Rydberg-Formel - Rydberg formula

Teil einer Artikelserie über
Quantenmechanik
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi(t)\rangle ={\hat{H}}|\psi(t)\rangle}$ Schrödinger-Gleichung
Einführung Glossar Geschichte
Hintergrund Klassische Mechanik Alte Quantentheorie Bra–ket-Notation Hamiltonian Interferenz
Grundlagen Komplementarität Dekohärenz Verstrickung Energielevel Messung Nichtlokalität Quantenzahl Bundesland Überlagerung Symmetrie Tunnelbau Unsicherheit Wellenfunktion Zusammenbruch
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Rydbergs Formel, wie sie in einer Aufzeichnung vom November 1888 erscheint

In der Atomphysik berechnet die Rydberg-Formel die Wellenlängen einer Spektrallinie in vielen chemischen Elementen . Die Formel wurde in erster Linie als Verallgemeinerung der Balmer-Reihe für alle atomaren Elektronenübergänge von Wasserstoff präsentiert . Es wurde erstmals 1888 von dem schwedischen Physiker Johannes Rydberg empirisch festgestellt , dann 1913 theoretisch von Niels Bohr , der eine primitive Form der Quantenmechanik verwendete. Die Formel verallgemeinert direkt die Gleichungen, die verwendet werden, um die Wellenlängen der Wasserstoff-Spektralreihe zu berechnen .

Geschichte

1880 arbeitete Rydberg an einer Formel, die die Beziehung zwischen den Wellenlängen in Spektrallinien von Alkalimetallen beschreibt. Er bemerkte, dass Linien in Reihe kamen und fand, dass er seine Berechnungen vereinfachen konnte, indem er die Wellenzahl (die Anzahl der Wellen, die die Einheitslänge besetzen , gleich 1/ λ , der Kehrwert der Wellenlänge ) als seine Maßeinheit verwendete. Er trug die Wellenzahlen ( n ) aufeinanderfolgender Linien in jeder Reihe gegen aufeinanderfolgende ganze Zahlen auf, die die Reihenfolge der Linien in dieser bestimmten Reihe darstellten. Als er feststellte, dass die resultierenden Kurven ähnlich geformt waren, suchte er nach einer einzigen Funktion, die alle erzeugen konnte, wenn geeignete Konstanten eingesetzt wurden.

Zuerst versuchte er die Formel: , wobei n die Wellenzahl der Linie ist, n ₀ der Reihengrenzwert ist, m die Ordnungszahl der Linie in der Reihe ist, m' eine Konstante ist, die sich für verschiedene Reihen unterscheidet und C ₀ eine universelle Konstante ist. Dies hat nicht sehr gut funktioniert. ${\displaystyle \textstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{m+m'}}}$

Rydberg versuchte es: als er auf Balmers Formel für das Wasserstoffspektrum aufmerksam wurde. In dieser Gleichung ist m eine ganze Zahl und h eine Konstante (nicht zu verwechseln mit der späteren Planck-Konstante ). ${\displaystyle \textstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{\left(m+m'\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda ={hm^{2} \over m^{2}-4}}$

Rydberg schrieb daher Balmers Formel in Form von Wellenzahlen um, als . ${\displaystyle \textstyle n=n_{0}-{4n_{0} \over m^{2}}}$

Dies deutete darauf hin, dass die Balmer-Formel für Wasserstoff ein Sonderfall mit und sein könnte , wobei , der Kehrwert der Balmer-Konstanten (diese Konstante h wird im Balmer-Gleichungsartikel als B geschrieben , wiederum um eine Verwechslung mit der Planck-Konstanten zu vermeiden). ${\displaystyle \textstyle m'=0}$${\displaystyle {\text{C}}_{0}=4n_{0}}$${\displaystyle \textstyle n_{0}={\frac {1}{h}}}$

