Banach-Tarski-Paradoxon - Banach–Tarski paradox

"Kann ein Ball in eine endliche Anzahl von Punktsätzen zerlegt und wieder in zwei identische Bälle wie das Original zusammengesetzt werden?"

Die Banach-Tarski Paradox ist ein Satz in mengentheoretische Geometrie , die die folgenden Staaten: ein solideer Gegeben Ball in 3-dimensionalem Raum, gibt es eine Zerlegung des Balls in eine endliche Anzahl von disjunkten Teilmengen , die dann wieder verwendet werden können auf andere Weise zusammen, um zwei identische Kopien der ursprünglichen Kugel zu erhalten. Tatsächlich beinhaltet der Wiederzusammenbauprozess nur das Bewegen der Teile und das Drehen, ohne ihre Form zu ändern. Die Stücke selbst sind jedoch keine "Festkörper" im üblichen Sinne, sondern unendliche Streuungen von Punkten. Die Rekonstruktion kann mit nur fünf Teilen funktionieren.

Eine stärkere Form des Theorems impliziert, dass bei gegebenen zwei "vernünftigen" festen Objekten (wie einer kleinen Kugel und einer riesigen Kugel) die ausgeschnittenen Teile eines der beiden wieder zusammengefügt werden können. Dies wird oft informell als "eine Erbse kann zerhackt und wieder in die Sonne zusammengesetzt werden" angegeben und als " Erbsen- und Sonnen-Paradoxon " bezeichnet.

Der Banach-Tarski-Satz wird deshalb als Paradox bezeichnet, weil er der grundlegenden geometrischen Intuition widerspricht. „Den Ball Verdoppeln“ , indem sie in Teile geteilt und sie um , indem Rotationen und Übersetzungen , ohne Dehnung, Biegen oder das Hinzufügen neuer Punkte, scheint unmöglich zu sein, da alle diese Operationen sollten , intuitiv gesprochen, die bewahren Volumen . Die Intuition, dass solche Operationen Volumen erhalten, ist mathematisch nicht absurd und wird sogar in die formale Definition von Volumen aufgenommen. Dies ist hier jedoch nicht anwendbar, da es in diesem Fall nicht möglich ist, die Volumina der betrachteten Teilmengen zu definieren. Wenn Sie sie wieder zusammensetzen, wird ein Set mit einem Volumen reproduziert, das sich zufällig von dem Volumen am Anfang unterscheidet.

Im Gegensatz zu den meisten geometrischen Sätzen hängt der Beweis dieses Ergebnisses in entscheidender Weise von der Wahl der Axiome für die Mengenlehre ab. Es kann mit dem Auswahlaxiom bewiesen werden , das die Konstruktion nicht messbarer Mengen erlaubt , dh Sammlungen von Punkten, die kein Volumen im gewöhnlichen Sinne haben und deren Konstruktion unzählige Auswahlmöglichkeiten erfordert .

Im Jahr 2005 wurde gezeigt, dass die Stücke in der Zerlegung so gewählt werden können, dass sie kontinuierlich an ihren Platz verschoben werden können, ohne ineinander zu laufen.

Wie unabhängig von Leroy und Simpson bewiesen, verletzt das Banach-Tarski-Paradoxon Volumen nicht, wenn man mit Locales statt mit topologischen Räumen arbeitet. In dieser abstrakten Umgebung ist es möglich, Unterräume ohne Punkt, aber dennoch nicht leer zu haben. Die Teile der paradoxen Zerlegung schneiden sich im Sinne von Locales sehr stark, so dass einige dieser Schnittpunkte eine positive Masse erhalten sollten. Unter Berücksichtigung dieser verborgenen Masse erlaubt die Ortstheorie, alle Teilmengen (und sogar alle Unterlokale) des euklidischen Raums zufriedenstellend zu messen.

