Konvergenz von Fourierreihen - Convergence of Fourier series

In der Mathematik ist die Frage, ob die Fourier - Reihe einer periodischen Funktion konvergiert auf die gegebene Funktion durch ein Feld bekannt als erforscht klassische harmonische Analyse , ein Zweig der reinen Mathematik . Konvergenz ist im allgemeinen Fall nicht unbedingt gegeben, und bestimmte Kriterien müssen erfüllt sein, damit Konvergenz eintritt.

Bestimmung der Konvergenz erfordert das Verständnis von punktweise Konvergenz , einheitlicher Konvergenz , absoluten Konvergenz , L ^p Räume , summability Methoden und dem CESARO Mittelwert .

Vorrunde

Betrachten Sie f eine integrierbare Funktion auf dem Intervall [0, 2 π ] . Für ein solches f sind die Fourier-Koeffizienten definiert durch die Formel ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$

${\displaystyle {\widehat{f}}(n)={\frac{1}{2\pi}}\int _{0}^{2\pi}f(t)e^{-int}\, \mathrm{d}t,\quadn\in\mathbb{Z}.}$

Es ist üblich, den Zusammenhang zwischen f und seiner Fourier-Reihe zu beschreiben durch

${\displaystyle f\sim\sum_{n}{\widehat{f}}(n)e^{int}.}$

Die Notation ~ bedeutet hier, dass die Summe in gewissem Sinne die Funktion darstellt. Um dies genauer zu untersuchen, müssen die Teilsummen definiert werden:

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum_{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

Hier stellt sich die Frage: Konvergieren die Funktionen (die Funktionen der Variablen t, die wir in der Notation weggelassen haben) gegen f und in welchem ​​Sinne? Gibt es Bedingungen f diese oder jene Art von Konvergenz zu gewährleisten? Dies ist das Hauptproblem, das in diesem Artikel diskutiert wird. ${\displaystyle S_{N}(f)}$

Bevor Sie fortfahren, muss der Dirichlet-Kernel eingeführt werden. Nimm die Formel für , füge sie in die Formel für ein und führe etwas Algebra aus ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}}$

wobei ∗ für die periodische Faltung steht und der Dirichlet-Kernel ist, der eine explizite Formel hat, ${\displaystyle D_{N}}$

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}$

Der Dirichlet-Kernel ist kein positiver Kernel, und tatsächlich divergiert seine Norm, nämlich

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t\to \infty}$

eine Tatsache, die in der Diskussion eine entscheidende Rolle spielt. Die Norm von D _n in L ¹ ( T ) stimmt mit der Norm des Faltungsoperators mit D _n überein , die auf den Raum C ( T ) periodischer stetiger Funktionen wirkt , oder mit der Norm des linearen Funktionals f  → ( S _n f )(0) auf C ( T ). Daher ist diese Familie linearer Funktionale auf C ( T ) unbeschränkt, wenn n  → ∞.

Betrag der Fourier-Koeffizienten

In Anwendungen ist es oft nützlich, die Größe des Fourier-Koeffizienten zu kennen.

Wenn eine absolut stetige Funktion ist, ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat{f}}(n)\right|\leq {K\over |n|}}$

für eine Konstante, die nur von abhängt . ${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$

Wenn eine beschränkte Variationsfunktion ist, ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat{f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f)\over 2\pi |n|}.}$

Wenn ${\displaystyle f\in C^{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat{f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}} .}$

Wenn und hat Modul von Kontinuität , ${\displaystyle f\in C^{p}}$${\displaystyle f^{(p)}}$${\displaystyle \omega_{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat{f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi/n)\over |n|^{p}}}$

und daher, wenn in der α- Hölder-Klasse${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat{f}}(n)\right|\leq {K\over |n|^{\alpha}}.}$

