Pauli-Matrizen - Pauli matrices

In der mathematischen Physik und Mathematik sind die Pauli-Matrizen ein Satz von drei 2 × 2 komplexen Matrizen, die hermitesch und unitär sind . Gewöhnlich mit dem griechischen Buchstaben Sigma ( σ ) gekennzeichnet, werden sie gelegentlich mit Tau ( τ ) bezeichnet, wenn sie in Verbindung mit Isospin- Symmetrien verwendet werden.

Diese Matrizen sind nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt . In der Quantenmechanik treten sie in der Pauli-Gleichung auf, die die Wechselwirkung des Spins eines Teilchens mit einem äußeren elektromagnetischen Feld berücksichtigt . Sie repräsentieren auch die Wechselwirkungszustände zweier Polarisationsfilter für horizontale/vertikale Polarisation, 45-Grad-Polarisation (rechts/links) und zirkulare Polarisation (rechts/links).

Jede Pauli-Matrix ist hermitesch , und zusammen mit der Identitätsmatrix I (manchmal als nullte Pauli-Matrix σ _{0 betrachtet} ) bilden die Pauli-Matrizen eine Basis für den reellen Vektorraum von 2 × 2 hermiteschen Matrizen. Dies bedeutet, dass jede 2 × 2 Hermitesche Matrix auf einzigartige Weise als Linearkombination von Pauli-Matrizen geschrieben werden kann, wobei alle Koeffizienten reelle Zahlen sind.

Hermitesche Operatoren stellen Observablen in der Quantenmechanik dar, so dass die Pauli-Matrizen den Raum der Observablen des komplexen 2- dimensionalen Hilbert-Raums überspannen . Im Kontext von Paulis Arbeit repräsentiert σ _k die Observable, die dem Spin entlang der k- ten Koordinatenachse im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht ${\displaystyle \mathbb{R}^{3}.}$

Die Pauli - Matrizen (nach Multiplikation mit i sie machen antihermiteschen auch Transformationen) erzeugen im Sinne von Liealgebren : die Matrizen iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ bilden eine Grundlage für die reale Liealgebra , die potenziert die spezielle einheitliche Gruppe SU(2) . Die Algebra durch die drei Matrizen erzeugt & sgr; ₁ , σ ₂ , σ ₃ ist isomorph zu dem Clifford - Algebra von , und die (unital assoziativen) Algebra , erzeugt durch iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ ist effektiv identisch (isomorph) zu dem von Quaternionen ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$ ${\displaystyle\mathbb{H}}$

Algebraische Eigenschaften

Alle drei Pauli-Matrizen können zu einem einzigen Ausdruck komprimiert werden:

${\displaystyle \sigma_{j}={\begin{pmatrix}\delta_{j3}&\delta_{j1}-i\,\delta_{j2}\\\delta_{j1}+i\ ,\delta_{j2}&-\delta_{j3}\end{pmatrix}}}$

wobei i = √ −1   die " imaginäre Einheit " ist und δ _jk das Kronecker-Delta ist , das gleich +1 ist, wenn j = k und sonst 0. Dieser Ausdruck ist nützlich, um eine der Matrizen numerisch durch Ersetzen von Werten von j = 1, 2, 3 "auszuwählen" , was wiederum nützlich ist, wenn eine der Matrizen (aber keine bestimmte) in algebraischen Manipulationen verwendet werden soll.

Die Matrizen sind involutiv :

${\displaystyle \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma_{3}^{2}=-i\,\sigma_{1}\sigma_{ 2}\sigma_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

wobei I die Identitätsmatrix ist .

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&~=\,-1\,,\\\Operatorname {tr} \sigma _{j}&~=~~~\;0~ .\end{ausgerichtet}}}$

Von denen können wir ableiten , dass jede Matrix   σ _jk   hat Eigenwerte   +1 und -1.

