Klassische Hamiltonsche Quaternionen - Classical Hamiltonian quaternions

William Rowan Hamilton erfand 1843 Quaternionen , eine mathematische Einheit. Dieser Artikel beschreibt Hamiltons ursprüngliche Behandlung von Quaternionen unter Verwendung seiner Notation und Begriffe. Hamiltons Behandlung ist geometrischer als der moderne Ansatz, der die algebraischen Eigenschaften von Quaternionen hervorhebt . Mathematisch gesehen unterscheiden sich die diskutierten Quaternionen von der modernen Definition nur durch die verwendete Terminologie.

Klassische Elemente einer Quaternion

Hamilton definierte eine Quaternion als den Quotienten zweier gerichteter Linien im dreidimensionalen Raum; oder allgemeiner als Quotient zweier Vektoren.

Eine Quaternion kann als die Summe eines Skalars und eines Vektors dargestellt werden . Es kann auch als Produkt seines Tensors und seines Versors dargestellt werden .

Skalar

Hamilton hat den Begriff Skalare für die reellen Zahlen erfunden , weil sie die "Skala des Fortschreitens von der positiven zur negativen Unendlichkeit" umfassen oder weil sie den "Vergleich von Positionen auf einer gemeinsamen Skala" darstellen. Hamilton betrachtete die gewöhnliche Skalaralgebra als die Wissenschaft der reinen Zeit.

Vektor

Hamilton definierte einen Vektor als "eine rechte Linie ... die nicht nur Länge, sondern auch Richtung hat". Hamilton abgeleitet , das Wort Vektor aus dem lateinischen Vehere , zu tragen.

Hamilton stellte sich einen Vektor als "Differenz seiner beiden Extrempunkte" vor. Für Hamilton war ein Vektor immer eine dreidimensionale Einheit mit drei Koordinaten relativ zu einem bestimmten Koordinatensystem, einschließlich, aber nicht beschränkt auf polare und rechteckige Systeme. Er bezeichnete Vektoren daher als "Tripletts".

Hamilton definierte die Addition von Vektoren in geometrischen Begriffen, indem er den Ursprung des zweiten Vektors am Ende des ersten platzierte. Er fuhr fort, Vektorsubtraktion zu definieren.

Durch mehrmaliges Hinzufügen eines Vektors zu sich selbst definierte er die Multiplikation eines Vektors mit einer ganzen Zahl und erweiterte diese dann auf die Division durch eine ganze Zahl und die Multiplikation (und Division) eines Vektors durch eine rationale Zahl. Schließlich definierte er durch Grenzüberschreitung das Ergebnis der Multiplikation eines Vektors α mit einem beliebigen Skalar x als einen Vektor β mit der gleichen Richtung wie α, wenn x positiv ist; die entgegengesetzte Richtung zu α, wenn x negativ ist; und eine Länge, die | ist x | mal die Länge von α.

Der Quotient zweier paralleler oder antiparalleler Vektoren ist daher ein Skalar mit einem Absolutwert, der dem Verhältnis der Längen der beiden Vektoren entspricht; Der Skalar ist positiv, wenn die Vektoren parallel sind, und negativ, wenn sie antiparallel sind.

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge eins. Beispiele für Einheitsvektoren umfassen i, j und k.

Tensor

Hinweis: Die Verwendung des Wortes Tensor durch Hamilton stimmt nicht mit der modernen Terminologie überein. Der Hamilton- Tensor ist eigentlich der absolute Wert der Quaternionsalgebra, was sie zu einem normierten Vektorraum macht .

Hamilton definierte den Tensor als positive numerische Größe oder genauer gesagt als vorzeichenlose Zahl. Ein Tensor kann als positiver Skalar betrachtet werden. Der "Tensor" kann als "Dehnungsfaktor" angesehen werden.