Punktweise Konvergenz

Überlagerung von Sinuswellen-Basisfunktionen (unten) zu einer Sägezahnwelle (oben); die Basisfunktionen haben Wellenlängen λ/ k ( k = ganze Zahl) kürzer als die Wellenlänge λ des Sägezahns selbst (außer k = 1). Alle Basisfunktionen haben Knoten an den Knoten des Sägezahns, aber alle außer der Fundamental haben zusätzliche Knoten. Die Schwingung um den Sägezahn wird als Gibbs-Phänomen bezeichnet

Es gibt viele bekannte hinreichende Bedingungen dafür, dass die Fourier-Reihe einer Funktion an einem gegebenen Punkt x konvergiert , zum Beispiel wenn die Funktion an x differenzierbar ist . Auch eine Sprungunstetigkeit stellt kein Problem dar: Wenn die Funktion linke und rechte Ableitungen bei x hat , dann konvergiert die Fourier-Reihe gegen den Mittelwert der linken und rechten Grenzen (siehe aber Gibbs-Phänomen ).

Das Dirichlet-Dini-Kriterium besagt, dass: wenn ƒ 2 ist π –periodisch, lokal integrierbar und erfüllt

${\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left|{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell \right |{\frac{\textrm{d}t}{t}}<\infty,}$

dann konvergiert (S _n f )( x ₀ ) gegen ℓ. Dies impliziert, dass für jede Funktion f einer Hölder-Klasse α  > 0 die Fourier-Reihe überall gegen f ( x ) konvergiert .

Es ist auch bekannt, dass für jede periodische Funktion der beschränkten Variation die Fourier-Reihe überall konvergiert. Siehe auch Dini-Test . Im Allgemeinen sind die häufigsten Kriterien für die punktweise Konvergenz einer periodischen Funktion f wie folgt:

• Wenn f eine Holder-Bedingung erfüllt, konvergiert seine Fourier-Reihe gleichmäßig.
• Wenn f von beschränkter Variation ist, dann konvergiert seine Fourier-Reihe überall.
• Wenn f stetig ist und seine Fourier-Koeffizienten absolut summierbar sind, dann konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig.

Es gibt stetige Funktionen, deren Fourier-Reihen punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergieren; siehe Antoni Zygmund, Trigonometric Series , vol. 1, Kapitel 8, Satz 1.13, p. 300.

Die Fourier-Reihe einer stetigen Funktion muss jedoch nicht punktweise konvergieren. Der vielleicht einfachste Beweis verwendet die Unbeschränktheit des Dirichlet-Kerns in L ¹ ( T ) und das Banach-Steinhaus- Prinzip der gleichförmigen Beschränktheit . Wie typisch für Existenzargumente, die sich auf den Baire-Kategoriensatz berufen , ist dieser Beweis nichtkonstruktiv. Es zeigt, dass die Familie der stetigen Funktionen, deren Fourier-Reihen bei einem gegebenen x konvergieren, von der ersten Baire-Kategorie im Banach-Raum der stetigen Funktionen auf dem Kreis ist.

In gewissem Sinne ist die punktweise Konvergenz also atypisch , und für die meisten stetigen Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe nicht an einem bestimmten Punkt. Der Satz von Carleson zeigt jedoch, dass für eine gegebene stetige Funktion die Fourier-Reihe fast überall konvergiert.

Es ist auch möglich, explizite Beispiele für eine stetige Funktion anzugeben, deren Fourier-Reihe bei 0 divergiert: zum Beispiel die gerade und 2π-periodische Funktion f definiert für alle x in [0,π] durch

${\displaystyle f(x)=\sum _{p=1}^{+\infty }{\frac {1}{p^{2}}}\sin\left[\left(2^{p^{ 3}}+1\right){\frac{x}{2}}\right].}$

Gleichmäßige Konvergenz

Angenommen , und hat Stetigkeitsmodul , dann konvergiert die Partialsumme der Fourier-Reihe gegen die Funktion mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle f\in C^{p}}$${\displaystyle f^{(p)}}$

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N\over N^{p}}\omega (2\pi/N)}$

für eine Konstante , die nicht von , noch , noch abhängt . ${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$