Banach und Tarski Publikation

In einer 1924 veröffentlichten Arbeit haben Stefan Banach und Alfred Tarski eine solche paradoxe Zerlegung konstruiert , basierend auf früheren Arbeiten von Giuseppe Vitali über das Einheitsintervall und auf den paradoxen Zerlegungen der Kugel von Felix Hausdorff , und diskutierten eine Reihe verwandter Fragen zur Zerlegung von Teilmengen euklidischer Räume in verschiedenen Dimensionen. Sie bewiesen die folgende allgemeinere Aussage, die starke Form des Banach-Tarski-Paradoxons :

Gegeben zwei beliebige beschränkte Teilmengen A und B eines euklidischen Raums in mindestens drei Dimensionen, die beide ein nichtleeres Inneres haben , gibt es Zerlegungen von A und B in eine endliche Anzahl von disjunkten Teilmengen, , (für eine ganze Zahl k ), wie daß für jede (integer) i zwischen 1 und K , die Sätze A _i und B _i sind deckungsgleich .${\displaystyle A=A_{1}\cup\cdots\cup A_{k}}$${\displaystyle B=B_{1}\cup\cdots\cup B_{k}}$

Sei nun A die Originalkugel und B die Vereinigung zweier übersetzter Kopien der Originalkugel. Dann bedeutet der Satz, dass man die ursprüngliche Kugel A in eine bestimmte Anzahl von Teilen zerlegen und diese Teile dann so drehen und verschieben kann, dass das Ergebnis die ganze Menge B ist , die zwei Kopien von A enthält .

Die starke Form des Banach-Tarski-Paradoxons ist in den Dimensionen eins und zwei falsch, aber Banach und Tarski zeigten, dass eine analoge Aussage wahr bleibt, wenn abzählbar viele Teilmengen zulässig sind. Der Unterschied zwischen den Dimensionen 1 und 2 einerseits und 3 und höher andererseits ist auf die reichere Struktur der Gruppe E ( n ) der euklidischen Bewegungen in 3 Dimensionen zurückzuführen. Für n = 1, 2 ist die Gruppe auflösbar , aber für n ≥ 3 enthält sie eine freie Gruppe mit zwei Generatoren. John von Neumann untersuchte die Eigenschaften der Äquivalenzgruppe, die eine paradoxe Zerlegung ermöglicht, und führte den Begriff der zugänglichen Gruppen ein . Er fand auch in der Ebene eine Form des Paradoxons, die anstelle der üblichen Kongruenzen flächenerhaltende affine Transformationen verwendet .

Tarski bewies, dass zugängliche Gruppen genau solche sind, für die es keine paradoxen Zerlegungen gibt. Da im Banach-Tarski-Paradox nur freie Untergruppen benötigt werden, führte dies zu der langjährigen von Neumann-Vermutung , die 1980 widerlegt wurde.

Formale Behandlung

Das Banach-Tarski-Paradoxon besagt, dass eine Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum verdoppelt werden kann, indem man nur die Operationen der Unterteilung in Teilmengen, des Ersetzens einer Menge durch eine kongruente Menge und des Wiederzusammensetzens verwendet. Seine mathematische Struktur wird durch die Betonung der Rolle, die die Gruppe der euklidischen Bewegungen spielt, und die Einführung der Begriffe von gleichzerlegbaren Mengen und einer paradoxen Menge stark erklärt . Angenommen, G ist eine Gruppe, die auf eine Menge X wirkt . Im wichtigsten Spezialfall ist X ein n- dimensionaler euklidischer Raum (für ganzzahliges n ), und G besteht aus allen Isometrien von X , dh den abstandserhaltenden Transformationen von X in sich selbst, meist mit E ( n ) bezeichnet . Zwei ineinander überführbare geometrische Figuren werden als kongruent bezeichnet , und diese Terminologie wird auf die allgemeine G- Aktion erweitert. Zwei Teilmengen A und B von X heißen G -gleich zerlegbar oder gleich zerlegbar bezüglich G , wenn A und B in dieselbe endliche Anzahl von jeweils G -kongruenten Stücken zerlegt werden können. Dies definiert eine Äquivalenzrelation zwischen allen Teilmengen von X . Formal, falls es nichtleere Mengen gibt , so dass ${\displaystyle A_{1},\dots,A_{k}}$${\displaystyle B_{1},\dots,B_{k}}$

${\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup_{i=1}^{k}B_{i},}$

${\displaystyle \quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{für alle }}1\leq i<j\leq k,}$

und es gibt Elemente wie ${\displaystyle g_{i}\in G}$

${\displaystyle g_{i}(A_{i})=B_{i}{\text{ für alle }}1\leq i\leq k,}$

dann kann man sagen, dass A und B unter Verwendung von k Stücken G-gleich zerlegbar sind . Wenn ein Satz E zwei disjunkte Teilmengen hat A und B , so dass A und E sowie B und E , ist G -equidecomposable, dann E wird als paradox .