Es wurde festgestellt, dass der Term eine universelle Konstante ist, die allen Elementen gemeinsam ist, gleich 4/ h . Diese Konstante wird heute als Rydberg-Konstante bezeichnet , und m ′ wird als Quantendefekt bezeichnet . ${\displaystyle {\text{C}}_{0}}$

Wie Niels Bohr betonte , war der Schlüssel zu Rydbergs Entdeckung die Angabe der Ergebnisse in Form von Wellenzahlen und nicht von Wellenlängen. Die fundamentale Rolle der Wellenzahlen wurde auch durch das Rydberg-Ritz-Kombinationsprinzip von 1908 betont. Der grundlegende Grund dafür liegt in der Quantenmechanik . Die Wellenzahl des Lichts ist proportional zur Frequenz und daher auch proportional zur Quantenenergie E des Lichts . Also, . Modernes Verständnis ist, dass Rydbergs Ergebnisse die zugrundeliegende Einfachheit des Verhaltens von Spektrallinien in Bezug auf feste (quantisierte) Energieunterschiede zwischen Elektronenorbitalen in Atomen widerspiegeln . Rydbergs klassischer Ausdruck von 1888 für die Form der Spektralreihen wurde nicht von einer physikalischen Erklärung begleitet. Walther Ritz ' Erklärung vor dem Quanten 1908 für den Mechanismus , der der Spektralreihe zugrunde liegt, war, dass sich Atomelektronen wie Magnete verhielten und dass die Magnete in Bezug auf den Atomkern (zumindest vorübergehend) schwingen konnten, um elektromagnetische Strahlung zu erzeugen, aber diese Theorie wurde abgelöst 1913 von Niels Bohrs Atommodell . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {f}{c}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}}$

In Bohrs Vorstellung des Atoms repräsentieren die ganzzahligen Rydberg- (und Balmer-) n- Zahlen Elektronenorbitale in unterschiedlichen ganzzahligen Abständen vom Atom. Eine bei einem Übergang von n ₁ zu n ₂ emittierte Frequenz (oder Spektralenergie) repräsentiert daher die emittierte oder absorbierte Photonenenergie, wenn ein Elektron einen Sprung von Orbital 1 zu Orbital 2 macht.

Spätere Modelle fanden heraus, dass die Werte für n ₁ und n ₂ den Hauptquantenzahlen der beiden Orbitale entsprachen.

Für Wasserstoff

$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda_{\mathrm {vac}}}}=R_{\text{H}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}} }-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),}$$

• ${\displaystyle \lambda_{\mathrm {vac}}}$ist die Wellenlänge der im Vakuum emittierten elektromagnetischen Strahlung ,
• ${\displaystyle R_{\text{H}}}$ist die Rydberg-Konstante für Wasserstoff, ungefähr1.096 775 83 × 10 ⁷  m ^-1 ,
• ${\displaystyle n_{1}}$die Hauptquantenzahl eines Energieniveaus ist und
• ${\displaystyle n_{2}}$ist die Hauptquantenzahl eines Energieniveaus für den atomaren Elektronenübergang .

Hinweis: Hier, ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$

Indem man auf 1 setzt und von 2 bis unendlich laufen lässt, erhält man die Spektrallinien, die als Lyman-Reihe bekannt sind und auf 91 nm konvergieren, auf die gleiche Weise: ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

Ein visueller Vergleich der Wasserstoff-Spektralreihen für n ₁ = 1 bis n ₁ = 6 auf einer logarithmischen Skala

Für jedes wasserstoffähnliche Element

Die obige Formel kann für die Verwendung mit allen wasserstoffähnlichen chemischen Elementen erweitert werden mit

$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=RZ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}}-{\frac {1}{n_{ 2}^{2}}}\right),}$$

wo

• ${\displaystyle \lambda}$die Wellenlänge (im Vakuum ) des emittierten Lichts ist,
• ${\displaystyle R}$ist die Rydberg-Konstante für dieses Element,
• ${\displaystyle Z}$ist die Ordnungszahl , also die Anzahl der Protonen im Atomkern dieses Elements,
• ${\displaystyle n_{1}}$die Hauptquantenzahl des niedrigeren Energieniveaus ist und
• ${\displaystyle n_{2}}$ist die Hauptquantenzahl des höheren Energieniveaus für den atomaren Elektronenübergang .

