Direktprodukt - Direct product

In der Mathematik kann man oft ein direktes Produkt von bereits bekannten Objekten definieren und ein neues geben. Dies verallgemeinert das kartesische Produkt der zugrunde liegenden Mengen zusammen mit einer geeignet definierten Struktur auf der Produktmenge. Abstrakter spricht man vom Produkt in der Kategorientheorie , die diese Begriffe formalisiert.

Beispiele sind das Produkt von Sätzen, Gruppen (unten beschrieben), Ringen und anderen algebraischen Strukturen . Das Produkt von topologischen Räumen ist ein weiteres Beispiel.

Es gibt auch die direkte Summe – in einigen Bereichen wird dies synonym verwendet, in anderen ist es ein anderer Begriff.

Beispiele

Wenn wir uns die Menge der reellen Zahlen vorstellen, dann ist das direkte Produkt nur das kartesische Produkt . $\mathbb{R}$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$
Wenn wir uns die Gruppe der reellen Zahlen unter Addition vorstellen, dann hat das direkte Produkt immer noch die zugrunde liegende Menge. Der Unterschied zwischen diesem und dem vorherigen Beispiel besteht darin, dass es sich jetzt um eine Gruppe handelt, und daher müssen wir auch sagen, wie ihre Elemente hinzugefügt werden. Dies geschieht durch das Definieren von . $\mathbb{R}$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
Wenn wir uns den Ring der reellen Zahlen vorstellen, dann hat das direkte Produkt wieder die zugrunde liegende Menge. Der Ringstrukturring besteht aus einer durch definierte Addition und einer durch definierte Multiplikation . $\mathbb{R}$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$
Wenn wir uns jedoch den Körper der reellen Zahlen vorstellen, dann existiert das direkte Produkt nicht – eine naive Definition von Addition und Multiplikation komponentenweise wie im obigen Beispiel würde keinen Körper ergeben, da das Element keine multiplikative Inverse hat . $\mathbb{R}$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $(1,0)$

In ähnlicher Weise können wir über das direkte Produkt endlich vieler algebraischer Strukturen sprechen, z . Dies beruht darauf, dass das direkte Produkt bis auf Isomorphie assoziativ ist . Das heißt, für alle algebraischen Strukturen , , und der gleichen Art. Auch das direkte Produkt ist bis auf Isomorphie kommutativ , dh für beliebige algebraische Strukturen und gleicher Art. Wir können sogar vom direkten Produkt unendlich vieler algebraischer Strukturen sprechen; zum Beispiel können wir das direkte Produkt von abzählbar vielen Kopien von nehmen , die wir als schreiben . ${\displaystyle\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$ $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ $A$ $B$ $C$ $A\times B\cong B\times A$ $A$ $B$ $\mathbb{R}$ ${\displaystyle\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\dotsb}$

Direktprodukt der Gruppe

In der Gruppentheorie kann man das direkte Produkt zweier Gruppen ( G , ∘) und ( H , ∙) definieren, bezeichnet mit G × H . Für abelsche Gruppen, die additiv geschrieben werden, kann man sie auch als direkte Summe zweier Gruppen bezeichnen , bezeichnet mit . $G\oplus H$

Es ist wie folgt definiert:

der Satz der Elemente der neuen Gruppe die ist kartesisches Produkt der Sätze von Elementen von G und H , das heißt {( g , h ): g ∈ G , h ∈ H };
Setzen Sie auf diese Elemente eine Operation, die elementweise definiert ist:
( G , h ) x ( g ' h' ) = ( g ∘ g ' h ∙ h ' )

(Beachten Sie, dass ( G , ∘) dasselbe sein kann wie ( H , ∙))

Diese Konstruktion ergibt eine neue Gruppe. Es hat eine normale Untergruppe isomorph zu G (durch die Elemente der Form gegeben ( g , 1)) und ein isomorph zu H (bestehend aus den Elementen (1, h )).