Mit dieser Terminologie lässt sich das Banach-Tarski-Paradox wie folgt umformulieren:

Eine dreidimensionale euklidische Kugel ist mit zwei Kopien ihrer selbst gleichzersetzbar.

Tatsächlich gibt es in diesem Fall, dank Raphael M. Robinson , ein scharfes Ergebnis : Die Verdoppelung der Kugel kann mit fünf Stücken erreicht werden, und weniger als fünf Stück reichen nicht aus.

Die starke Version des Paradoxons behauptet:

Beliebige zwei beschränkte Teilmengen des 3-dimensionalen euklidischen Raums mit nicht- leerem Inneren sind gleich zerlegbar.

Obwohl scheinbar allgemeiner, wird diese Aussage auf einfache Weise aus der Verdoppelung einer Kugel abgeleitet, indem eine Verallgemeinerung des Bernstein-Schroeder-Theorems nach Banach verwendet wird, die impliziert, dass wenn A mit einer Teilmenge von B gleich zerlegbar ist und B mit a gleich zerlegbar ist Teilmenge von A , dann sind A und B gleich zerlegbar.

Das Banach-Tarski-Paradoxon lässt sich in einen Kontext setzen, indem man darauf hinweist, dass es für zwei Mengen in der starken Form des Paradoxons immer eine bijektive Funktion gibt, die die Punkte einer Form eins zu eins in die andere abbilden kann . In der Sprache der Georg Cantor ‚s Mengenlehre , haben diese zwei Sätze gleich Mächtigkeit . Wenn man also die Gruppe vergrößert, um beliebige Bijektionen von X zuzulassen , dann werden alle Mengen mit nichtleerem Inneren kongruent. Ebenso kann eine Kugel durch Dehnung, oder anders ausgedrückt, durch Anwenden von Ähnlichkeitstransformationen zu einer größeren oder kleineren Kugel gemacht werden . Daher können, wenn die Gruppe G groß genug ist, G- äquide-zusammensetzbare Mengen gefunden werden, deren "Größe" variiert. Da außerdem ein zählbarer Satz in zwei Kopien von sich selbst umgewandelt werden kann, könnte man erwarten, dass die Verwendung von abzählbar vielen Teilen irgendwie den Zweck erfüllen könnte.

Andererseits ist im Banach-Tarski-Paradox die Stückzahl endlich und die zulässigen Äquivalenzen sind euklidische Kongruenzen, die die Volumina erhalten. Aber irgendwie verdoppeln sie das Volumen des Balls! Obwohl dies sicherlich überraschend ist, sind einige der Stücke, die in der paradoxen Zerlegung verwendet werden, nicht messbare Mengen , so dass der Begriff des Volumens (genauer gesagt Lebesgue-Maß ) für sie nicht definiert ist und die Aufteilung nicht auf praktische Weise durchgeführt werden kann. Tatsächlich zeigt das Banach-Tarski-Paradox, dass es unmöglich ist, ein endlich-additives Maß (oder ein Banach-Maß ) zu finden, das auf allen Teilmengen eines euklidischen Raums mit drei (und größeren) Dimensionen definiert ist und invariant in Bezug auf euklidische Bewegungen ist und nimmt den Wert eins auf einem Einheitenwürfel an. In seiner späteren Arbeit zeigte Tarski, dass umgekehrt die Nichtexistenz paradoxer Zerlegungen dieser Art die Existenz eines endlich-additiven invarianten Maßes impliziert.

Das Herzstück des Beweises der "Verdoppelung der Kugel"-Form des unten präsentierten Paradoxons ist die bemerkenswerte Tatsache, dass man durch eine euklidische Isometrie (und Umbenennung von Elementen) eine bestimmte Menge (im Wesentlichen die Oberfläche einer Einheitskugel) aufteilen kann. in vier Teile, dann drehe einen von ihnen, um er selbst zu werden, plus zwei der anderen Teile. Dies folgt ziemlich leicht aus einer F ₂ -paradoxen Zerlegung von F ₂ , der freien Gruppe mit zwei Generatoren. Banachs und Tarskis Beweis stützte sich auf eine analoge Tatsache, die Hausdorff einige Jahre zuvor entdeckt hatte: Die Oberfläche einer Einheitskugel im Raum ist eine disjunkte Vereinigung von drei Mengen B , C , D und einer abzählbaren Menge E, so dass einerseits B , C , D sind paarweise kongruent, und andererseits ist B kongruent mit der Vereinigung von C und D . Dies wird oft als Hausdorff-Paradox bezeichnet .