Diese Formel kann nur direkt angewendet werden auf wasserstoffartigen , auch genannt hydrogenen Atome von chemischen Elementen , dh Atome mit nur ein Elektron durch eine effektive Kernladungszahl beeinflußt zu werden (der leicht geschätzt wird). Beispiele wären He ⁺ , Li ²⁺ , Be ³⁺ usw., wo keine anderen Elektronen im Atom vorhanden sind.

Aber die Rydberg-Formel liefert auch die richtigen Wellenlängen für entfernte Elektronen, wobei die effektive Kernladung mit der von Wasserstoff abgeschätzt werden kann, da alle Kernladungen bis auf eine von anderen Elektronen abgeschirmt wurden und der Kern des Atoms eine effektive positive Ladung von +1.

Schließlich liefert die Rydberg-Formel mit gewissen Modifikationen (Ersetzung von Z durch Z − 1 und Verwendung der ganzen Zahlen 1 und 2 für n s, um einen numerischen Wert von 3 ⁄ 4 für die Differenz ihrer inversen Quadrate zu ergeben) korrekte Werte im Spezialfall der K-Alpha- Linien, da es sich um den K-Alpha-Übergang des Elektrons vom 1s-Orbital zum 2p-Orbital handelt. Dies ist analog zum Übergang der Lyman-Alpha-Linie für Wasserstoff und hat den gleichen Frequenzfaktor. Da das 2p-Elektron durch keine anderen Elektronen im Atom vom Kern abgeschirmt wird, wird die Kernladung nur durch das einzelne verbleibende 1s-Elektron verringert, wodurch das System effektiv ein Wasserstoffatom ist, jedoch mit einer verringerten Kernladung Z − 1 Seine Frequenz ist somit die um den Faktor ( Z − 1) ² erhöhte Lyman-Alpha-Wasserstofffrequenz . Diese Formel von f = c / λ = (Lyman-Alpha-Frequenz)⋅( Z − 1) ² ist historisch als Moseley-Gesetz bekannt (mit einem Faktor c , um Wellenlänge in Frequenz umzuwandeln) und kann verwendet werden, um Wellenlängen von . vorherzusagen K _α (K-alpha) Röntgenspektrale Emissionslinien chemischer Elemente von Aluminium bis Gold. Siehe die Biographie von Henry Moseley zur historischen Bedeutung dieses Gesetzes, das etwa zur gleichen Zeit empirisch abgeleitet wurde, als es durch das Bohrsche Atommodell erklärt wurde.

Für andere spektrale Übergänge in Mehrelektronenatomen liefert die Rydberg-Formel im Allgemeinen falsche Ergebnisse, da die Größe der Abschirmung von inneren Elektronen für äußere Elektronenübergänge variabel ist und nicht auf die oben einfache Weise kompensiert werden kann. Die Korrektur der Rydberg-Formel für diese Atome wird als Quantendefekt bezeichnet .

Siehe auch

• Balmer-Serie
• Wasserstoffleitung
• Rydberg-Ritz-Kombinationsprinzip

Verweise

• Sutton, Mike (Juli 2004). „Die Zahlen richtig machen: Der einsame Kampf des Physikers/Chemikers Johannes Rydberg des 19. Jahrhunderts“. Chemie Welt . 1 (7): 38–41. ISSN  1473-7604 .
• Martinson, I.; Curtis, LJ (2005). „Janne Rydberg – sein Leben und Werk“. Nukleare Instrumente und Methoden in der Physikforschung Sektion B . 235 (1–4): 17–22. Bibcode : 2005NIMPB.235...17M . CiteSeerX  10.1.1.602.6210 . doi : 10.1016/j.nimb.2005.03.137 .