Hamilton führte den Begriff Tensor in seinem ersten Buch, Lectures on Quaternions, ein, basierend auf Vorträgen, die er kurz nach seiner Erfindung der Quaternions hielt:

• es erscheint zweckmäßig, die Bedeutung des neuen Worttensors per Definition zu vergrößern, um es in die Lage zu versetzen, auch jene anderen Fälle einzubeziehen, in denen wir an einer Linie arbeiten, indem wir ihre Länge verringern, anstatt sie zu vergrößern; und im Allgemeinen durch Ändern dieser Länge in einem bestimmten Verhältnis. Wir so soll haben gebrochene und sogar (wie es am Ende des Artikels in Frage angedeutet) inkommensurabel Tensoren, die einfach numerische Multiplikatoren sein, und alle werden positive oder (richtiger sprechen) zeichenlose Zahlen , die ist unbekleideten mit die algebraischen Zeichen von positiv und negativ  ; weil wir in der hier betrachteten Operation von den Richtungen (sowie von den Situationen) der Linien abstrahieren, die verglichen oder bearbeitet werden.

Jedes Quaternion hat einen Tensor, der ein Maß für seine Größe ist (genauso wie die Länge eines Vektors ein Maß für die Größe eines Vektors ist). Wenn ein Quaternion als Quotient zweier Vektoren definiert ist, ist sein Tensor das Verhältnis der Längen dieser Vektoren.

Versor

Ein Versor ist eine Quaternion mit einem Tensor von 1. Alternativ kann ein Versor als der Quotient zweier Vektoren gleicher Länge definiert werden.

Im Allgemeinen definiert ein Versor alles Folgende: eine Richtungsachse; die Ebene senkrecht zu dieser Achse; und einen Drehwinkel.

Wenn ein Versor und ein Vektor, die in der Ebene des Versors liegen, multipliziert werden, ist das Ergebnis ein neuer Vektor gleicher Länge, der jedoch um den Winkel des Versors gedreht wird.

Vektorbogen

Da jeder Einheitsvektor als Punkt auf einer Einheitskugel betrachtet werden kann und ein Versor als Quotient zweier Vektoren betrachtet werden kann, hat ein Versor einen repräsentativen Großkreisbogen , der als Vektorbogen bezeichnet wird und diese beiden Punkte verbindet. vom Divisor oder unteren Teil des Quotienten zur Dividende oder zum oberen Teil des Quotienten gezogen.

Richtiger Versor

Wenn der Bogen eines Versors die Größe eines rechten Winkels hat , wird er als rechter Versor , rechter radialer oder quadrantaler Versor bezeichnet .

Entartete Formen

Es gibt zwei spezielle entartete Versorfälle, die als Einheitsskalare bezeichnet werden. Diese beiden Skalare (negative und positive Einheit) können als skalare Quaternionen betrachtet werden . Diese beiden Skalare sind spezielle Grenzfälle, die Versen mit Winkeln von entweder Null oder π entsprechen.

Im Gegensatz zu anderen Versen können diese beiden nicht durch einen eindeutigen Bogen dargestellt werden. Der Bogen von 1 ist ein einzelner Punkt, und –1 kann durch eine unendliche Anzahl von Bögen dargestellt werden, da zwischen den antipodalen Punkten einer Kugel unendlich viele kürzeste Linien liegen.

Quaternion

Jedes Quaternion kann in einen Skalar und einen Vektor zerlegt werden.

${\ displaystyle q = \ mathbf {S} (q) + \ mathbf {V} (q)}$

Diese beiden Operationen S und V heißen "nimm den Skalar von" und "nimm den Vektor von" einer Quaternion. Der Vektorteil einer Quaternion wird auch als rechter Teil bezeichnet.

Jede Quaternion ist gleich einem Versor multipliziert mit dem Tensor der Quaternion. Bezeichnet den Versor einer Quaternion durch

${\ displaystyle \ mathbf {U} q}$

und der Tensor einer Quaternion von

${\ displaystyle \ mathbf {T} q}$

wir haben

${\ displaystyle q = \ mathbf {T} q \ mathbf {U} q}$

Richtige Quaternion

Eine rechte Quaternion ist eine Quaternion, deren Skalarkomponente Null ist.

${\ displaystyle S (q) = 0}$

Der Winkel einer rechten Quaternion beträgt 90 Grad. Eine rechte Quaternion kann auch als Vektor plus Nullskalar betrachtet werden. Richtige Quaternionen können in die sogenannte Standard-Trinomialform gebracht werden. Wenn Q beispielsweise eine richtige Quaternion ist, kann es wie folgt geschrieben werden:

${\ displaystyle Q = xi + yj + zk}$

Vier Operationen

Vier Operationen sind für die Quaternionsnotation von grundlegender Bedeutung.