Verbindung mit früheren Arbeiten und die Rolle des Auswahlaxioms

Banach und Tarski erkennen ausdrücklich Giuseppe Vitalis 1905er Bau des nach ihm benannten Sets , Hausdorffs Paradox (1914) und eine frühere (1923) Veröffentlichung von Banach als Vorläufer ihrer Arbeit an. Vitali und Hausdorffs Konstruktionen hängen von Zermelo ‚s Auswahlaxiom (‚ AC ‘), die ebenfalls von entscheidender Bedeutung ist für die Banach-Tarski Papier, sowohl für ihre Paradoxon zu beweisen und für den Beweis eines anderen Ergebnis:

Zwei euklidische Polygone , von denen eines das andere strikt enthält, sind nicht gleich zerlegbar .

Sie bemerken:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(Die Rolle, die dieses Axiom in unserem Denken spielt, scheint uns Aufmerksamkeit zu verdienen)

Sie weisen darauf hin, dass das zweite Ergebnis zwar vollständig mit der geometrischen Intuition übereinstimmt, sein Beweis jedoch AC in noch substanziellerer Weise verwendet als der Beweis des Paradoxons. So implizieren Banach und Tarski, dass AC nicht allein deshalb abgelehnt werden sollte, weil es eine paradoxe Zerlegung erzeugt, denn ein solches Argument untergräbt auch den Beweis geometrisch intuitiver Aussagen.

1949 zeigte AP Morse jedoch, dass die Aussage über euklidische Polygone in der ZF- Mengentheorie bewiesen werden kann und somit nicht das Axiom der Wahl erfordert. 1964 bewies Paul Cohen , dass das Auswahlaxiom unabhängig von ZF ist, also nicht von ZF bewiesen werden kann . Eine schwächere Version eines Auswahlaxiom das ist Axiom der abhängigen Wahl , DC , und es hat sich gezeigt , dass DC ist nicht ausreichend , um das Banach-Tarski Paradoxon zu beweisen, das heißt,

Das Banach-Tarski-Paradoxon ist weder ein Satz von ZF , noch von ZF + DC .

Große Mengen der Mathematik verwenden AC . Wie Stan Wagon am Ende seiner Monographie feststellt, war das Banach-Tarski-Paradox für seine Rolle in der reinen Mathematik bedeutsamer als für grundlegende Fragen: Es motivierte eine fruchtbare neue Richtung der Forschung, die Zugänglichkeit von Gruppen, die nichts zu tun haben mit den grundlegenden Fragen machen.

1991 bewies Janusz Pawlikowski mit den damals aktuellen Ergebnissen von Matthew Foreman und Friedrich Wehrung, dass das Banach-Tarski-Paradoxon aus ZF plus dem Hahn-Banach-Theorem folgt . Der Satz von Hahn-Banach beruht nicht auf dem vollen Auswahlaxiom, sondern kann mit einer schwächeren Version von AC , dem Ultrafilter-Lemma , bewiesen werden . Pawlikowski bewies also, dass die Mengentheorie, die zum Beweis des Banach-Tarski-Paradoxons benötigt wird, zwar stärker als ZF , aber schwächer ist als volles ZFC .

Eine Beweisskizze

Hier wird ein Beweis skizziert, der dem von Banach und Tarski ähnlich, aber nicht identisch ist. Im Wesentlichen wird die paradoxe Zerlegung des Balls in vier Schritten erreicht:

1. Finden Sie eine paradoxe Zerlegung der freien Gruppe in zwei Generatoren .
2. Finden Sie eine Gruppe von Drehungen im 3-D-Raum , die zur freien Gruppe isomorph ist , in zwei Generatoren.
3. Verwenden Sie die paradoxe Zerlegung dieser Gruppe und das Axiom der Wahl, um eine paradoxe Zerlegung der hohlen Einheitskugel zu erzeugen.
4. Erweitern Sie diese Zerlegung der Kugel zu einer Zerlegung der festen Einheitskugel.