Mit der Aufnahme der Identitätsmatrix ist , I (manchmal bezeichnete σ ₀ ), die Pauli - Matrizen bilden eine orthogonale Basis (im Sinne von Hilbert-Schmidt ) des Hilbert - Raum der realen 2 × 2 - Hermitesche Matrizen, und der Hilbert - Raum von alle komplexen 2 × 2 Matrizen, . ${\displaystyle {\mathcal{H}}_{2}(\mathbb{C})}$ ${\displaystyle {\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{C})}$

Eigenvektoren und Eigenwerte

Jede der ( hermiteschen ) Pauli-Matrizen hat zwei Eigenwerte , +1 und −1 . Die entsprechenden normierten Eigenvektoren sind:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\ ;,&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\;,\\ \psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}\;,&\psi _{y- }&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{z+}&={ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\;,&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}~.\end{aligned }}}$

Pauli-Vektor

Der Pauli-Vektor ist definiert durch

${\displaystyle {\vec {\sigma}}=\sigma_{1}{\hat{x}}_{1}+\sigma_{2}{\hat{x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat{x}}_{3}~,}$

wo sind eine äquivalente Notation für die vertrautere die tiefgestellte Notation ist kompakter als die alte Form. ${\displaystyle \;{\hat{x}}_{1},{\hat{x}}_{2},\,{\text{ und }}\,{\hat{x}}_{3 }\;}$${\displaystyle \;{\hat{x}},{\hat{y}},\,{\text{ und }}\,{\hat{z}}\,;\;}$${\displaystyle\,{\hat{x}}_{1},{\hat{x}}_{2},{\hat{x}}_{3}\,}$${\displaystyle\,{\hat{x}},{\hat{y}},{\hat{z}}\,}$

Der Pauli-Vektor bietet einen Abbildungsmechanismus von einer Vektorbasis zu einer Pauli-Matrixbasis wie folgt:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma}}&=\left(a_{k}{\hat {x}}_{k}\right)\ cdot \left(\sigma_{\ell}{\hat{x}}_{\ell}\right)=a_{k}\sigma_{\ell}{\hat{x}}_{k}\ cdot {\hat {x}}_{\ell}\\\\&=a_{k}\sigma _{\ell}\delta_{k\ell}=a_{k}\sigma _{k}\ \\\&=~a_{1}\;{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~+~a_{2}\;i{\begin{pmatrix}0&-1\\1& \;\;0\end{pmatrix}}~+~a_{3}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a_{3 }&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention . Weiter,

${\displaystyle \det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma}}{\bigr)}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}} =-\left|{\vec{a}}\right|^{2},}$

seine Eigenwerte sind , und außerdem (siehe § Vollständigkeitsrelation , unten) ${\displaystyle \pm |{\vec {a}}|}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma}}{\bigr)} {\vec {\sigma}}{\Bigr)}={\vec {a}}~.}$

Seine normierten Eigenvektoren sind

${\displaystyle \psi_{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{ \begin{bmatrix}a_{3}+|{\vec {a}}|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi_{-}={\frac { 1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1} \\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}$

Kommutierungsbeziehungen

Die Pauli-Matrizen gehorchen den folgenden Kommutierungsrelationen :

${\displaystyle [\sigma_{j},\sigma_{k}]=2i\varepsilon_{jk\ell}\,\sigma_{\ell}~,}$

und Antikommutierungsbeziehungen :

${\displaystyle \{\sigma_{j},\sigma_{k}\}=2\delta_{jk}\,I~.}$

wobei die Strukturkonstante ε _abc das Levi-Civita-Symbol ist , die Einstein-Summierungsnotation verwendet wird, δ _jk das Kronecker-Delta ist und I die 2 × 2- Identitätsmatrix ist.