Dieser Satz erwies sich zuerst von D Jackson, sagt zum Beispiel , dass , wenn erfüllt die - Hölder Zustand , dann ${\displaystyle f}$${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha}}.}$

Wenn ist periodisch und absolut stetig auf , so wird die Fourier - Reihe von gleichmäßig konvergiert, aber nicht unbedingt zwingend, zu . ${\displaystyle f}$${\displaystyle 2\pi}$${\displaystyle [0,2\pi]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Absolute Konvergenz

Eine Funktion ƒ hat eine absolut konvergierende Fourierreihe, wenn

${\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty}^{\infty}|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}$

Wenn diese Bedingung dann gilt, konvergiert sie für jedes t absolut und andererseits genügt es, dass auch nur für ein t absolut konvergiert , dann gilt diese Bedingung. Mit anderen Worten, für absolute Konvergenz gibt es keine Frage, wo die Summe absolut konvergiert – wenn sie an einem Punkt absolut konvergiert, dann tut sie dies überall. ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$

Die Familie aller Funktionen mit absolut konvergierenden Fourier-Reihen ist eine Banach-Algebra (die Operation der Multiplikation in der Algebra ist eine einfache Multiplikation von Funktionen). Sie wird Wiener-Algebra genannt , nach Norbert Wiener , der bewiesen hat, dass 1/ ƒ absolut konvergierende Fourier-Reihen hat , wenn ƒ absolut konvergierende Fourier-Reihen hat und nie Null ist . Der ursprüngliche Beweis des Satzes von Wiener war schwierig; eine Vereinfachung unter Verwendung der Theorie der Banach-Algebren wurde von Israel Gelfand gegeben . Schließlich wurde 1975 ein kurzer elementarer Beweis von Donald J. Newman gegeben .

Gehört zu einer α-Hölder-Klasse für α > 1/2 dann ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha}\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha}},\qquad \|f\|_{K }:=\sum _{n=-\infty}^{+\infty}|n||{\widehat{f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\| _{{\rm {Lippe}}_{\alpha}}^{2}}$

für die Konstante in dem Halter Bedingung , eine Konstante ist nur abhängig von ; ist die Norm der Kerin-Algebra. Beachten Sie, dass die 1/2 hier wesentlich ist – es gibt 1/2-Hölder-Funktionen, die nicht zur Wiener Algebra gehören. Außerdem kann dieser Satz die bekannteste Schranke für die Größe des Fourier-Koeffizienten einer α-Hölder-Funktion nicht verbessern – also nur und dann nicht summierbar. ${\displaystyle \|f\|_{{\rm {Lippe}}_{\alpha}}}$${\displaystyle c_{\alpha}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \|f\|_{K}}$${\displaystyle O(1/n^{\alpha})}$

Wenn ƒ von beschränkter Variation ist und für ein α > 0 zu einer α-Hölder-Klasse gehört, gehört es zur Wiener Algebra.

Normkonvergenz

Der einfachste Fall ist der von L ² , der eine direkte Transkription von allgemeinen Hilbert-Raum- Ergebnissen ist. Nach dem Satz von Fischer-Riesz , wenn ƒ ist quadratisch integrierbare dann

${\displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{0}^{2\pi}\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2} \,\mathrm{d} x=0}$

dh ,  konvergiert ƒ in der Norm von L ² . Es ist leicht zu sehen, dass auch die Umkehrung gilt: Wenn der obige Grenzwert null ist, muss ƒ in L ^{2 sein} . Dies ist also eine wenn und nur wenn Bedingung. ${\displaystyle S_{N}f}$