+ - ÷ ×

Insbesondere ist es wichtig zu verstehen, dass es eine einzelne Multiplikationsoperation, eine einzelne Divisionsoperation und eine einzelne Additions- und Subtraktionsoperation gibt. Dieser einzelne Multiplikationsoperator kann mit jeder Art von mathematischen Entitäten arbeiten. Ebenso kann jede Art von Entität von jeder anderen Art von Entität geteilt, addiert oder subtrahiert werden. Das Verständnis der Bedeutung des Subtraktionssymbols ist in der Quaternionstheorie von entscheidender Bedeutung, da es zum Verständnis des Konzepts eines Vektors führt.

Ordnungszahler

Die beiden Ordnungsoperationen in der klassischen Quaternionsnotation waren Addition und Subtraktion oder + und -.

Diese Marken sind:

"... Merkmale der Synthese und Analyse eines Fortschrittszustands, da dieser Zustand als von einem anderen Zustand dieses Fortschritts abgeleitet oder mit diesem verglichen angesehen wird."

Subtraktion

Subtraktion ist eine Art von Analyse, die als Ordnungsanalyse bezeichnet wird

... lassen Sie den Raum nun als das Feld der Progression betrachten, das untersucht werden soll, und PUNKTE als Zustände dieser Progression. ... Ich werde veranlasst, das Wort "Minus" oder die Marke - in der Geometrie als Zeichen oder Merkmal der Analyse einer geometrischen Position (im Raum) im Vergleich zu einer anderen (solchen) Position zu betrachten. Der Vergleich eines mathematischen Punktes mit einem anderen im Hinblick auf die Bestimmung dessen, was als ihre Ordnungsbeziehung oder ihre relative Position im Raum bezeichnet werden kann ...

Das erste Beispiel für die Subtraktion besteht darin, den Punkt A zur Darstellung der Erde und den Punkt B zur Darstellung der Sonne zu nehmen. Ein von A nach B gezogener Pfeil repräsentiert den Vorgang der Bewegung oder Vektion von A nach B.

B - A.

Dies ist das erste Beispiel in Hamiltons Vorlesungen eines Vektors. In diesem Fall die Reise von der Erde zum Mond.

Zusatz

Addition ist eine Art von Analyse, die als Ordnungssynthese bezeichnet wird.

Addition von Vektoren und Skalaren

Vektoren und Skalare können hinzugefügt werden. Wenn ein Vektor zu einem Skalar hinzugefügt wird, einer völlig anderen Entität, wird eine Quaternion erstellt.

Ein Vektor plus ein Skalar ist immer eine Quaternion, selbst wenn der Skalar Null ist. Wenn der dem Vektor hinzugefügte Skalar Null ist, wird das neu erzeugte Quaternion als rechtes Quaternion bezeichnet. Es hat eine Winkelcharakteristik von 90 Grad.

Kardinaloperationen

Die beiden Kardinaloperationen in Quaternionsnotation sind geometrische Multiplikation und geometrische Division und können geschrieben werden:

÷, ×

Es ist nicht erforderlich, die folgenden fortgeschritteneren Begriffe zu lernen, um Division und Multiplikation zu verwenden.

Division ist eine Art von Analyse, die als Kardinalanalyse bezeichnet wird. Die Multiplikation ist eine Art Synthese, die als Kardinalsynthese bezeichnet wird

Einteilung

Klassischerweise wurde das Quaternion als das Verhältnis zweier Vektoren angesehen, das manchmal als geometrischer Bruch bezeichnet wird.

