Kardinal begrenzen - Limit cardinal

In der Mathematik sind Grenzkardinäle bestimmte Kardinalzahlen . Eine Kardinalzahl λ ist eine Kardinalzahl mit schwacher Grenze, wenn λ weder eine Nachfolgekardinalzahl noch Null ist. Das bedeutet, dass man durch wiederholte Nachfolgeoperationen λ von einem anderen Kardinal nicht "erreichen" kann . Diese Kardinäle werden manchmal einfach "Grenzkardinäle" genannt, wenn der Kontext klar ist.

Ein Kardinal λ ist ein starker Grenzkardinal, wenn λ durch wiederholte Powerset- Operationen nicht erreicht werden kann . Dies bedeutet, dass λ von Null verschieden ist und für alle κ < λ 2 ^κ < λ . Jeder starke Grenzkardinal ist auch ein schwacher Grenzkardinal, denn κ ⁺ ≤ 2 ^κ für jeden Kardinal κ , wobei κ ⁺ den Nachfolgerkardinal von κ bezeichnet .

Der erste unendliche Kardinal ( aleph-naught ) ist ein starker Grenzkardinal und daher auch ein schwacher Grenzkardinal. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Konstruktionen

Eine Möglichkeit, Grenzkardinäle zu konstruieren, ist die Vereinigungsoperation: ist ein schwacher Grenzkardinal, definiert als die Vereinigung aller Alephs davor; und im allgemeinen für jede Limesordinalzahl λ ist ein schwacher Grenz Kardinal. ${\displaystyle \aleph_{\omega}}$${\displaystyle\aleph_{\lambda}}$

Die Operation ב kann verwendet werden, um starke Grenzkardinäle zu erhalten. Diese Operation ist eine Abbildung von Ordinalzahlen zu Kardinalzahlen, definiert als

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},}$(die kleinste Ordnungszahl gleichzahlig mit dem Powerset)

Wenn λ eine Grenzordinal ist,${\displaystyle \beth_{\lambda}=\bigcup \{\beth_{\alpha}:\alpha <\lambda\}.}$

Der Kardinal

${\displaystyle \beth_{\omega}=\bigcup\{\beth_{0},\beth_{1},\beth_{2},\ldots\}=\bigcup_{n<\omega} \beth_{n}}$

ist ein starker Grenzkardinal der Kofinalität ω. Allgemeiner ausgedrückt, bei gegebener Ordinalzahl α ist die Kardinalzahl

${\displaystyle \beth_{\alpha+\omega}=\bigcup_{n<\omega}\beth_{\alpha+n}}$

ist ein starker Grenzkardinal. Es gibt also beliebig große starke Grenzkardinäle.

Beziehung zu ordinalen Indizes

Wenn das Auswahlaxiom gilt, hat jede Kardinalzahl eine anfängliche Ordnungszahl . Wenn diese anfängliche Ordnungszahl ist, hat die Kardinalzahl die Form für denselben Ordnungsindex λ . Die Ordnungszahl λ bestimmt, ob es sich um eine Kardinalzahl mit schwacher Grenze handelt. Denn wenn λ eine Nachfolge-Ordinalzahl ist, dann ist das kein schwacher Grenzwert. Wenn umgekehrt ein Kardinal κ ein Nachfolger Kardinal ist, sagt , dann also in der Regel ist ein schwacher Grenzkardinal wenn und nur wenn λ Null oder eine Limesordinalzahl. ${\displaystyle \omega_{\lambda}\,,}$${\displaystyle\aleph_{\lambda}}$${\displaystyle\aleph_{\lambda}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha^{+}}=(\aleph_{\alpha})^{+}\,,}$${\displaystyle\aleph_{\lambda}}$${\displaystyle \kappa =(\aleph_{\alpha})^{+}\,,}$${\displaystyle \kappa =\aleph_{\alpha^{+}}\,.}$${\displaystyle\aleph_{\lambda}}$

Obwohl der Ordinalindex uns sagt, ob ein Kardinal ein schwacher Grenzwert ist, sagt er uns nicht, ob ein Kardinal ein starker Grenzwert ist. ZFC beweist beispielsweise, dass dies ein Kardinal mit schwacher Grenze ist, aber weder beweist noch widerlegt, dass dies ein Kardinal mit starker Grenze ist (Hrbacek und Jech 1999:168). Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese besagt, dass für jede unendliche Kardinalzahl κ . Unter dieser Hypothese fallen die Begriffe schwache und starke Grenzkardinäle zusammen. ${\displaystyle \aleph_{\omega}}$${\displaystyle \aleph_{\omega}}$${\displaystyle \kappa^{+}=2^{\kappa}\,}$

Die Vorstellung von Unzugänglichkeit und großen Kardinälen

Das Vorstehende definiert einen Begriff der "Unzugänglichkeit": Wir haben es mit Fällen zu tun, in denen es nicht mehr ausreicht, endlich viele Iterationen der Nachfolger- und Powerset-Operationen durchzuführen; daher der Ausdruck "nicht erreichbar" in beiden der obigen intuitiven Definitionen. Aber die "Vereinigungsoperation" bietet immer eine andere Möglichkeit, auf diese Kardinäle "zuzugreifen" (und dies ist tatsächlich auch der Fall von Grenzordinalen). Stärkere Vorstellungen von Unzugänglichkeit können mit Hilfe von Kofinalität definiert werden . Für einen schwachen (jeweils stark) Grenze Kardinal κ die Voraussetzung ist , dass cf ( κ ) = κ (dh κ seines reguläres ) , so dass κ nicht als Summe ausgedrückt werden kann (Vereinigung) von weniger als K kleinen Kardinälen. Ein solcher Kardinal wird als schwach (bzw. stark) unzugänglicher Kardinal bezeichnet . Die vorhergehenden Beispiele sind beide singuläre Kardinäle der Kofinalität ω und daher nicht unzugänglich.

${\displaystyle \aleph _{0}}$wäre ein unzugänglicher Kardinal beider "Stärken", außer dass die Definition von unzugänglich erfordert, dass sie unzählbar sind. Die übliche Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit dem Auswahlaxiom (ZFC) kann aufgrund des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes nicht einmal die Konsistenz der Existenz eines unzugänglichen Kardinals jeder Art beweisen . Genauer gesagt, wenn schwach unzugänglich ist, dann . Diese bilden die ersten in einer Hierarchie von großen Kardinälen . ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle L_{\kappa}\models ZFC}$

Siehe auch

• Kardinalzahl

Verweise

• Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Einführung in die Mengenlehre (3 Aufl.), ISBN 0-8247-7915-0
• Jech, Thomas (2003), Mengenlehre , Springer Monographies in Mathematics (drittes Jahrtausend ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-44761-X , ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Mengenlehre: Eine Einführung in die Unabhängigkeitsbeweise , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8

Externe Links

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Unendliche Tinte auf Kardinälen