Wenn 2 in den obigen Exponenten durch ein p ersetzt wird , wird die Frage viel schwieriger. Es stellt sich heraus, dass die Konvergenz auch dann gilt, wenn 1 < p  < ∞. Mit anderen Worten, für ƒ in L ^p ,  zu konvergiert ƒ in der L ^p Norm. Der ursprüngliche Beweis verwendet Eigenschaften von holomorphen Funktionen und Hardy-Räumen , und ein anderer Beweis von Salomon Bochner beruht auf dem Riesz-Thorin-Interpolationssatz . Für p  = 1 und unendlich ist das Ergebnis nicht wahr. Die Konstruktion eines Divergenzbeispiels in L ¹ wurde zuerst von Andrey Kolmogorov (siehe unten) durchgeführt. Für Unendlich ist das Ergebnis ein Korollar des gleichförmigen Beschränktheitsprinzips . ${\displaystyle S_{N}(f)}$

Wird der Partialsummationsoperator S _N durch einen geeigneten Summierbarkeitskern ersetzt (zum Beispiel die durch Faltung mit dem Fejér-Kernel erhaltene Fejér-Summe ), können grundlegende funktionsanalytische Techniken angewendet werden, um zu zeigen, dass die Normkonvergenz für 1 ≤  p  < ∞ gilt.

Konvergenz fast überall

Das Problem, ob die Fourier-Reihe einer stetigen Funktion fast überall konvergiert , wurde in den 1920er Jahren von Nikolai Lusin gestellt. Es wurde 1966 von Lennart Carleson positiv gelöst . Sein Ergebnis, das heute als Carleson-Theorem bekannt ist , besagt, dass die Fourier -Entwicklung jeder Funktion in L ² fast überall konvergiert. Später verallgemeinerte Richard Hunt dies auf L ^p für jedes p  > 1.

Im Gegensatz dazu konstruierte Andrey Kolmogorov als Student im Alter von 19 Jahren in seiner allerersten wissenschaftlichen Arbeit ein Beispiel für eine Funktion in L ^{1 ,} deren Fourier-Reihen fast überall divergieren (später verbessert, um überall zu divergieren).

Jean-Pierre Kahane und Yitzhak Katznelson haben bewiesen, dass es für jede gegebene Menge E mit Maß Null eine stetige Funktion ƒ gibt, so dass die Fourier-Reihe von ƒ an keinem Punkt von E konvergiert .

Summierbarkeit

Konvergiert die Folge 0,1,0,1,0,1,... (die Teilsummen der Grandischen Reihe ) gegen ½? Dies scheint keine sehr unvernünftige Verallgemeinerung des Konvergenzbegriffs zu sein. Daher sagen wir , dass jede Sequenz ist Cesaro summable zu einem gewissen ein , wenn ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a.}$

Es ist nicht schwer zu sehen , dass , wenn eine Sequenz konvergiert zu einem gewissen ein , dann ist es auch Cesaro summable zu.

Um die Summierbarkeit von Fourier-Reihen zu diskutieren, müssen wir durch einen geeigneten Begriff ersetzen . Daher definieren wir ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N \geq 1,}$

und fragen: konvergiert gegen f ? ist nicht mehr mit Dirichlets Kernel verbunden, sondern mit Fejérs Kernel , nämlich ${\displaystyle K_{N}(f)}$${\displaystyle K_{N}}$

${\displaystyle K_{N}(f)=f*F_{N}\,}$

wo ist der Kern von Fejér, ${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.}$

Der Hauptunterschied besteht darin, dass der Kernel von Fejér ein positiver Kernel ist. Der Satz von Fejér besagt, dass die obige Folge von Partialsummen gleichmäßig gegen ƒ konvergiert . Dies impliziert viel bessere Konvergenzeigenschaften

• Wenn ƒ bei kontinuierlich ist t dann die Fourier - Reihe von ƒ summierbar ist bei t zu ƒ ( t ). Wenn ƒ stetig ist, ist seine Fourier-Reihe gleichmäßig summierbar (dh konvergiert gleichmäßig gegen ƒ ).${\displaystyle K_{N}f}$
• Für jeden integrierbare ƒ , konvergiert gegen ƒ in der Norm.${\displaystyle K_{N}f}$${\displaystyle L^{1}}$
• Es gibt kein Gibbs-Phänomen.