Wenn OA und OB zwei Vektoren darstellen, die vom Ursprung O zu zwei anderen Punkten A und B gezogen wurden, wurde der geometrische Bruch als geschrieben

${\ displaystyle OA: OB}$

Wenn alternativ die beiden Vektoren durch α und β dargestellt werden, wurde der Quotient wie folgt geschrieben

${\ displaystyle \ alpha \ div \ beta}$

oder

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$

Hamilton behauptet: "Der Quotient zweier Vektoren ist im Allgemeinen eine Quaternion". In Vorlesungen über Quaternionen wird zunächst auch das Konzept einer Quaternion als Quotient zweier Vektoren vorgestellt:

Logisch und per Definition,

wenn ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = q}$

dann . ${\ displaystyle {q} \ times {\ beta} = \ alpha.}$

In Hamiltons Kalkül ist das Produkt nicht kommutativ , dh die Reihenfolge der Variablen ist von großer Bedeutung. Wenn die Reihenfolge von q und β umgekehrt würde, wäre das Ergebnis im Allgemeinen nicht α. Das Quaternion q kann als ein Operator betrachtet werden, der β in α umwandelt, indem es zuerst gedreht wird, früher ein Akt der Version, und dann die Länge geändert wird , früher ein Akt der Spannung genannt .

Auch per Definition ist der Quotient zweier Vektoren gleich dem Zähler mal dem Kehrwert des Nenners . Da die Multiplikation von Vektoren nicht kommutativ ist, kann die Reihenfolge im folgenden Ausdruck nicht geändert werden.

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = \, {\ alpha} \ times {\ frac {1} {\ beta}}}$

Auch hier ist die Reihenfolge der beiden Größen auf der rechten Seite von Bedeutung.

Hardy präsentiert die Definition der Teilung in Bezug auf mnemonische Stornierungsregeln. "Abbrechen wird durch einen rechten Aufwärtshub ausgeführt".

Wenn Alpha und Beta Vektoren sind und q eine solche Quaternion ist, dass

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = q}$

dann ${\ displaystyle \ alpha \ beta ^ {- 1} = q}$

und ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}}. \ beta = \ alpha \ beta ^ {- 1}. \ beta = \ alpha}$

${\ displaystyle \ times}$und sind inverse Operationen, so dass:${\ displaystyle \ div}$

${\ displaystyle \ beta \ div \ alpha \ times \ alpha = \ beta}$ und ${\ displaystyle q \ times \ alpha \ div \ alpha = q}$

und

${\ displaystyle \ gamma = (\ gamma \ div \ beta) \ times (\ beta \ div \ alpha) \ times \ alpha}$

Eine wichtige Art, sich q vorzustellen, ist ein Operator, der β in α umwandelt, indem er es zuerst dreht ( Version ) und dann seine Länge ändert (Spannung).

${\ displaystyle \ gamma \ div \ alpha = (\ gamma \ div \ beta) \ times (\ beta \ div \ alpha)}$

Division der Einheitsvektoren i , j , k

Die Ergebnisse der Verwendung des Divisionsoperators für i , j und k waren wie folgt.

${\ displaystyle ij = k}$	${\ displaystyle {\ frac {k} {j}} = i}$
${\ displaystyle jk = i}$	${\ displaystyle {\ frac {i} {k}} = j}$
${\ displaystyle ki = j}$	${\ displaystyle {\ frac {j} {i}} = k}$
${\ displaystyle ji = -k}$	${\ displaystyle {\ frac {-k} {i}} = j}$
${\ displaystyle kj = -i}$	${\ displaystyle {\ frac {-i} {j}} = k}$
${\ displaystyle ik = -j}$	${\ displaystyle {\ frac {-j} {k}} = i}$
${\ displaystyle i (-j) = - k}$	${\ displaystyle {\ frac {-k} {- j}} = i}$
${\ displaystyle i (-k) = j}$	${\ displaystyle {\ frac {j} {- k}} = i}$
${\ displaystyle k (-i) = - j}$	${\ displaystyle {\ frac {-j} {- i}} = k}$
${\ displaystyle k (-j) = i}$	${\ displaystyle {\ frac {i} {- j}} = k}$
${\ displaystyle j (-k) = - i}$	${\ displaystyle {\ frac {-i} {- k}} = j}$
${\ displaystyle j (-i) = k}$	${\ displaystyle {\ frac {k} {- i}} = j}$

Der Kehrwert eines Einheitsvektors ist der umgekehrte Vektor.