Zum Beispiel,

Kommutatoren	Antikommutatoren
${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left[\sigma_{1},\sigma_{2}\right]&=2i\sigma_{3}\\\left[\sigma_{2},\ Sigma _{3}\right]&=2i\sigma_{1}\\\left[\sigma_{3},\sigma_{1}\right]&=2i\sigma _{2}\\\ links[\sigma_{1},\sigma_{1}\right]&=0\end{ausgerichtet}}}$	${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left\{\sigma_{1},\sigma_{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma_{1},\sigma_{ 2}\rechts\}&=0\\\links\{\sigma_{1},\sigma_{3}\rechts\}&=0\\\links\{\sigma_{2},\sigma _{2}\right\}&=2I.\end{ausgerichtet}}}$

Beziehung zu Punkt- und Kreuzprodukt

Pauli-Vektoren bilden diese Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen elegant auf entsprechende Vektorprodukte ab. Addiert man den Kommutator zum Antikommutator, erhält man

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left[\sigma_{j},\sigma_{k}\right]+\{\sigma_{j},\sigma_{k}\}&=(\ Sigma_{j}\sigma_{k}-\sigma_{k}\sigma_{j})+(\sigma_{j}\sigma_{k}+\sigma_{k}\sigma_{ j})\\2i\varepsilon_{jk\ell}\,\sigma_{\ell}+2\delta_{jk}I&=2\sigma_{j}\sigma_{k}\end{ausgerichtet }}}$

so dass,

Kontrahieren jeder Seite der Gleichung mit Komponenten von zwei 3- Vektoren a _p und b _q (die mit den Pauli-Matrizen kommutieren, dh a _p σ _q = σ _q a _p ) für jede Matrix σ _q und Vektorkomponente a _p (und ebenfalls mit b _q ) ergibt

${\displaystyle ~~{\begin{ausgerichtet}a_{j}b_{k}\sigma _{\ell}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon_{ jk\ell}\,\sigma_{\ell}+\delta_{jk}I\right)\\a_{j}\sigma_{j}b_{k}\sigma_{k}&=i\ varepsilon_{jk\ell}\,a_{j}b_{k}\sigma_{\ell}+a_{j}b_{k}\delta_{jk}I\end{ausgerichtet}}~.~}$

Schließlich ergibt die Übersetzung der Indexnotation für das Punktprodukt und das Kreuzprodukt

${\displaystyle ~~\left({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)\left({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma}}\right )=\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)\,I+i\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right )\cdot {\vec {\sigma}}~~}$

( 1 )

Wenn i mit dem pseudoskalaren identifiziert σ _x σ _y σ _z dann der rechte Seite wird , die auch die Definition für das Produkt von zwei Vektoren in geometrischer Algebra ist. ${\displaystyle a\cdot b+a\keil b}$

Einige Spurenbeziehungen

Die folgenden Spuren können unter Verwendung der Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen abgeleitet werden.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k }\right)&=2\delta_{jk}\\\Operatorname {tr} \left(\sigma_{j}\sigma_{k}\sigma_{\ell}\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell}\sigma _{m}\right)&=2\left( \delta_{jk}\delta_{\ellm}-\delta_{j\ell}\delta_{km}+\delta_{jm}\delta_{k\ell}\right)\end{ ausgerichtet}}}$

Betrachtet man zusätzlich die Matrix σ ₀ = I , so werden diese Beziehungen zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha}\sigma_{\beta}\right)&=2\delta_{\alpha\beta}\\\Operatorname {tr} \left(\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta }\sigma_{\gamma}\right)&=2\sum_{(\alpha\beta\gamma)}\delta_{\alpha\beta}\delta_{0\gamma}-4\delta_{ 0\alpha}\delta_{0\beta}\delta_{0\gamma}+2i\varepsilon_{0\alpha\beta\gamma}\\\Operatorname {tr} \left(\sigma_{\alpha }\sigma_{\beta}\sigma_{\gamma}\sigma_{\mu}\right)&=2\left(\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\mu}- \delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\mu}+\delta_{\alpha\mu}\delta_{\beta\gamma}\right)+4\left(\delta_{\ alpha \gamma}\delta_{0\beta}\delta_{0\mu}+\delta_{\beta\mu}\delta_{0\alpha}\delta_{0\gamma}\right)- 8\delta_{0\alpha}\delta_{0\beta}\delta_{0\gamma}\delta_{0\mu}+2i\sum_{(\alpha\beta\gamma\mu)} \varepsilon_{0\alpha\beta\gamma}\delta_{0\mu}\end{ausgerichtet}}}$

wobei griechische Indizes α , β , γ und μ Werte von {0, x , y , z } annehmen und die Notation verwendet wird, um die Summe über die zyklische Permutation der enthaltenen Indizes zu bezeichnen. ${\textstyle \sum _{(\alpha\ldots)}}$

