Banach-Alaoglu-Theorem - Banach–Alaoglu theorem

Bezeichnet durch das zugrunde liegende Feld von, von dem entweder die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen sind. Dieser Beweis verwendet einige der grundlegenden Eigenschaften, die in den Artikeln aufgeführt sind: polare Menge , duales System und stetiger linearer Operator . ${\displaystyle X}$${\displaystyle\mathbb{K},}$ ${\displaystyle\mathbb{R}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}.}$

Um den Beweis zu beginnen, werden einige Definitionen und leicht verifizierte Ergebnisse in Erinnerung gerufen. Wenn mit dem dotierten Schwach- * Topologie dann dieser Hausdorff lokalkonvexe topologischen Vektorraum , der durch bezeichnete Der Raum ist immer eine vollständige TVS ; jedoch kann nicht ein kompletter Raum sein, das ist der Grund , warum dieser Beweis den Raum beinhaltet Konkret wird dieser Beweis die Tatsache nutzen , dass ein Teil eines kompletten Hausdorff - Raum kompakt ist , wenn (und nur dann) ist es geschlossen ist und total beschränkt . Wichtig ist , dass die Unterraum - Topologie , dass erbt von IST gleich wird , kann leicht überprüft dies , daß gegeben durch zeigt jede ein Netz in zu konvergiert in eines dieser Topologien , wenn und nur , wenn es auch auf konvergiert in der anderen Topologie (die Schlußfolgerung , da zwei Topologien folgt sind genau dann gleich, wenn sie die exakt gleichen konvergenten Netze haben). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle \left(X^{\prime},\sigma \left(X^{\prime},X\right)\right)}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right).}$${\displaystyle x^{\prime}\in X^{\prime},}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle x^{\prime}}$${\displaystyle x^{\prime}}$

Das Triple ist ein duales Pairing, obwohl es im Gegensatz zu im Allgemeinen nicht garantiert ein duales System ist. Sofern nicht anders angegeben, werden alle Polarsätze in Bezug auf die kanonische Paarung genommen${\displaystyle\left\langle X,X^{\prime}\right\rangle}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle,}$ ${\displaystyle\left\langle X,X^{\prime}\right\rangle.}$

Sei eine Umgebung des Ursprungs in und sei: ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle U^{\circ}=\left\{f\in X^{\prime}~:~\sup_{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$sei die Polare von in Bezug auf die kanonische Paarung ;${\displaystyle U}$${\displaystyle\left\langle X,X^{\prime}\right\rangle}$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ}=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\} }$sei das Bipolare von${\displaystyle U}$ in Bezug auf ;${\displaystyle\left\langle X,X^{\prime}\right\rangle}$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$sei die Polare von in Bezug auf das kanonische duale System${\displaystyle U}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$

Eine bekannte Tatsache über Polaren von Mengen ist, dass ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ}\subseteq U^{\circ}.}$

1. Zeigen Sie, dass a -Geschlossener Teilmenge von Let und nehmen wir an, dass ein Netz ist in , dass konvergiert in zu dem Schluss , dass es ausreichend ist (und notwendig), um zu zeigen für jeden Da im Skalarfeld und jeder Wert gehört zu den geschlossenen (in ) Untermenge muss auch die Grenze dieses Netzes zu dieser Menge gehören. Daher${\displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$${\displaystyle X^{\#}:}$${\displaystyle f\in X^{\#}}$${\displaystyle f_{\bullet}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle f\in U^{\#},}$${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$${\displaystyle u\in U.}$${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$${\displaystyle\mathbb{K}}$${\displaystyle f_{i}(u)}$${\displaystyle\mathbb{K}}$${\displaystyle \left\{s\in\mathbb{K} :|s|\leq 1\right\},}$${\displaystyle f(u)}$${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. Zeigen Sie dies und schließen Sie dann, dass dies eine abgeschlossene Teilmenge von beiden ist und Die Inklusion gilt, weil jedes stetige lineare Funktional (insbesondere) ein lineares Funktional ist. Für die umgekehrte Inklusion sei das, was genau besagt, dass das lineare Funktional auf die Umgebung beschränkt ist ; ist also ein stetiges lineares Funktional (d. h. ) und so wie gewünscht. Mit (1) und der Tatsache, dass der Schnitt in der Unterraumtopologie abgeschlossen ist, folgt die Behauptung über die Abgeschlossenheit.${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle \left(X^{\prime},\sigma\left(X^{\prime},X\right)\right):}$${\displaystyle U^{\circ}\subseteq U^{\#}}$${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ},\,}$${\displaystyle f\in U^{\#}}$${\displaystyle \;\sup_{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in X^{\prime}}$${\displaystyle f\in U^{\circ},}$${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime}=U^{\circ}\cap X^{\prime}=U^{\circ}}$${\displaystyle X^{\prime},}$${\displaystyle U^{\circ }}$
3. Zeigen Sie, dass eine - völlig beschränkte Teilmenge von durch den bipolaren Satz , wo denn die Nachbarschaft eine ist absorbierende Teilmenge von derselben muss wahr der Satz sein ; es möglich ist , zu beweisen , dass dies bedeutet , dass eine - beschränkte Teilmenge von Da unterscheiden Punkte von einer Teilmenge von ist -bounded , wenn und nur wenn es - total beschränkt . So ist insbesondere auch -total beschränkt.${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle X^{\prime}:}$${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle U^{\circ \circ}}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle X^{\prime}.}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime},}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$
4. Schließen daraus , dass es auch eine -totally beschränkte Teilmenge von erinnern , dass die Topologie auf , um die Topologie Subraum identisch ist , dass erbt von dieser Tatsache, zusammen mit (3) und die Definition von „total beschränkt“, das bedeuten , a ist -totally beschränkte Teilmenge von${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$${\displaystyle X^{\#}:}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$${\displaystyle X^{\#}.}$
5. Schließlich folgern Sie, dass eine -kompakte Teilmenge von Weil eine vollständige TVS und eine abgeschlossene (nach (2)) und total beschränkte (nach (4)) Teilmenge davon ist, die kompakt ist. QED${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle X^{\prime}:}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma\left(X^{\#},X\right)\right),}$${\displaystyle U^{\circ }}$