Es gilt auch das Umgekehrte, es gilt folgender Erkennungssatz: Enthält eine Gruppe K zwei Normalteiler G und H , so dass K = GH und der Schnittpunkt von G und H nur die Identität enthält, dann ist K isomorph zu G × H . Eine Lockerung dieser Bedingungen, bei der nur eine Untergruppe normal sein muss, ergibt das semidirekte Produkt .

Als Beispiel nehmen wir als G und H zwei Kopien der einzigartigen (bis auf Isomorphismen) Gruppe der Ordnung 2, C ₂ : sagen wir {1, a } und {1, b }. Dann ist C ₂ × C ₂ = {(1,1), (1, b ), ( a ,1), ( a , b )}, mit der Operation Element für Element. Zum Beispiel (1, b )*( a ,1) = (1* a , b *1) = ( a , b ) und (1, b )*(1, b ) = (1, b ² ) = (1,1).

Mit einem direkten Produkt erhalten wir kostenlos einige natürliche Gruppenhomomorphismen : Die Projektionskarten definieren durch

{\begin{ausgerichtet}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi_{2}:G \times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{ausgerichtet}}

die angerufene Koordinatenfunktionen .

Außerdem ist jeder Homomorphismus f zum direkten Produkt vollständig durch seine Komponentenfunktionen bestimmt . $f_{i}=\pi_{i}\circ f$

Für jede Gruppe ( G , ∘) und jede ganze Zahl n ≥ 0 ergibt die wiederholte Anwendung des direkten Produkts die Gruppe aller n - Tupel G ⁿ (für n = 0 erhalten wir die triviale Gruppe ), zum Beispiel Z ⁿ und R ⁿ .

Direktprodukt von Modulen

Das direkte Produkt für Module (nicht zu verwechseln mit dem Tensorprodukt ) ist dem oben für Gruppen definierten sehr ähnlich, wobei das kartesische Produkt verwendet wird, wobei die Addition komponentenweise erfolgt und die Skalarmultiplikation nur über alle Komponenten verteilt wird. Ausgehend von R erhalten wir den euklidischen Raum R ⁿ , das prototypische Beispiel eines reellen n- dimensionalen Vektorraums. Das direkte Produkt von R ^m und R ⁿ ist R ^{m + n} .

Beachten Sie, dass ein direktes Produkt für einen endlichen Index mit der direkten Summe identisch ist . Die direkte Summe und das direkte Produkt unterscheiden sich nur für unendliche Indizes, bei denen die Elemente einer direkten Summe für alle außer für eine endliche Anzahl von Einträgen Null sind. Sie sind dual im Sinne der Kategorientheorie : Die direkte Summe ist das Kuppelprodukt , während das direkte Produkt das Produkt ist. $\prod_{i=1}^{n}X_{i}$ $\bigoplus_{i=1}^{n}X_{i}$

Betrachten Sie zum Beispiel und , das unendliche direkte Produkt und die direkte Summe der reellen Zahlen. Nur Folgen mit einer endlichen Anzahl von Elementen ungleich Null sind in Y . Zum Beispiel ist (1,0,0,0,...) in Y, aber (1,1,1,1,...) nicht. Beide Sequenzen liegen im direkten Produkt X vor ; tatsächlich ist Y eine echte Teilmenge von X ( dh Y ⊂ X ). $X=\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{R}$ $Y=\bigoplus_{i=1}^{\infty}\mathbb{R}$

Topologisches Raum-Direktprodukt

Das direkte Produkt für eine Sammlung topologischer Räume X _i für i in I , eine Indexmenge, verwendet wiederum das kartesische Produkt

\prod_{i\in I}X_{i}.

Die Definition der Topologie ist etwas schwierig. Für endlich viele Faktoren ist dies naheliegend und natürlich: Nehmen Sie einfach als Basis offene Mengen die Sammlung aller kartesischen Produkte offener Teilmengen jedes Faktors:

{\mathcal{B}}=\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{i}\ \mathrm {offen\ in} \ X_{i}\}.