${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} = i ^ {- 1} = - i}$

Da ein Einheitsvektor und sein Kehrwert parallel zueinander sind, aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen, haben das Produkt eines Einheitsvektors und sein Kehrwert eine kommutative Sonderfall-Eigenschaft, z. B. wenn a ein Einheitsvektor ist, dann:

${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} a = (- a) a = 1 = a (-a) = a {\ frac {1} {a}}.}$

Im allgemeineren Fall mit mehr als einem Vektor (unabhängig davon, ob es sich um einen Einheitsvektor handelt oder nicht) gilt die kommutative Eigenschaft jedoch nicht. Beispielsweise:

${\ displaystyle i {\ frac {k} {i}}}$ ≠ ${\ displaystyle {\ frac {k} {i}} i.}$

Dies liegt daran, dass k / i sorgfältig definiert ist als:

${\ displaystyle {\ frac {k} {i}} = k {\ frac {1} {i}} = ki ^ {- 1} = k (-i) = - (ki) = - (j) = - j}$.

Damit:

${\ displaystyle i {\ frac {k} {i}} = i (-j) = - k}$,

jedoch

${\ displaystyle {\ frac {k} {i}} i = (- j) i = - (ji) = - (- k) = k}$

Division zweier paralleler Vektoren

Während im Allgemeinen der Quotient zweier Vektoren ein Quaternion ist, ist der Quotient dieser beiden Vektoren ein Skalar, wenn α und β zwei parallele Vektoren sind. Zum Beispiel, wenn

${\ displaystyle \ alpha = ai}$,

und dann ${\ displaystyle \ beta = bi}$

${\ displaystyle \ alpha \ div \ beta = {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = {\ frac {ai} {bi}} = {\ frac {a} {b}}}$

Wobei a / b ein Skalar ist.

Division zweier nicht paralleler Vektoren

Der Quotient zweier Vektoren ist im Allgemeinen das Quaternion:

${\ displaystyle q = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$${\ displaystyle = {\ frac {T \ alpha} {T \ beta}} (\ cos \ phi + \ epsilon \ sin \ phi)}$

Wenn α und β zwei nicht parallele Vektoren sind, ist φ der Winkel zwischen ihnen und ε ist ein Einheitsvektor senkrecht zur Ebene der Vektoren α und β, dessen Richtung durch die Standardregel für die rechte Hand gegeben ist.

Multiplikation

Die klassische Quaternionsnotation hatte nur ein Multiplikationskonzept. Die Multiplikation von zwei reellen Zahlen, zwei imaginären Zahlen oder einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl im klassischen Notationssystem war dieselbe Operation.

Die Multiplikation eines Skalars und eines Vektors wurde mit demselben einzelnen Multiplikationsoperator durchgeführt; Die Multiplikation von zwei Vektoren von Quaternionen verwendete dieselbe Operation wie die Multiplikation eines Quaternions und eines Vektors oder von zwei Quaternionen.

Faktor, Freund und Faktum

Faktor × Faciend = Factum

Wenn zwei Größen multipliziert werden, wird die erste Größe als Faktor bezeichnet, die zweite Größe als Faciend und das Ergebnis als Factum.

Verteilend

In der klassischen Notation war die Multiplikation verteilend . Wenn man dies versteht, kann man leicht erkennen, warum das Produkt zweier Vektoren in klassischer Notation eine Quaternion erzeugt hat.

${\ displaystyle q = (ai + bj + ck) \ times (ei + fj + gk)}$

${\ displaystyle q = ae ({i} \ times {i}) + af ({i} \ times {j}) + ag ({i} \ times {k}) + be ({j} \ times {i }) + bf ({j} \ times {j}) + bg ({j} \ times {k}) + ce ({k} \ times {i}) + cf ({k} \ times {j}) + cg ({k} \ times {k})}$

Unter Verwendung der Quaternion-Multiplikationstabelle haben wir:

${\ displaystyle q = ae (-1) + af (+ k) + ag (-j) + be (-k) + bf (-1) + bg (+ i) + ce (+ j) + cf (- i) + cg (-1)}$

Dann Begriffe sammeln:

${\ displaystyle q = -ae-bf-cg + (bg-cf) i + (ce-ag) j + (af-be) k}$

Die ersten drei Begriffe sind skalar.

Lassen

${\ displaystyle w = -ae-bf-cg}$

${\ displaystyle x = (bg-cf)}$

${\ displaystyle y = (ce-ag)}$

${\ displaystyle z = (af-be)}$

Damit das Produkt zweier Vektoren eine Quaternion ist und in folgender Form geschrieben werden kann:

${\ displaystyle q = w + xi + yj + zk}$

Produkt zweier rechter Quaternionen

Das Produkt zweier rechter Quaternionen ist im Allgemeinen eine Quaternion.