Exponential eines Pauli-Vektors

Zum

${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat{n}},\quad |{\hat{n}}|=1,}$

man hat für gerade Potenzen 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle ({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}})^{2p}=I}$

was zunächst für den Fall p = 1 mit Hilfe der Antikommutierungsrelationen gezeigt werden kann. Der Einfachheit halber wird der Fall p = 0 per Konvention als I angenommen .

Für ungerade Potenzen 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \left({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)^{2q+1}={\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}} \,.}$

Matrixexponentiation und Verwendung der Taylor-Reihe für Sinus und Cosinus ,

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}e^{ia\left({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)}&=\sum _{k=0}^{\ infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)\right]^{k}}{k!} }\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}}) ^{2p}}{(2p)!}}+i\sum_{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1 )^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}})\sum _{q=0}^{\ infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{ausgerichtet}}}$.

In der letzten Zeile ist die erste Summe der Kosinus, während die zweite Summe der Sinus ist; so endlich,

${\displaystyle ~~e^{ia\left({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}} \cdot {\vec {\sigma}})\sin {a}~~}$

( 2 )

die der Formel von Euler analog ist , erweitert auf Quaternionen .

Beachten Sie, dass

${\displaystyle \det[ia({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}})]=a^{2}}$,

während die Determinante der Exponentialfunktion selbst nur 1 ist , was sie zum generischen Gruppenelement von SU(2) macht .

Eine abstraktere Version der Formel (2) für eine allgemeine 2 × 2- Matrix finden Sie im Artikel über Matrixexponentialfunktionen . Eine allgemeine Version von (2) für eine analytische (at a und − a ) Funktion ergibt sich durch Anwendung der Sylvester-Formel ,

${\displaystyle f(a({\hat{n}}\cdot {\vec {\sigma}}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\ Hut {n}}\cdot {\vec {\sigma}}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}~.}$

Das Gruppenzusammensetzungsgesetz von SU(2)

Eine einfache Anwendung von Formel (2) liefert eine Parametrisierung des Zusammensetzungsgesetzes der Gruppe SU(2) . Man kann direkt nach c in . auflösen

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)}e^{ib\left({\hat {m} }\cdot {\vec {\sigma}}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b \right)+i\left({\hat{n}}\sin a\cos b+{\hat{m}}\sin b\cos a-{\hat{n}}\times {\hat{m} }~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma}}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\ sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat{k}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)},\end{aligned}}}$

die die generische Gruppenmultiplikation angibt, wobei offensichtlich

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-{\hat{n}}\cdot {\hat{m}}\sin a\sin b~,}$

das Kugelgesetz des Kosinus . Gegeben c ist dann

${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat{n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\ cos a-{\hat{n}}\times {\hat{m}}\sin a\sin b\right)~.}$

Folglich betragen die zusammengesetzten Rotationsparameter in diesem Gruppenelement ( in diesem Fall eine geschlossene Form der jeweiligen BCH-Entwicklung ) einfach

${\displaystyle e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma}}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat{m}}~\sin a\sin b\right) \cdot {\vec {\sigma}}\right)~.}$

(Natürlich, wenn parallel zu ist , ist auch , und c = a + b .) ${\displaystyle {\hat{n}}}$${\displaystyle {\hat {m}}}$${\displaystyle {\hat{k}}}$

Adjoint-Aktion

Ebenso einfach lässt sich die adjungierte Wirkung auf den Pauli-Vektor berechnen, nämlich die Drehung effektiv um den doppelten Winkel a ,