Diese Topologie wird als Produkttopologie bezeichnet . Wenn man beispielsweise die Produkttopologie auf R ² direkt durch die offenen Mengen von R (disjunkte Vereinigungen offener Intervalle) definiert, würde die Basis für diese Topologie aus allen disjunkten Vereinigungen von offenen Rechtecken in der Ebene bestehen (wie sich herausstellt, fällt es zusammen mit der üblichen metrischen Topologie).

Die Produkttopologie für unendliche Produkte hat eine Wendung, und dies hat damit zu tun, dass man alle Projektionsabbildungen stetig und alle Funktionen in das Produkt stetig machen kann, wenn und nur dann, wenn alle seine Komponentenfunktionen stetig sind (dh um die kategoriale Definition des Produkts: die Morphismen sind hier stetige Funktionen): Wir nehmen als Grundlage von offenen Mengen die Sammlung aller kartesischen Produkte offener Teilmengen aus jedem Faktor, wie zuvor, mit der Maßgabe, dass alle bis auf endlich viele der offenen Teilmengen sind der ganze Faktor:

{\mathcal {B}}=\left\{\prod_{i\in I}U_{i}\ {\Big |}\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n} )(U_{j_{i}}\ \mathrm {offen\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {und} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n })(U_{i}=X_{i})\right\}.

Die natürlicher klingende Topologie wäre in diesem Fall, wie zuvor Produkte aus unendlich vielen offenen Teilmengen zu nehmen, und dies ergibt eine etwas interessante Topologie, die Kastentopologie . Es ist jedoch nicht allzu schwierig, ein Beispiel für ein Bündel stetiger Komponentenfunktionen zu finden, deren Produktfunktion nicht stetig ist (ein Beispiel und mehr finden Sie in der separaten Eingabebox-Topologie). Das Problem, das den Twist notwendig macht, liegt letztlich darin begründet, dass der Schnittpunkt offener Mengen bei der Definition der Topologie garantiert nur für endlich viele Mengen offen ist.

Produkte (mit der Produkttopologie) sind in Bezug auf die Erhaltung der Eigenschaften ihrer Faktoren gut; zum Beispiel ist das Produkt von Hausdorff-Räumen Hausdorff; das Produkt zusammenhängender Räume ist zusammenhängend, und das Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dieser letzte Satz , der Satz von Tychonoff genannt wird , ist eine weitere Äquivalenz zum Auswahlaxiom .

Weitere Eigenschaften und äquivalente Formulierungen finden Sie im separaten Eintrag Produkttopologie .

Direktes Produkt binärer Beziehungen

Definieren Sie auf dem kartesischen Produkt zweier Mengen mit binären Beziehungen R und S ( a , b ) T( c , d ) als a R c und b S d . Wenn R und S beide reflexiv , irreflexiv , transitiv , symmetrisch oder antisymmetrisch sind , dann ist es auch T. In ähnlicher Weise wird die Serialität von T von R und S geerbt . Aus der Kombination von Eigenschaften folgt, dass dies auch für eine Vorbestellung und eine Äquivalenzrelation gilt . Wenn jedoch R und S zusammenhängende Relationen sind , braucht T nicht zusammenhängend zu sein; zum Beispiel bezieht sich das direkte Produkt von ≤ on mit sich selbst nicht auf (1,2) und (2,1). $\mathbb{N}$

Direktprodukt in universeller Algebra

Wenn Σ eine feste Signatur ist , I eine beliebige (möglicherweise unendliche) Indexmenge ist und ( A _i ) _{i ∈ I} eine indizierte Familie von Σ Algebren ist, ist das direkte Produkt A = Π _{i ∈ I} A _i eine Σ Algebra definiert wie folgt:

Die Universumsmenge A von A ist das kartesische Produkt der Universumsmengen A _i von A _i , formal: A = Π _{i ∈ I} A _i ;
Für jedes n- und jedes n- äre Operationssymbol f ∈ Σ ist seine Interpretation f ^A in A formal komponentenweise definiert: für alle a ₁ , ..., a _n ∈ A und jedes i ∈ I , die i- te Komponente von f ^A ( a ₁ , ..., a _n ) ist definiert als f ^{A _i} ( a ₁ ( i ), ..., a _n ( i )) .

