σ-endliches Maß - σ-finite measure

In der Mathematik heißt ein positives (oder vorzeichenbehaftetes ) Maß μ, das auf einer σ- Algebra Σ von Teilmengen einer Menge X definiert ist, endliches Maß, wenn μ ( X ) eine endliche reelle Zahl (statt ∞) ist und eine Menge A in Σ ist endlich, wenn μ ( A ) < . Das Maß μ heißt σ-endlich, wenn X eine abzählbare Vereinigung von messbaren Mengen mit endlichem Maß ist. Eine Menge in einem Maßraum heißt σ -endliches Maß, wenn sie eine abzählbare Vereinigung von messbaren Mengen mit endlichem Maß ist. Ein -endliches Maß ist eine schwächere Bedingung als endlich, dh alle endlichen Maße sind σ-endlich, aber es gibt (viele) σ-endliche Maße, die nicht endlich sind.

Ein anderer, aber verwandter Begriff, der nicht mit Sigma-Endlichkeit verwechselt werden sollte, ist s-Endlichkeit .

Definition

Sei ein messbarer Raum und ein Maß darauf. ${\displaystyle (X,{\mathcal{A}})}$${\displaystyle\mu}$

Das Maß wird als σ-endliches Maß bezeichnet, wenn es eines der folgenden vier gleichwertigen Kriterien erfüllt: ${\displaystyle\mu}$

1. die Menge kann mit höchstens abzählbar vielen messbaren Mengen mit endlichem Maß abgedeckt werden . Das bedeutet, dass es Sets mit für alle gibt , die zufriedenstellen .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots\in {\mathcal{A}}}$${\displaystyle \mu\left(A_{n}\right)<\infty}$${\displaystyle n\in\mathbb{N}}$${\displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=X}$
2. die Menge kann mit höchstens abzählbar vielen messbaren disjunkten Mengen mit endlichem Maß abgedeckt werden . Das heißt, es gibt Sets mit für alle und für die befriedigen .${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots\in {\mathcal{A}}}$${\displaystyle \mu\left(B_{n}\right)<\infty}$${\displaystyle n\in\mathbb{N}}$${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}=X}$
3. die Menge kann mit einer monotonen Folge messbarer Mengen mit endlichem Maß abgedeckt werden. Das bedeutet, dass es Sets mit und für alles gibt , die befriedigen .${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots\in {\mathcal{A}}}$${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots}$${\displaystyle \mu\left(C_{n}\right)<\infty}$${\displaystyle n\in\mathbb{N}}$${\displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_{n}=X}$
4. es gibt eine streng positiv messbare Funktion, deren Integral endlich ist. Das bedeutet für alle und .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)>0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \int f(x)\mu(\mathrm{d}x)<\infty}$

Wenn es sich um ein -endliches Maß handelt, wird der Maßraum als -endlicher Maßraum bezeichnet . ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal{A}},\mu)}$${\displaystyle \sigma}$

Beispiele

Lebesgue-Maßnahme

Zum Beispiel ist das Lebesgue-Maß für die reellen Zahlen nicht endlich, aber es ist σ-endlich. Betrachten Sie tatsächlich die Intervalle [ k ,  k  + 1) für alle ganzen Zahlen k ; es gibt abzählbar viele solcher Intervalle, jedes hat den Takt 1 und ihre Vereinigung ist die gesamte reelle Linie.

Zählmaß

Betrachten Sie alternativ die reellen Zahlen mit dem Zählmaß ; Das Maß jeder endlichen Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge, und das Maß jeder unendlichen Menge ist die Unendlichkeit. Dieses Maß ist nicht σ- endlich, weil jede Menge mit endlichem Maß nur endlich viele Punkte enthält und es unzählig viele solcher Mengen braucht, um die gesamte reelle Gerade abzudecken. Aber die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß ist σ -endlich. ${\displaystyle \mathbb{N}}$

Lokal kompakte Gruppen

Lokal kompakte Gruppen, die σ-kompakt sind, sind -endlich unter dem Haar-Maß . Zum Beispiel sind alle zusammenhängenden , lokal kompakten Gruppen G σ-kompakt. Um dies zu sehen, sei V eine relativ kompakte, symmetrische (dh V  =  V ⁻¹ ) offene Umgebung der Identität. Dann

${\displaystyle H=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V^{n}}$

ist eine offene Untergruppe von G . Daher ist auch H abgeschlossen, da sein Komplement eine Vereinigung offener Mengen ist und nach Zusammenhang von G selbst G sein muss. Somit sind alle zusammenhängenden Lie-Gruppen -endlich unter Haar-Maß.

