentriert darin zu finden ist .) Da x n ∈ B( x m , r m ) ist, wenn n > m , haben wir , dass x n ist Cauchy und somit x n konvergiert zu einer gewissen Grenze x durch Vollständigkeit. Für jeden n durch Verschlossen, x ∈ B ( x n , r n ) .

Daher x ∈ W und x ∈ U n für alle n .

Es gibt einen alternativen Beweis von M. Baker für den Beweis des Satzes mit dem Spiel von Choquet .

Siehe auch

Zitate

Verweise

  • Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles" . Ann. Di Mat . 3 : 1–123.
  • Baker, Matt (7. Juli 2014). „Reale Zahlen und unendliche Spiele, Teil II: Das Choquet-Spiel und das Baire-Kategorie-Theorem“ . Mathe-Blog von Matt Baker .
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  • Gamelin, Theodore W. ; Greene, Robert Everist . Einführung in die Topologie (2. Aufl.). Dover.
  • Levy, Azriel (2002) [Erstveröffentlicht 1979]. Grundlegende Mengenlehre (Reprinted ed.). Dover. ISBN 0-486-42079-5.
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  • Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces , Warszawa: Institut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk

Externe Links