Sei α und β die richtigen Quaternionen, die sich aus der Verwendung der Vektoren zweier Quaternionen ergeben:

${\ displaystyle \ alpha = \ mathbf {V} p}$

${\ displaystyle \ beta = \ mathbf {V} q}$

Ihr Produkt im Allgemeinen ist eine neue Quaternion, die hier durch r dargestellt wird. Dieses Produkt ist nicht mehrdeutig, da die klassische Notation nur ein Produkt enthält.

${\ displaystyle r = \, \ alpha \ beta;}$

Wie alle Quaternionen kann r nun in seine Vektor- und Skalarteile zerlegt werden.

${\ displaystyle r = \ mathbf {S} r + \ mathbf {V} r}$

Die Begriffe auf der rechten Seite werden als Skalar des Produkts und als Vektor des Produkts zweier rechter Quaternionen bezeichnet.

Anmerkung: "Skalar des Produkts" entspricht dem euklidischen Skalarprodukt zweier Vektoren bis zum Vorzeichenwechsel (Multiplikation mit -1).

Andere Betreiber im Detail

Skalar und Vektor

Zwei wichtige Operationen in zwei der klassischen Quaternion-Notationssysteme waren S (q) und V (q), was bedeutete, den skalaren Teil und den Imaginärteil dessen zu nehmen, was Hamilton den Vektorteil des Quaternions nannte. Hier sind S und V Operatoren, die auf q einwirken. Klammern können in solchen Ausdrücken ohne Mehrdeutigkeit weggelassen werden. Klassische Notation:

${\ displaystyle q = \, \ mathbf {S} q + \ mathbf {V} q}$

Hier ist q eine Quaternion. S q ist der Skalar des Quaternions, während V q der Vektor des Quaternions ist.

Konjugieren

K ist der konjugierte Operator. Das Konjugat eines Quaternions ist ein Quaternion, das durch Multiplizieren des Vektorteils des ersten Quaternions mit minus eins erhalten wird.

Wenn

${\ displaystyle q = \, \ mathbf {S} q + \ mathbf {V} q}$

dann

${\ displaystyle \ mathbf {K} q = \ mathbf {S} \, q- \ mathbf {V} q}$.

Der Ausdruck

${\ displaystyle r = \, \ mathbf {K} q}$,

bedeutet, dem Quaternion r den Wert des Konjugats des Quaternions q zuzuweisen.

Tensor

T ist der Tensoroperator. Es gibt eine Art Zahl zurück, die als Tensor bezeichnet wird .

Der Tensor eines positiven Skalars ist dieser Skalar. Der Tensor eines negativen Skalars ist der Absolutwert des Skalars (dh ohne das negative Vorzeichen). Beispielsweise:

${\ displaystyle \ mathbf {T} (5) = 5}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} (-5) = 5}$

Der Tensor eines Vektors ist per Definition die Länge des Vektors. Zum Beispiel, wenn:

${\ displaystyle \ alpha = xi + yj + zk}$

Dann

${\ displaystyle \ mathbf {T} \ alpha = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}$

Der Tensor eines Einheitsvektors ist eins. Da der Versor eines Vektors ein Einheitsvektor ist, ist der Tensor des Versors eines Vektors immer gleich Eins. Symbolisch:

${\ displaystyle \ mathbf {TU} \ alpha = 1}$

Ein Quaternion ist per Definition der Quotient zweier Vektoren und der Tensor eines Quaternions ist per Definition der Quotient der Tensoren dieser beiden Vektoren. In Symbolen:

${\ displaystyle q = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}.}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} q = {\ frac {\ mathbf {T} \ alpha} {\ mathbf {T} \ beta}}.}$

Aus dieser Definition kann gezeigt werden, dass eine nützliche Formel für den Tensor eines Quaternions lautet:

${\ displaystyle \ mathbf {T} q = {\ sqrt {w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}$

Aus dieser Definition kann auch bewiesen werden, dass eine andere Formel zum Erhalten des Tensors eines Quaternions aus der gemeinsamen Norm stammt, die als Produkt eines Quaternions und seines Konjugats definiert ist. Die Quadratwurzel der gemeinsamen Norm eines Quaternions ist gleich seinem Tensor.