Ergebnisse zur Summierbarkeit können auch Ergebnisse zur regulären Konvergenz implizieren. Zum Beispiel erfahren wir , dass , wenn ƒ bei stetig t , dann ist die Fourier - Reihe von ƒ nicht auf einen anderen Wert konvergieren kann ƒ ( t ). Es kann entweder konvergieren ƒ ( t ) oder divergieren. Dies liegt daran, dass, wenn gegen einen Wert x konvergiert , er auch zu diesem summierbar ist, also aus der ersten Summierbarkeitseigenschaft oben x  = ƒ ( t ). ${\displaystyle S_{N}(f;t)}$

Wachstumsreihenfolge

Die Wachstumsreihenfolge des Dirichlet-Kerns ist logarithmisch, dh

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi^{2}}}\log N+O(1).}$

Siehe Big O-Notation für die Notation O (1). Der tatsächliche Wert ist sowohl schwer zu berechnen (siehe Zygmund 8.3) als auch fast nutzlos. Die Tatsache, dass für eine Konstante c gilt ${\displaystyle 4/\pi ^{2}}$

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t>c\log N+O(1)}$

wird ganz klar, wenn man den Graphen von Dirichlets Kernel untersucht. Das Integral über den n- ten Peak ist größer als c / n und daher ergibt die Schätzung für die harmonische Summe die logarithmische Schätzung.

Diese Schätzung beinhaltet quantitative Versionen einiger der früheren Ergebnisse. Für jede kontinuierliche Funktion f und jede T hat man

${\displaystyle \lim_{N\to\infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0.}$

Doch für jede Bestellung des Wachstums ω ( n ) kleiner als log, das nicht mehr hält , und es ist möglich , eine kontinuierliche Funktion zu finden , f , so dass für einige t ,

${\displaystyle \varlimsup_{N\to\infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty .}$

Das äquivalente Problem für Divergenz überall ist offen. Sergei Konyagin gelungen , eine integrierbare Funktion zu konstruieren , so dass für jedes t hat man

${\displaystyle \varlimsup_{N\to\infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\sqrt {\log N}}}=\infty .}$

Es ist nicht bekannt, ob dieses Beispiel das bestmögliche ist. Die einzige bekannte Schranke aus der anderen Richtung ist log n .

Mehrere Dimensionen

Bei der Untersuchung des äquivalenten Problems in mehr als einer Dimension ist es notwendig, die genaue Reihenfolge der verwendeten Summation anzugeben. In zwei Dimensionen kann man beispielsweise definieren

${\displaystyle S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}{\widehat {f }}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2})}}$

die als "quadratische Teilsummen" bekannt sind. Ersetze die obige Summe durch

${\displaystyle \sum_{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}}$

zu "zirkulären Teilsummen" führen. Der Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen ist ziemlich bemerkenswert. Zum Beispiel ist die Norm des entsprechenden Dirichlet-Kerns für quadratische Teilsummen von der Größenordnung, während sie für kreisförmige Teilsummen von der Größenordnung ist . ${\displaystyle \log^{2}N}$${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

Viele der für eine Dimension zutreffenden Ergebnisse sind in mehreren Dimensionen falsch oder unbekannt. Insbesondere für zirkuläre Partialsummen ist das Äquivalent des Satzes von Carleson noch offen. Fast überall wurde um 1970 von Charles Fefferman die Konvergenz von "quadratischen Partialsummen" (sowie allgemeineren polygonalen Partialsummen) in mehreren Dimensionen festgestellt .

