Riesz-Fischer-Theorem - Riesz–Fischer theorem

${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$

${\displaystyle L^{2}}$

Umgekehrt, wenn eine zweiseitige

${\displaystyle a_{n}}$

Diese Form des Riesz-Fischer-Theorems ist eine stärkere Form der Besselschen Ungleichung und kann verwendet werden, um Parsevals Identität für Fourierreihen zu beweisen .

Andere Ergebnisse werden oft als Riesz-Fischer-Theorem bezeichnet ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.16). Darunter ist der Satz, dass wenn A eine orthonormale Menge in einem Hilbertraum H ist , und dann ${\displaystyle x\in H,}$

$${\displaystyle\langle x,y\rangle =0}$$

${\displaystyle y\in A,}$

$${\displaystyle \sum_{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq\|x\|^{2}.}$$

$${\displaystyle \sum_{y\in A}\langle x,y\rangle\,y}$$

${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle B_{0}}$

$${\displaystyle \|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\|<\varepsilon}$$

• die Menge A ist eine Orthonormalbasis von H
• für jeden Vektor ${\displaystyle x\in H,}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum_{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.}$$

Ein weiteres Ergebnis, das manchmal auch den Namen Riesz und Fischer trägt, ist der Satz, dass (oder allgemeiner )

${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle L^{p},0<p\leq\infty}$

Beispiel

Der Satz von Riesz-Fischer gilt auch in einem allgemeineren Kontext. Sei R ein innerer Produktraum bestehend aus Funktionen (zum Beispiel messbare Funktionen auf der Geraden, analytische Funktionen in der Einheitsscheibe; in der alten Literatur manchmal Euklidischer Raum genannt) und sei ein Orthonormalsystem in

${\displaystyle \{\varphi_{n}\}}$

${\displaystyle \{c_{n}\}}$

${\displaystyle \ell^{2}}$

Die Funktion f ist durch Grenzwert in

${\displaystyle f=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}c_{k}\varphi_{k},}$

In Kombination mit der Besselschen Ungleichung kennen wir auch die Umkehrung: Wenn f eine Funktion in R ist , dann haben die Fourierkoeffizienten endliche

${\displaystyle (f,\varphi_{n})}$

${\displaystyle \ell^{2}}$

Geschichte: die Note von Riesz und die Note von Fischer (1907)

Riesz (1907 , S. 616) stellt in seiner Note folgendes Ergebnis fest (hier an einer Stelle in die moderne Sprache übersetzt: die Notation wurde 1907 nicht verwendet). ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

Sei ein Orthonormalsystem in und eine Folge von reellen Zahlen. Die Konvergenz der Reihe ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Funktion f mit${\displaystyle \left\{\varphi_{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}^{2}}$

$${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\varphi_{n}(x)\,\mathrm {d} x=a_{n}\quad {\text{ für jedes }}n .}$$

Heute ist dieses Ergebnis von Riesz ein Spezialfall grundlegender Tatsachen über Reihen orthogonaler Vektoren in Hilberträumen.

Riesz' Note erschien im März. Im Mai Fischer (1907 , S.. 1023) heißt es ausdrücklich in einem Satz (fast mit modernen Worten) , dass eine Cauchy - Folge in konvergiert in -Norm zu irgendeiner Funktion In diesem Hinweis werden Cauchyfolgen „genannt

${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f\in L^{2}([a,b]).}$

${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle \Omega.}$

${\displaystyle L^{2}}$

Satz. Wenn eine Folge von Funktionen, die zu einem Mittelwert gehören, im Mittel konvergiert, gibt es in einer Funktion f, gegen die die Folge im Mittel konvergiert.${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$

Fischer beweist weiterhin das obige Ergebnis von Riesz als Folge der Orthogonalität des Systems und der Vollständigkeit von ${\displaystyle L^{2}.}$

Fischers Vollständigkeitsbeweis ist etwas indirekt. Sie nutzt die Tatsache, dass die unbestimmten Integrale der Funktionen g _n in der gegebenen Cauchy-Folge, nämlich

$${\displaystyle G_{n}(x)=\int_{a}^{x}g_{n}(t)\,\mathrm {d}t,}$$

${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle g\in L^{2}}$

${\displaystyle L^{2},}$

Vollständigkeit von L ^p , 0 < p  ≤ ∞

Für einige Autoren, insbesondere Royden, der Riesz--Fischer Satz ist das Ergebnis , das ist

${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle L^{p},}$

${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$

${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle L^{p}.}$

Wenn die

${\displaystyle\mu}$

${\displaystyle f\in L^{p}(\mu).}$

${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle \int \left|f-\sum_{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d}\mu\leq\int \left(\ Summe _{\ell >n}|u_{\ell}|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

Der Fall erfordert einige Modifikationen, da die

${\displaystyle 0<p<1}$

$${\displaystyle \sum\|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty}$$

$${\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum_{k=0}^{n}|u_{k}|^ {p}{\text{ wenn }}p<1}$$

${\displaystyle p=\infty}$

${\displaystyle\mu}$

Siehe auch

• Banachraum  – Normierter Vektorraum, der vollständig ist

Verweise

• Beals, Richard (2004), Analyse: Eine Einführung , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2.
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Lineare Operatoren, Teil I , Wiley-Interscience.
• Fischer, Ernst (1907), "Sur la convergence en moyenne", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 144 : 1022–1024.
• Riesz, Frigyes (1907), "Sur les systèmes orthogonaux de fonctions", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 144 : 615–619.