Abschnitt (Kategorietheorie) - Section (category theory)
In der Kategorietheorie , einem Zweig der Mathematik , ist ein Abschnitt eine Rechtsumkehrung eines Morphismus . Doppelt ist ein Rückzug eine linke Umkehrung eines Morphismus . Mit anderen Worten, wenn f : X → Y und g : Y → X Morphismen sind, deren Zusammensetzung f o g : Y → Y der Identitätsmorphismus auf Y ist , dann ist g ein Abschnitt von f und f ist ein Rückzug von g .
Jeder Abschnitt ist ein Monomorphismus (jeder Morphismus mit einer linken Umkehrung ist linksauslöschend ), und jeder Rückzug ist ein Epimorphismus (jeder Morphismus mit einer rechtsinversen ist rechtsauslöschend ).
In der Algebra werden Abschnitte auch als geteilte Monomorphismen und Retraktionen auch als geteilte Epimorphismen bezeichnet . In einer abelschen Kategorie , wenn f : X → Y ist ein geteiltes Epimorphismus mit geteiltem Monomorphie g : Y → X , dann X ist isomorph zu der direkten Summe von Y und dem Kernel von f . Das Synonym Coretraction für Abschnitt wird manchmal in der Literatur gesehen, wenn auch selten in neueren Arbeiten.
Terminologie
Das Konzept eines Rückzugs in der Kategorietheorie beruht auf dem im Wesentlichen ähnlichen Begriff eines Rückzugs in der Topologie : Wo ein Unterraum von ist, ist ein Rückzug im topologischen Sinne, wenn es sich um einen Rückzug der Einschlusskarte im Sinne der Kategorietheorie handelt. Das Konzept der Topologie wurde 1931 von Karol Borsuk definiert .
Borsuks Schüler Samuel Eilenberg war mit Saunders Mac Lane der Begründer der Kategorietheorie, und da die frühesten Veröffentlichungen zur Kategorietheorie verschiedene topologische Räume betrafen, hätte man erwarten können, dass dieser Begriff ursprünglich verwendet wurde. Tatsächlich verwendeten ihre früheren Veröffentlichungen, beispielsweise bis zur Homologie von Mac Lane (1963) , den Begriff rechts invers. Erst 1965, als Eilenberg und John Coleman Moore den doppelten Begriff "Koretraktion" prägten, wurde Borsuks Begriff allgemein zur Kategorietheorie erhoben. Der Begriff Koretraktion machte Ende der 1960er Jahre dem Begriff Abschnitt Platz.
Sowohl die Verwendung von links / rechts invers als auch von Schnitt / Rückzug wird in der Literatur häufig gesehen: Die erstere Verwendung hat den Vorteil, dass sie aus der Theorie der Halbgruppen und Monoide bekannt ist ; Letzteres wird von manchen als weniger verwirrend angesehen, da man nicht darüber nachdenken muss, in welche Richtung die Komposition geht, ein Problem, das mit der zunehmenden Popularität des Synonym f; g für g∘f größer geworden ist .
Beispiele
In der Kategorie von Sätzen , jede Monomorphie ( injektive Funktion ) mit einer nicht-leeren Domäne ist ein Schnitt, und jeder Epimorphismus ( surjektivität ) ein Zurückziehen; Die letztere Aussage entspricht dem Axiom der Wahl .
In der Kategorie der Vektorräume über einem Feld K teilt sich jeder Monomorphismus und jeder Epimorphismus; Dies folgt aus der Tatsache, dass lineare Karten durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig definiert werden können .
In der Kategorie der abelschen Gruppen teilt sich der Epimorphismus Z → Z / 2 Z, der jede ganze Zahl an ihren Rest Modulo 2 sendet, nicht auf; Tatsächlich ist der einzige Morphismus Z / 2 Z → Z die Nullkarte . In ähnlicher Weise teilt sich der natürliche Monomorphismus Z / 2 Z → Z / 4 Z nicht, obwohl es einen nicht trivialen Morphismus Z / 4 Z → Z / 2 Z gibt .
Das kategoriale Konzept eines Abschnitts ist in der homologischen Algebra wichtig und hängt auch eng mit dem Begriff eines Abschnitts eines Faserbündels in der Topologie zusammen : Im letzteren Fall ist ein Abschnitt eines Faserbündels ein Abschnitt der Bündelprojektionskarte von das Faserbündel.
Bei einem gegebenen Quotientenraum mit Quotientenkarte wird ein Abschnitt von als Transversal bezeichnet .
Literaturverzeichnis
- Mac Lane, Saunders (1978). Kategorien für den arbeitenden Mathematiker (2. Aufl.). Springer Verlag .
- Barry, Mitchell (1965). Theorie der Kategorien . Akademische Presse .