${\displaystyle e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)}~{\vec {\sigma}}~e^{-ia\left({ \hat {n}}\cdot {\vec {\sigma}}\right)}={\vec {\sigma}}\cos(2a)+{\hat{n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(2a)+{\hat{n}}~{\hat{n}}\cdot {\vec{\sigma}}~(1-\cos(2a))~.}$

Vollständigkeitsrelation

Eine alternative Notation, die üblicherweise für die Pauli-Matrizen verwendet wird, besteht darin, den Vektorindex k hochgestellt und die Matrixindizes als tiefgestellte Zeichen zu schreiben , so dass das Element in Zeile α und Spalte β der k- ten Pauli-Matrix σ ^k _{αβ . ist}  .

In dieser Notation lässt sich die Vollständigkeitsrelation für die Pauli-Matrizen schreiben

${\displaystyle {\vec {\sigma}}_{\alpha\beta}\cdot {\vec {\sigma}}_{\gamma\delta}\equiv\sum _{k=1}^{3}\ Sigma_{\alpha\beta}^{k}\,\sigma_{\gamma\delta}^{k}=2\,\delta_{\alpha\delta}\,\delta_{\beta\gamma }-\delta_{\alpha\beta}\,\delta_{\gamma\delta}~.}$

Beweis : Die Tatsache, dass die Pauli-Matrizen zusammen mit der Identitätsmatrix I eine orthogonale Basis für den Hilbertraum aller 2 × 2 komplexen Matrizen bilden, bedeutet, dass wir jede Matrix M als

${\displaystyle M=c\,I+\sum_{k}a_{k}\,\sigma^{k}~}$

wobei c eine komplexe Zahl ist und a ein 3-komponentiger komplexer Vektor ist. Mit den oben aufgeführten Eigenschaften lässt sich leicht zeigen, dass

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma^{j}\,\sigma^{k}\right)=2\,\delta_{jk}}$

wo " tr " die Spur bezeichnet , und daher das

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,\quad \ a_{k}={\tfrac {1}{2 }}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M~.\\[3pt]\daher ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _ {k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{ausgerichtet}}}$

die in Matrixindizes umgeschrieben werden kann als

${\displaystyle 2\,M_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}\,M_{\gamma\gamma}+\sum_{k}\sigma_{\alpha\beta}^{ k}\,\sigma_{\gamma\delta}^{k}\,M_{\delta\gamma}~,}$

wobei die Summation über die wiederholten Indizes impliziert ist γ und δ . Da dies für jede Wahl der Matrix M gilt , folgt die Vollständigkeitsrelation wie oben angegeben. ◻

Wie oben erwähnt, ist es üblich , die 2 x 2 Einheitsmatrix bezeichnen durch & sgr; ₀ , so σ ⁰ _αβ = & dgr; _αβ  . Die Vollständigkeitsrelation kann alternativ ausgedrückt werden als

${\displaystyle \sum_{k=0}^{3}\sigma_{\alpha\beta}^{k}\,\sigma_{\gamma\delta}^{k}=2\,\delta_ {\alpha\delta}\,\delta_{\beta\gamma}~.}$

Die Tatsache, dass beliebige hermitesche komplexe 2 × 2 Matrizen in Bezug auf die Identitätsmatrix und die Pauli-Matrizen ausgedrückt werden können, führt auch zu der Bloch-Kugel- Darstellung der 2 × 2 gemischten Zustands -Dichtematrix, ( positiv semidefinite 2 × 2 Matrizen mit Einheitsspur Dies , indem zuerst. gesehen werden kann , eine beliebige hermitesche Matrix als reelle Linearkombination aus exprimierenden   {  σ ₀ , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃  } ,   wie oben, und dann die positiven semidefinite Auferlegung und Spuren 1 Bedingungen.