Es bezeichne den darunter liegenden Bereich von denen entweder die reellen Zahlen oder komplexe Zahlen für eine wirkliche let ${\displaystyle X}$${\displaystyle\mathbb{K},}$ ${\displaystyle\mathbb{R}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}.}$${\displaystyle r,}$

$${\displaystyle B_{r}:=\{s\in\mathbb{K} :|s|\leq r\}}$$

Teilmenge von befindet${\displaystyle r}$${\displaystyle\mathbb{K},}$${\displaystyle \mathbb{K}.}$

Denn ist eine Umgebung des Ursprungs darin auch eine

von so gibt es für jede eine reelle Zahl, so dass Let ${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}.}$

$${\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~ =~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$

die Polare von bezüglich des kanonischen Dualsystems bezeichnen Wie nun gezeigt wird, ist diese Polarmenge die gleiche wie die Polare von bezüglich${\displaystyle U}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$${\displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle\left\langle X,X^{\prime}\right\rangle.}$

Beweis:${\displaystyle U^{\circ}=U^{\#}:}$ Die Inklusion gilt, weil jedes stetige lineare Funktional (insbesondere) ein lineares Funktional ist. Für die umgekehrte Inklusion sei das, was genau besagt, dass das lineare Funktional auf die Umgebung beschränkt ist ; ist also ein

(d. h. ) und so wie gewünscht. QED ${\displaystyle U^{\circ}\subseteq U^{\#}}$${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ},\,}$${\displaystyle f\in U^{\#}}$${\displaystyle \;\sup_{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in X^{\prime}}$${\displaystyle f\in U^{\circ},}$

Der Rest dieses Beweises erfordert ein genaues Verständnis, wie das kartesische Produkt als der Raum aller Funktionen der Form identifiziert wird. Für interessierte Leser wird nun eine Erklärung gegeben. ${\textstyle \prod_{x\in X}\mathbb{K}}$${\displaystyle \mathbb{K} ^{X}}$${\displaystyle X\to\mathbb{K}.}$