${\ displaystyle \ mathbf {T} q = {\ sqrt {qKq}}}$

Eine nützliche Identität ist, dass das Quadrat des Tensors eines Quaternions gleich dem Tensor des Quadrats eines Quaternions ist, so dass die Klammern weggelassen werden können.

${\ displaystyle (\ mathbf {T} q) ^ {2} = \ mathbf {T} (q ^ {2}) = \ mathbf {T} q ^ {2}}$

Auch die Tensoren konjugierter Quaternionen sind gleich.

${\ displaystyle \ mathbf {TK} q = \ mathbf {T} q}$

Der Tensor eines Quaternions heißt jetzt seine Norm .

Achse und Winkel

Wenn man den Winkel einer nicht skalaren Quaternion nimmt, ergibt sich ein Wert größer als Null und kleiner als π.

Wenn ein nicht skalares Quaternion als Quotient zweier Vektoren betrachtet wird, ist die Achse des Quaternions ein Einheitsvektor senkrecht zur Ebene der beiden Vektoren in diesem ursprünglichen Quotienten in einer durch die rechte Regel angegebenen Richtung. Der Winkel ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren.

In Symbolen,

${\ displaystyle u = Ax.q}$

${\ displaystyle \ theta = \ angle q}$

Gegenseitig

Wenn

${\ displaystyle q = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$

dann ist sein Kehrwert definiert als

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = q ^ {- 1} = {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}$

Der Ausdruck:

${\ displaystyle {q} \ times {\ alpha} \ times {\ frac {1} {q}}}$

Reziproke haben viele wichtige Anwendungen, zum Beispiel Rotationen , insbesondere wenn q ein Versor ist. Ein Versor hat eine einfache Formel für seinen Kehrwert.

${\ displaystyle {\ frac {1} {(\ mathbf {U} q)}} = \ mathbf {SU} q- \ mathbf {VU} q = \ mathbf {KU} q}$

In Worten ist der Kehrwert eines Versors gleich seinem Konjugat. Die Punkte zwischen den Operatoren zeigen die Reihenfolge der Operationen an und helfen auch anzuzeigen, dass S und U beispielsweise zwei verschiedene Operationen sind und keine einzelne Operation mit dem Namen SU.

Gemeinsame Norm

Das Produkt einer Quaternion mit ihrem Konjugat ist ihre gemeinsame Norm.

Die Operation der Annahme der gemeinsamen Norm einer Quaternion wird mit dem Buchstaben N dargestellt . Per Definition ist die gemeinsame Norm das Produkt einer Quaternion mit ihrem Konjugat. Es kann bewiesen werden, dass die gemeinsame Norm gleich dem Quadrat des Tensors einer Quaternion ist. Dieser Beweis stellt jedoch keine Definition dar. Hamilton gibt genaue, unabhängige Definitionen sowohl der gemeinsamen Norm als auch des Tensors. Diese Norm wurde wie aus der Zahlentheorie vorgeschlagen übernommen, um Hamilton jedoch zu zitieren: "Sie werden nicht oft gesucht". Der Tensor ist im Allgemeinen von größerem Nutzen. Das Wort Norm erscheint nicht in Vorlesungen über Quaternionen und nur zweimal im Inhaltsverzeichnis von Elementen von Quaternionen .

In Symbolen:

${\ displaystyle \ mathbf {N} q = \, q \ mathbf {K} q = \, (\ mathbf {T} q) ^ {2}}$

Die gemeinsame Norm eines Versors ist immer gleichbedeutend mit positiver Einheit.

${\ displaystyle \ mathbf {NU} q = \ mathbf {U} q. \ mathbf {KU} q = 1}$

Biquaternionen

Geometrisch reelle und geometrisch imaginäre Zahlen

In der klassischen Quaternionsliteratur ist die Gleichung

${\ displaystyle q ^ {2} = - 1}$

Es wurde angenommen, dass es unendlich viele Lösungen gibt, die als geometrisch real bezeichnet werden . Diese Lösungen sind die Einheitsvektoren, die die Oberfläche einer Einheitskugel bilden.