Für einen reinen Zustand in Polarkoordinaten

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\phi &\sin\theta\sin\phi &\cos\theta\end{pmatrix}}}$, die idempotente Dichtematrix

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\left(\,\mathbf{1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma}}\,\right)={ \begin{pmatrix}\cos^{2}\left({\frac{\,\theta\,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi}\sin\left({\frac {\,\theta\,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta\,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi} \sin\left({\frac{\,\theta\,}{2}}\right)\cos \left({\frac{\,\theta\,}{2}}\right)&\sin^ {2}\left({\frac{\,\theta\,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$

wirkt auf den Zustandseigenvektor mit Eigenwert +1, also wie ein Projektionsoperator . ${\displaystyle \,{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta\,}{2}}\right)&e^{+i\phi}\,\sin \left({ \frac{\,\theta\,}{2}}\right)\end{pmatrix}}\,}$

Zusammenhang mit dem Permutationsoperator

Lassen P _jk die seine Umsetzung (auch als Permutation bekannt) zwischen zwei Spins σ _j und σ _k im lebenden Tensorproduktes Raum ,${\displaystyle\mathbb{C}^{2}\otimes\mathbb{C}^{2}}$

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma_{j}\sigma_{k}\right\rangle =\left|\sigma_{k}\sigma_{j}\right\rangle ~.}$

Dieser Operator kann auch expliziter als Diracs Spin-Austausch-Operator geschrieben werden.

${\displaystyle P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma}}_{j}\cdot {\vec {\sigma}}_{k}+ 1\rechts)~.}$

Seine Eigenwerte sind daher 1 oder −1. Er kann daher als Wechselwirkungsterm in einem Hamilton-Operator verwendet werden, der die Energieeigenwerte seiner symmetrischen gegenüber antisymmetrischen Eigenzuständen aufspaltet.

SU(2)

Die Gruppe SU(2) ist die Lie-Gruppe von unitären 2 × 2 Matrizen mit Einheitsdeterminante; ihre Lie-Algebra ist die Menge aller 2 × 2 anti-hermiteschen Matrizen mit Spur 0. Direkte Berechnungen wie oben zeigen, dass die Lie-Algebra die dreidimensionale reelle Algebra ist , die von der Menge { iσ _k } aufgespannt wird . In kompakter Schreibweise ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}$

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma_{2}\,,\ ;i\,\sigma_{3}\;\}~.}$

Als Ergebnis kann jedes i σ _j als infinitesimaler Generator von SU(2) angesehen werden. Die Elemente von SU(2) sind Exponentialfunktionen von Linearkombinationen dieser drei Generatoren und multiplizieren sich wie oben bei der Diskussion des Pauli-Vektors angegeben. Obwohl dies ausreicht, um SU(2) zu generieren, ist es keine richtige Darstellung von su(2) , da die Pauli-Eigenwerte unkonventionell skaliert werden. Die konventionelle Normierung ist λ = 1/2, damit

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma_{1}\,}{2}},{\frac { \,i\,\sigma_{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma_{3}\,}{2}}\right\}~.}$

Da SU(2) eine kompakte Gruppe ist, ist ihre Cartan-Zerlegung trivial.

SO(3)

Die Lie-Algebra su (2) ist isomorph zur Lie-Algebra so (3) , die der Lie-Gruppe SO(3) entspricht , der Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum. Mit anderen Worten, man kann sagen, dass die i σ _j eine Realisierung (und tatsächlich die niedrigstdimensionale Realisierung) von infinitesimalen Drehungen im dreidimensionalen Raum sind. Obwohl su (2) und so (3) als Lie-Algebren isomorph sind, sind SU(2) und SO(3) jedoch nicht als Lie-Gruppen isomorph. SU(2) ist eigentlich eine doppelte Abdeckung von SO(3) , was bedeutet, dass es einen Zwei-zu-eins-Gruppenhomomorphismus von SU(2) zu SO(3) gibt , siehe Beziehung zwischen SO(3) und SU(2) .