Für jedes i ∈ I ist die i- te Projektion π _i : A → A _i definiert durch π _i ( a ) = a ( i ) . Es ist ein surjektiver Homomorphismus zwischen den Σ-Algebren A und A _i .

Als Sonderfall erhält man , wenn die Indexmenge I = { 1, 2 } ist, das direkte Produkt zweier Σ-Algebren A ₁ und A ₂ , geschrieben als A = A ₁ × A ₂ . Wenn Σ nur eine binäre Operation f enthält , erhält man die obige Definition des direkten Produkts von Gruppen unter Verwendung der Notation A ₁ = G , A ₂ = H , f ^{A ₁} = ∘ , f ^{A ₂} = ∙ und f ^A = × . Ebenso wird hier die Definition des direkten Produkts von Modulen subsumiert.

Kategorisches Produkt

Das direkte Produkt kann in eine beliebige Kategorie abstrahiert werden . In einer allgemeinen Kategorie, bei einer gegebenen Sammlung von Objekten A _i und einer Sammlung von Morphismen p _i von A bis A _{i ,} wobei i in einer Indexmenge I liegt , heißt ein Objekt A ein kategoriales Produkt in der Kategorie, wenn für alle Objekt B und einer beliebigen Sammlung von Morphismen f _i von B nach A _i existiert ein eindeutiger Morphismus f von B nach A, so dass f _i = p _i f und dieses Objekt A eindeutig ist. Das funktioniert nicht nur für zwei Faktoren, sondern beliebig (sogar unendlich) viele.

Für Gruppen definieren wir in ähnlicher Weise das direkte Produkt einer allgemeineren, willkürlichen Sammlung von Gruppen G _i für i in I , I einer Indexmenge. Indem wir das kartesische Produkt der Gruppen mit G bezeichnen , definieren wir die Multiplikation auf G mit der Operation der komponentenweisen Multiplikation; und entsprechend dem p _i in der obigen Definition sind die Projektionskarten

\pi_{i}\colon G\to G_{i}\quad\mathrm {by}\quad\pi_{i}(g)=g_{i}

,

die Funktionen, die zu ihrer i- ten Komponente g _{i führen} . $(g_{j})_{j\in I}$

Internes und externes Direktprodukt

Einige Autoren unterscheiden zwischen einem internen Direktprodukt und einem externen Direktprodukt. Wenn und , dann sagen wir, dass X ein internes direktes Produkt von A und B ist , wenn A und B keine Teilobjekte sind, dann sagen wir, dass dies ein externes direktes Produkt ist. $A,B\Teilmenge X$ $A\times B\cong X$

Siehe auch

Anmerkungen

^ W., Weisstein, Eric. "Direktprodukt" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen am 10.02.2018 .
^ W., Weisstein, Eric. "Gruppendirektprodukt" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen 2018-02-10 .
^ Äquivalenz und Ordnung
^ Stanley N. Burris und HP Sankappanavar, 1981. Ein Kurs in universeller Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Hier: Def.7.8, S.53 (=S. 67 in pdf-Datei)

Verweise

Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revidierte dritte Aufl.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

[1] W., Weisstein, Eric. "Direktprodukt" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen am 10.02.2018 .

[2] W., Weisstein, Eric. "Gruppendirektprodukt" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen 2018-02-10 .

[3] Äquivalenz und Ordnung

[4] Stanley N. Burris und HP Sankappanavar, 1981. Ein Kurs in universeller Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Hier: Def.7.8, S.53 (=S. 67 in pdf-Datei)

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