Premiere zur Identifizierung von Funktionen mit Tupeln

Das kartesische Produkt wird normalerweise als Menge aller -indizierten Tupel betrachtet, kann aber, wie jetzt beschrieben wird, auch mit dem Raum aller Funktionen mit Prototyp identifiziert werden${\textstyle \prod_{x\in X}\mathbb{K}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{\bullet}=\left(s_{x}\right)_{x\in X}}$${\displaystyle \mathbb{K} ^{X}}$${\displaystyle X\to\mathbb{K}.}$ Funktion Tuple${\displaystyle \to}$ : Eine Funktion , die zu mit seinem (identifiziert -indexed) „ Tupel von Werten “${\displaystyle s:X\to\mathbb{K}}$${\displaystyle \mathbb{K} ^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s_{\bullet}:=(s(x))_{x\in X}.}$ Tuple Funktion${\displaystyle \to}$ : Ein Tupel in mit der Funktion identifiziert wird definiert durch ; Das "Tupel von Werten" dieser Funktion ist das ursprüngliche Tupel${\displaystyle s_{\bullet}=\left(s_{x}\right)_{x\in X}}$${\textstyle \prod_{x\in X}\mathbb{K}}$${\displaystyle s:X\to\mathbb{K}}$${\displaystyle s(x):=s_{x}}$${\displaystyle \left(s_{x}\right)_{x\in X}.}$ Dies ist der Grund, warum viele Autoren, oft ohne Kommentar, die Gleichheit schreiben $${\displaystyle\mathbb{K}^{X}=\prod_{x\in X}\mathbb{K}}$$ und warum das kartesische Produkt manchmal als Definition der Menge von Karten verwendet wird Das kartesische Produkt, das (kategoriale) Produkt in der Kategorie der Mengen (was eine Art inverser Grenzwert ist ), ist jedoch auch mit zugehörigen Karten ausgestattet, die werden als seine (Koordinaten-) Projektionen bezeichnet . ${\textstyle \prod_{x\in X}\mathbb{K}}$${\displaystyle \mathbb{K}^{X}.}$ Die kanonische Projektion des kartesischen Produkts zu jedem gegebenen Zeitpunkt ist die Funktion ${\displaystyle z\in X}$ $${\displaystyle \Pr {}_{z}:\prod_{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb{K} \quad {\text{ definiert durch }}\quad s_{\bullet} =\left(s_{x}\right)_{x\in X}\mapsto s_{z}}$$ wo unter obiger Kennung, sendet eine Funktion an ${\displaystyle \Pr {}_{z}}$${\displaystyle s:X\to\mathbb{K}}$ $${\displaystyle \Pr {}_{z}(s):=s(z).}$$ In Worten, für einen Punkt und eine Funktion ist "Einstecken in " dasselbe wie "Einstecken in ". ${\displaystyle z}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Pr {}_{z}}$ Topologie Es wird davon ausgegangen, dass die Menge mit der Produkttopologie ausgestattet ist . Bekanntlich ist die Produkttopologie identisch mit der Topologie der punktweisen Konvergenz . Dies liegt daran, dass gegeben und ein Netz wo und alle ein Element von dann ist das Netz in der Produkttopologie genau dann konvergiert, wenn ${\textstyle \mathbb{K}^{X}=\prod_{x\in X}\mathbb{K}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$${\textstyle \mathbb{K}^{X}=\prod_{x\in X}\mathbb{K},}$${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}\to f}$ für jedes konvergiert das Netz in${\displaystyle z\in X,}$${\displaystyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)\to \Pr {}_{z}(f)}$${\displaystyle\mathbb{K},}$ wo und ${\displaystyle \;\Pr {}_{z}(f)=f(z)\;}$ $${\displaystyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right):=\left(\Pr {}_{z}\left( f_{i}\right)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(z)\right)_{i\in I}.}$$ Somit konvergiert in der Produkttopologie , wenn und nur wenn sie konvergiert auf punktweise${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$ In diesem Beweis wird auch die Tatsache verwendet, dass die Topologie der punktweisen Konvergenz beim Übergang zu topologischen Unterräumen erhalten bleibt . Dies bedeutet zum Beispiel, dass wenn für jeden ein (topologischer) Unterraum von ist, dann die Topologie der punktweisen Konvergenz (oder äquivalent die Produkttopologie) auf gleich der Unterraumtopologie ist , von der die Menge erbt${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S_{x}\subseteq\mathbb{K}}$${\displaystyle\mathbb{K}}$${\textstyle \prod_{x\in X}S_{x}}$${\textstyle \prod_{x\in X}S_{x}}$${\textstyle \prod_{x\in X}\mathbb{K} .}$

Nachdem festgestellt wurde, dass zur Reduzierung von Symbol-Clutter dieser Olar-Satz mit bezeichnet wird ${\displaystyle U^{\circ}=U^{\#},}$${\displaystyle P}$

$${\displaystyle P:=U^{\circ}}$$

es sei denn, es wird versucht, auf die Definition von oder aufmerksam zu machen${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle U^{\#}.}$

Der Beweis des Theorems ist abgeschlossen, wenn die folgenden Aussagen verifiziert sind:

1. ${\displaystyle P}$ ist eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb{K}^{X}.}$
   • Hier ist mit der Topologie der punktweisen Konvergenz ausgestattet, die mit der Produkttopologie identisch