Quaternionen

Die reelle lineare Spanne von {  I ,   i ₁ , i σ ₂ ,   i σ ₃  } ist isomorph zur reellen Algebra der Quaternionen , dargestellt durch die Spanne der Basisvektoren Der Isomorphismus von dieser Menge ist durch die folgende Abbildung ( Beachten Sie die umgekehrten Vorzeichen für die Pauli-Matrizen): ${\displaystyle\mathbb{H}}$${\displaystyle ~\left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}~.}$${\displaystyle\mathbb{H}}$

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma_{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma_{3}\sigma_{1}=-i\,\sigma_{2},\quad\mathbf{k}\mapsto -\sigma_{1}\sigma_{ 2}=-i\,\sigma_{3}.}$

Alternativ kann der Isomorphismus durch eine Abbildung mit den Pauli-Matrizen in umgekehrter Reihenfolge erreicht werden,

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma_{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma_{2 }\,,\quad\mathbf{k}\mapsto i\,\sigma_{1}~.}$

Da die Menge der Versoren U ⊂${\displaystyle\mathbb{H}}$ eine zu SU(2) isomorphe Gruppe bildet , bietet U noch eine andere Möglichkeit, SU(2) zu beschreiben . Der Zwei-zu-Eins-Homomorphismus von SU(2) zu SO(3) kann in dieser Formulierung in Form der Pauli-Matrizen angegeben werden.

Physik

Klassische Mechanik

In der klassischen Mechanik sind Pauli-Matrizen im Zusammenhang mit den Cayley-Klein-Parametern nützlich. Die Matrix P , die der Position eines Punktes im Raum entspricht, ist durch die obige Pauli-Vektormatrix definiert, ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma}}=x\,\sigma_{x}+y\,\sigma_{y}+z\,\sigma_{ z}~.}$

Folglich kann die Transformationsmatrix Q _θ für Drehungen um die x -Achse um einen Winkel θ in Form von Pauli-Matrizen und die Einheitsmatrix geschrieben werden als

${\displaystyle Q_{\theta}={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta}{2}}+i\,\sigma_{x}\sin {\frac {\theta} {2}}~.}$

Ähnliche Ausdrücke folgen für allgemeine Pauli-Vektor-Rotationen, wie oben beschrieben.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik bezieht sich jede Pauli-Matrix auf einen Drehimpulsoperator , der einer Observablen entspricht, die den Spin eines Spin 1 ⁄ 2 Teilchens in jeder der drei Raumrichtungen beschreibt. Als unmittelbare Konsequenz der oben erwähnten Cartan-Zerlegung sind iσ _j die Erzeuger einer projektiven Darstellung ( Spin-Darstellung ) der Rotationsgruppe SO(3), die auf nichtrelativistische Teilchen mit Spin 1 ⁄ 2 einwirkt . Die Zustände der Teilchen werden als Zweikomponenten- Spinoren dargestellt . Ebenso stehen die Pauli-Matrizen im Zusammenhang mit dem Isospin-Operator .

Eine interessante Eigenschaft von Spin 1 / 2 - Teilchen ist , dass sie um einen Winkel von 4 gedreht werden muss , π , um wieder in ihre ursprüngliche Konfiguration zurück . Dies liegt an der oben erwähnten Zwei-zu-Eins-Entsprechung zwischen SU(2) und SO(3) und der Tatsache, dass, obwohl man sich den Spin auf/ab als Nord-/Südpol auf der 2-Sphäre S ² vorstellt , sie werden tatsächlich durch orthogonale Vektoren im zweidimensionalen komplexen Hilbert-Raum dargestellt .

Für ein Teilchen mit Spin 1 ⁄ 2 ist der Spinoperator gegeben durch J =h/2σ , diefundamentale DarstellungvonSU(2). Indem manKronecker-Produktedieser Darstellung wiederholt mit sich nimmt, kann man alle höheren irreduziblen Darstellungen konstruieren. Das heißt, die resultierendenSpinoperatorenfür höhere Spinsysteme in drei räumlichen Dimensionen für beliebig großejkönnen mit diesemSpinoperatorund denLeiteroperatorenberechnet werden. Sie finden sich in derRotationsgruppe SO(3)#A note on Lie algebra. Die analoge Formel zur obigen Verallgemeinerung der Eulerschen Formel für Pauli-Matrizen, das Gruppenelement in Bezug auf Spinmatrizen, ist handhabbar, aber weniger einfach.