Negativbeispiele

Jedes nicht-triviale Maß nimmt nur die beiden Werte 0 an und ist eindeutig nicht σ-endlich. Ein Beispiel in ist: for all , genau dann, wenn A nicht leer ist; eine andere ist: für alle , wenn und nur wenn A überzählbar ist, sonst 0. Beide sind übrigens translationsinvariant. ${\displaystyle\infty}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle A\subset \mathbb{R}}$${\displaystyle \mu(A)=\infty}$${\displaystyle A\subset \mathbb{R}}$${\displaystyle \mu(A)=\infty}$

Eigenschaften

Die Klasse der σ-endlichen Maße hat einige sehr praktische Eigenschaften; σ-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Trennbarkeit topologischer Räume verglichen werden. Einige Theoreme in der Analysis erfordern σ-Endlichkeit als Hypothese. In der Regel sowohl die Radon-Nikodym und Satz von Fubini sind unter der Annahme von σ-Endlichkeit über die Maßnahmen angegeben beteiligt. Sie erfordern jedoch, wie in Segals Aufsatz "Äquivalenzen von Maßräumen" ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)) gezeigt wird, nur eine schwächere Bedingung, nämlich Lokalisierbarkeit .

Obwohl nicht σ- endliche Maßnahmen manchmal als pathologisch angesehen werden, treten sie in der Tat ganz natürlich auf. Wenn beispielsweise X ein metrischer Raum der Hausdorff-Dimension r ist , dann sind alle niederdimensionalen Hausdorff-Maße nicht-σ-endlich, wenn sie als Maße auf X betrachtet werden .

Äquivalenz zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß

Jedes σ-endliches Maß μ auf einen Raum X ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf X : gelassen V _n , n  ∈  N , sein , um eine Abdeckung von X durch paarweise disjunkte Sätze von meßbaren finite μ -Maßnahme, und lassen w _n , n  ∈  N , sei eine Folge positiver Zahlen (Gewichte) mit

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}w_{n}=1.}$

Das Maß ν definiert durch

${\displaystyle \nu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}{\frac {\mu\left(A\cap V_{n}\right)}{\mu\ links(V_{n}\rechts)}}}$

ist dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf X mit genau denselben Nullmengen wie  μ .

Verwandte konzepte

Moderate Maßnahmen

Ein Borel-Maß (im Sinne eines lokal endlichen Maßes auf der Borel- Algebra) heißt moderates Maß, wenn es höchstens abzählbar viele offene Mengen mit für alle und gibt . ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots}$${\displaystyle \mu\left(A_{i}\right)<\infty}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}=X}$

Jedes moderate Maß ist ein endliches Maß, das Umgekehrte gilt nicht. ${\displaystyle \sigma}$

Zersetzbare Maßnahmen

Eine Maßnahme ist eine genannte zerlegbare Maßnahme gibt es disjunkte messbare Mengen mit für alle und . Beachten Sie, dass bei zerlegbaren Maßen die Anzahl der messbaren Mengen mit endlichem Maß nicht beschränkt ist. ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \mu\left(A_{i}\right)<\infty}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

Jedes -endliche Maß ist ein zerlegbares Maß, das Umgekehrte gilt nicht. ${\displaystyle \sigma}$

s-endliche Maße

Ein Maß heißt s-endliches Maß, wenn es die Summe von höchstens abzählbar vielen endlichen Maßen ist . ${\displaystyle\mu}$

Jedes σ-endliche Maß ist s-endlich, das Umgekehrte gilt nicht. Für einen Beweis und ein Gegenbeispiel siehe s-endliches Maß#Beziehung zu σ-endlichen Maßen .

Siehe auch

• Sigma-Additivität

Verweise