.${\displaystyle\mathbb{K}^{X}=\prod_{x\in X}\mathbb{K}}$

${\displaystyle P\subseteq\prod_{x\in X}B_{r_{x}}.}$

• ${\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq\mathbb{K}}$bezeichnet die geschlossene Kugel mit Radius zentriert bei For each wurde zu Beginn dieses Beweises als

reelle Zahl definiert , die erfüllt (also insbesondere eine gültige Wahl für each ist ).${\displaystyle r_{x}}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U}$${\displaystyle r_{u}:=1}$${\displaystyle u\in U}$

Diese Aussagen implizieren, dass es sich um eine abgeschlossene Teilmenge handelt, bei der dieser

(da jede abgeschlossene Kugel ein kompakter Raum ist). Da eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt ist, folgt daraus, dass kompakt ist, was die Hauptfolgerung des Banach-Alaoglu-Theorems ist. ${\displaystyle P}$${\textstyle \prod_{x\in X}B_{r_{x}},}$${\displaystyle B_{r_{x}}}$${\displaystyle U^{\circ}=P}$

Nachweis von (1) :

Der algebraische Dualraum ist immer eine abgeschlossene Teilmenge von (dies wird im folgenden Lemma für Leser, die mit diesem Ergebnis nicht vertraut sind, bewiesen). Um zu beweisen, dass in ihm abgeschlossen ist, genügt es zu zeigen, dass die Menge definiert durch ${\displaystyle X^{\#}}$${\textstyle \mathbb{K}^{X}=\prod_{x\in X}\mathbb{K}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle\mathbb{K}^{X},}$${\displaystyle P_{U}}$

$${\displaystyle P_{U}~:=~\left\{f\in\mathbb{K}^{X}~:~\sup_{u\in U}|f(u)|\leq 1\right \}}$$

ist eine abgeschlossene Teilmenge von da dann eine Kreuzung von zwei geschlossene Teilmengen ist Let und nehmen wir an, dass ein Netz ist , dass konvergiert in zu dem Schluss , dass es ausreichend ist (und notwendig) , dass jeder zu zeigen , für (oder äquivalent, dass ). Da im Skalarfeld und jeder Wert zur abgeschlossenen (in ) Teilmenge gehört , muss auch die Grenze dieses Netzes zu dieser abgeschlossenen Menge gehören. Damit ist der Beweis von (1) abgeschlossen. QED ${\displaystyle \mathbb{K} ^{X}}$${\displaystyle P_{U}\cap X^{\#}=U^{\#}=P}$${\displaystyle \mathbb{K}^{X}.}$${\displaystyle f\in\mathbb{K}^{X}}$${\displaystyle f_{\bullet}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle P_{U}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb{K}^{X}.}$${\displaystyle f\in P_{U},}$${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$${\displaystyle f(u)\in B_{1}}$${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$${\displaystyle\mathbb{K}}$${\displaystyle f_{i}(u)}$${\displaystyle\mathbb{K}}$${\displaystyle B_{1}=\left\{s\in\mathbb{K} :|s|\leq 1\right\},}$${\displaystyle f(u)}$${\displaystyle f(u)\in B_{1},}$

Als Randnotiz kann dieser Beweis verallgemeinert werden, um das folgende allgemeinere Ergebnis zu beweisen, aus dem die obige Schlussfolgerung als Spezialfall folgt und${\displaystyle Y:=\mathbb{K}}$${\displaystyle B:=B_{1}.}$

Satz : Wenn eine beliebige Menge und wenn eine

Teilmenge eines topologischen Raums ist, dann ist eine abgeschlossene Teilmenge von bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz.${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}}$${\displaystyle Y^{X}}$

Nachweis von (2) :

Für alle bezeichnen wir die Projektion auf die

Koordinate (wie oben definiert). Um zu beweisen, dass es ausreichend (und notwendig) ist, zu zeigen, dass für jedes So fix und let ; Es bleibt zu zeigen , daß das Definieren der Bedingung , daß war , die das impliziert Weil die linearen funktionalen erfüllt und so impliziert ${\displaystyle z\in X,}$${\textstyle \Pr{}_{z}:\prod_{x\in X}\mathbb{K}\to\mathbb{K}}$${\displaystyle z}$${\textstyle P\subseteq\prod_{x\in X}B_{r_{x}},}$${\displaystyle \Pr {}_{x}(P)\subseteq B_{r_{x}}}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f\in P}$${\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}.}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U,\,}$${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U.\,}$${\displaystyle f\in P=U^{\#},}$${\displaystyle f}$${\textstyle \;\sup_{u\in U}|f(u)|\leq 1\;}$${\displaystyle u_{x}\in U}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left| f\left({\frac{1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup_{u\ in U}|f(u)|\leq 1.}$

Also was zeigt das wie gewünscht. QED ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$