Ebenfalls nützlich in der Quantenmechanik von Mehrteilchensystemen, ist die allgemeine Pauli-Gruppe G _n definiert als aus allen n- fachen Tensorprodukten von Pauli-Matrizen zu bestehen.

Relativistische Quantenmechanik

In der relativistischen Quantenmechanik sind die Spinoren in vier Dimensionen 4 × 1 (oder 1 × 4) Matrizen. Daher müssen die Pauli-Matrizen oder die Sigma-Matrizen, die auf diesen Spinoren arbeiten, 4 × 4 Matrizen sein. Sie werden durch 2 × 2 Pauli-Matrizen definiert als

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma}}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma}}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma}}_{k} \end{pmatrix}}.}$

Aus dieser Definition folgt, dass die Matrizen die gleichen algebraischen Eigenschaften haben wie die σ _k- Matrizen. ${\displaystyle \;{\mathsf {\Sigma}}_{k}\;}$

Der relativistische Drehimpuls ist jedoch kein Drei-Vektor, sondern ein Vier-Tensor zweiter Ordnung . _Muss daher durch Σ _{μν ersetzt werden} , den Generator von Lorentz-Transformationen auf Spinoren . _Aufgrund der Antisymmetrie des Drehimpulses sind auch die Σ _μν antisymmetrisch. Daher gibt es nur sechs unabhängige Matrizen. ${\displaystyle {\mathsf {\Sigma}}_{k}}$

Die ersten drei sind die Die restlichen drei, wobei die Dirac α _k Matrizen definiert sind als ${\displaystyle \;\Sigma_{jk}\equiv\epsilon_{jk\ell}}{\mathsf {\Sigma}}_{j}~.}$${\displaystyle \;-i\,\Sigma_{0k}\equiv {\mathsf {\alpha}}_{k}\;,}$

${\displaystyle {\mathsf {\alpha}}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma}}_{k}\\{\mathsf {\sigma}}_{k}&0 \end{pmatrix}}~.}$

Die relativistischen Spinmatrizen Σ _μν in kompakter Form im Hinblick auf dem Kommutators geschrieben wird Gamma - Matrizen als

${\displaystyle \Sigma_{\mu\nu}={\frac{i}{2}}\left[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\right]~.}$

Quanteninformationen

In der Quanteninformation sind Single- Qubit- Quantengatter 2 × 2 unitäre Matrizen. Die Pauli-Matrizen gehören zu den wichtigsten Einzel-Qubit-Operationen. In diesem Zusammenhang wird die oben angegebene Cartan-Zerlegung als "Z-Y-Zerlegung eines Single-Qubit-Gates" bezeichnet. Die Wahl eines anderen Cartan-Paares ergibt eine ähnliche "X-Y- Zerlegung eines Single-Qubit-Gates".

Siehe auch

• Spinoren in drei Dimensionen
• Gamma-Matrizen
  • § Dirac-Basis
• Drehimpuls
• Gell-Mann-Matrizen
• Poincaré-Gruppe
• Verallgemeinerungen von Pauli-Matrizen
• Bloch-Kugel
• Eulers Vier-Quadrat-Identität
• Für höhere Spin-Verallgemeinerungen der Pauli-Matrizen siehe Spin (Physik) § Höhere Spins
• Austauschmatrix (die erste Pauli-Matrix ist eine Austauschmatrix zweiter Ordnung)

Bemerkungen

Anmerkungen

Verweise

• Liboff, Richard L. (2002). Einführung in die Quantenmechanik . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Schiff, Leonard I. (1968). Quantenmechanik . McGraw-Hill. ISBN 978-0070552876.
• Leonhardt, Ulf (2010). Essentielle Quantenoptik . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-14505-3.