Anmerkungen

Verweise

Lehrbücher

• Dunham Jackson Theorie der Approximation , AMS Colloquium Publication Volume XI, New York 1930.
• Nina K. Bary, Eine Abhandlung über trigonometrische Reihen , Vols. Ich, II. Autorisierte Übersetzung von Margaret F. Mullins. Ein Pergamon-Pressebuch. Die Macmillan Co., New York 1964.
• Antoni Zygmund, Trigonometrische Reihe , Bd. Ich, II. Dritte Edition. Mit einem Vorwort von Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematische Bibliothek. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN  0-521-89053-5
• Yitzhak Katznelson, Eine Einführung in die harmonische Analyse , Dritte Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN  0-521-54359-2
• Karl R. Stromberg, Einführung in die klassische Analysis , Wadsworth International Group, 1981. ISBN  0-534-98012-0

Das Katznelson-Buch ist dasjenige, das die modernste Terminologie und den modernsten Stil der drei verwendet. Die ursprünglichen Erscheinungsdaten sind: Zygmund 1935, Bari 1961 und Katznelson 1968. Zygmunds Buch wurde jedoch in seiner zweiten Veröffentlichung 1959 stark erweitert.

Artikel, auf die im Text verwiesen wird

• Paul du Bois-Reymond , "Über die Fourierschen Reihen", Nachr. Kön. Ges. Wiss. Göttingen 21 (1873), 571–582.

Dies ist der erste Beweis dafür, dass die Fourierreihe einer stetigen Funktion divergieren könnte. Auf Deutsch

• Andrey Kolmogorov , "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
• Andrey Kolmogorov, "Une série de Fourier–Lebesgue divergente partout", CR Acad. Wissenschaft Paris 183 (1926), 1327-1328

Die erste ist die Konstruktion einer integrierbaren Funktion, deren Fourier-Reihe fast überall divergiert. Die zweite ist eine Verstärkung der Divergenz überall. Auf Französisch.

• Lennart Carleson , "Über Konvergenz und Wachstum von Partialsummen von Fourier-Reihen", Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Richard A. Hunt , "On the convergence of Fourier series", Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues (Proc. Conf., Edwardsville, Illinois, 1967), 235–255. Süd-Illinois-Univ. Presse, Carbondale, Ill.
• Charles Louis Fefferman , "Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen", Ann. von Mathe. 98 (1973), 551–571.
• Michael Lacey und Christoph Thiele , „Ein Beweis für die Beschränktheit des Carleson-Operators“, Math. Res. Lette. 7:4 (2000), 361–370.
• Ole G. Jørsboe und Leif Mejlbro, Theorem von Carleson-Hunt über Fourier-Reihen . Vorlesungsnotizen in Mathematik 911, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN  3-540-11198-0

Dies ist die ursprüngliche Arbeit von Carleson, in der er beweist, dass die Fourier-Entwicklung jeder stetigen Funktion fast überall konvergiert; das Papier von Hunt, wo er es auf Räume verallgemeinert ; zwei Versuche, den Beweis zu vereinfachen; und ein Buch, das eine in sich geschlossene Darstellung davon gibt.${\displaystyle L^{p}}$

• Dunham Jackson , Fourier-Reihe und orthogonale Polynome , 1963
• DJ Newman, "Ein einfacher Beweis von Wieners 1/f-Theorem", Proc. Amer. Mathematik. Soz. 48 (1975), 264–265.
• Jean-Pierre Kahane und Yitzhak Katznelson , "Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques", Studia Math. 26 (1966), 305–306

In dieser Arbeit zeigen die Autoren, dass es für jede Menge von Nullmaßen eine stetige Funktion auf dem Kreis gibt, deren Fourier-Reihe auf dieser Menge divergiert. Auf Französisch.

• Sergei Vladimirovich Konyagin , "Über die Divergenz trigonometrischer Fourier-Reihen überall", CR Acad. Wissenschaft Paris 329 (1999), 693–697.
• Jean-Pierre Kahane, Einige zufällige Reihen von Funktionen , zweite Auflage. Cambridge University Press, 1993. ISBN  0-521-45602-9

Das Konyagin-Papier beweist das oben diskutierte Divergenzergebnis. Ein einfacherer Beweis, der nur log log n liefert,  findet sich in Kahanes Buch.${\displaystyle {\sqrt {\log n}}}$