Eine geometrisch reale Quaternion kann als lineare Kombination von i , j und k geschrieben werden , so dass sich die Quadrate der Koeffizienten zu eins addieren. Hamilton zeigte, dass es zusätzlich zu den geometrisch realen Wurzeln zusätzliche Wurzeln dieser Gleichung geben musste. Angesichts der Existenz des imaginären Skalars kann eine Reihe von Ausdrücken geschrieben und mit Eigennamen versehen werden. All dies war Teil von Hamiltons ursprünglichem Quaternionskalkül. In Symbolen:

${\ displaystyle q + q '{\ sqrt {-1}}}$

wobei q und q 'reelle Quaternionen sind und die Quadratwurzel von minus eins das Imaginäre der gewöhnlichen Algebra ist und als imaginäre oder symbolische Wurzeln und nicht als geometrisch reelle Vektorgröße bezeichnet wird.

Imaginärer Skalar

Geometrisch Imaginäre Größen sind zusätzliche Wurzeln der obigen Gleichung rein symbolischer Natur. In Artikel 214 von Elements beweist Hamilton, dass es, wenn es ein i, j und k gibt, auch eine andere Größe h geben muss, die ein imaginärer Skalar ist, von dem er beobachtet, dass er jedem hätte einfallen müssen, der die vorhergehenden Artikel aufmerksam gelesen hat. Artikel 149 von Elements befasst sich mit geometrisch imaginären Zahlen und enthält eine Fußnote, in der der Begriff Biquaternion eingeführt wird . Die Begriffe imaginär der gewöhnlichen Algebra und skalar imaginär werden manchmal für diese geometrisch imaginären Größen verwendet.

Geometrisch Imaginäre Wurzeln einer Gleichung wurden im klassischen Denken als geometrisch unmögliche Situationen interpretiert. Artikel 214 der Elemente von Quaternionen untersucht das Beispiel der Gleichung einer Linie und eines Kreises, die sich nicht schneiden, wie dies durch die Gleichung mit nur einer geometrisch imaginären Wurzel angezeigt wird.

In Hamiltons späteren Schriften schlug er vor, den Buchstaben h zu verwenden, um den imaginären Skalar zu bezeichnen

Biquaternion

Auf Seite 665 von Elemente von Quaternionen definiert Hamilton eine Biquaternion als eine Quaternion mit komplexen Zahlenkoeffizienten. Der skalare Teil eines Biquaternions ist dann eine komplexe Zahl, die als Biskalar bezeichnet wird . Der Vektorteil eines Biquaternions ist ein Bivektor , der aus drei komplexen Komponenten besteht. Die Biquaternionen sind dann die Komplexisierung der ursprünglichen (realen) Quaternionen.

Andere doppelte Quaternionen

Hamilton erfand den Begriff assoziativ , um zwischen dem imaginären Skalar (inzwischen als komplexe Zahl bekannt ), der sowohl kommutativ als auch assoziativ ist, und vier weiteren möglichen Wurzeln negativer Einheit, die er als L, M, N und O bezeichnete, zu unterscheiden, wobei er sie kurz erwähnte Anhang B der Vorlesungen über Quaternionen und in privaten Briefen. Nichtassoziative Wurzeln von minus eins erscheinen jedoch nicht in Elementen von Quaternionen . Hamilton starb, bevor er an diesen seltsamen Wesen arbeitete. Sein Sohn behauptete, sie seien "Bögen, die den Händen eines anderen Odysseus vorbehalten sind".

Siehe auch

• Cayley-Dickson-Konstruktion
• Oktonionen
• Frobenius-Theorem

Fußnoten

Verweise

• WR Hamilton (1853), Vorträge über Quaternionenbei Google Books Dublin: Hodges und Smith
• WR Hamilton (1866), Elemente von Quaternionenbei Google Books , 2. Auflage, herausgegeben von Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
• AS Hardy (1887), Elemente von Quaternionen
• PG Tait (1890), Eine elementare Abhandlung über Quaternionen , Cambridge: CJ Clay and Sons
• Herbert Goldstein (1980), Klassische Mechanik , 2. Auflage, Kongressbibliothek Katalognummer QA805.G6 1980