Diese Schritte werden unten ausführlicher besprochen.

Schritt 1

Cayley-Graph von F ₂ , der die Zerlegung in die Mengen S ( a ) und aS ( a ⁻¹ ) zeigt. Das Durchqueren einer horizontalen Kante des Graphen in Rechtsrichtung repräsentiert eine Linksmultiplikation eines Elements von F ₂ mit a ; das Durchqueren einer vertikalen Kante des Graphen in Aufwärtsrichtung repräsentiert eine Linksmultiplikation eines Elements von F ₂ mit b . Elemente der Menge S ( a ) sind grüne Punkte; Elemente der Menge aS ( a ⁻¹ ) sind blaue Punkte oder rote Punkte mit blauem Rand. Rote Punkte mit blauem Rand sind Elemente von S ( a ⁻¹ ), die eine Teilmenge von aS ( a ⁻¹ ) ist.

Die freie Gruppe mit zwei Generatoren a und b besteht aus allen endlichen Strings, die aus den vier Symbolen a , a ⁻¹ , b und b ^{−1 gebildet werden können} , sodass kein a direkt neben an a ⁻¹ und kein b direkt erscheint neben a b ⁻¹ . Zwei solcher Strings können verkettet und in einen solchen String umgewandelt werden, indem die "verbotenen" Teilstrings wiederholt durch den leeren String ersetzt werden. Zum Beispiel: abab ⁻¹ a ⁻¹ verkettet mit abab ⁻¹ a ergibt abab ⁻¹ a ⁻¹ abab ⁻¹ a , die den Teilstring a ⁻¹ a enthält , und wird so auf abab ⁻¹ bab ⁻¹ a reduziert , was enthält den Teilstring b ⁻¹ b , der auf abaab ⁻¹ a reduziert wird . Mit dieser Operation kann man überprüfen, ob die Menge dieser Strings eine Gruppe mit dem Identitätselement der leeren String e bildet . Diese Gruppe kann F _{2 genannt werden} .

Die Gruppe lässt sich wie folgt "paradox zerlegen": Sei S ( a ) die Menge aller nicht verbotenen Strings, die mit a beginnen und S ( a ⁻¹ ), S ( b ) und S ( b ⁻¹ ) ähnlich definieren . Deutlich, ${\displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}$

aber auch

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),}$

und

${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),}$

wobei die Notation aS ( a ⁻¹ ) bedeutet, nehmen Sie alle Strings in S ( a ⁻¹ ) und verketten Sie sie links mit a .

Dies ist der Kern des Beweises. Zum Beispiel kann eine Zeichenkette in der Menge vorhanden sein, die aufgrund der Regel, die nicht neben stehen darf , auf die Zeichenkette reduziert wird . Enthält auf ähnliche Weise alle Zeichenfolgen, die mit beginnen (z. B. die Zeichenfolge , die auf ) reduziert wird . Enthält auf diese Weise alle Zeichenfolgen, die mit , und beginnen . ${\displaystyle aa^{-1}b}$${\displaystyle aS(a^{-1})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle aS(a^{-1})}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle aa^{-1}a^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle aS(a^{-1})}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$

Gruppe F ₂ wurde in vier Teile zerlegt (plus das Singleton { e }), dann zwei von ihnen durch Multiplikation mit a oder b "verschoben" , dann zu zwei Teilen "wieder zusammengesetzt", um eine Kopie davon und die anderen beiden zu machen eine weitere Kopie von . Genau das soll mit dem Ball geschehen. ${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$

Schritt 2

Um eine freie Gruppe von Drehungen des 3D-Raums zu finden, die sich genau wie die freie Gruppe F ₂ verhält (oder " isomorph zu" ist) , werden zwei orthogonale Achsen genommen (zB die x- und z- Achse). Dann ist A eine Drehung um die x- Achse und B eine Drehung um die z- Achse (es gibt viele andere geeignete Paare von irrationalen Vielfachen von , die auch hier verwendet werden könnten). ${\textstyle \theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$${\displaystyle\theta}$

Die von A und B erzeugte Rotationsgruppe wird H genannt . Sei ein Element von H , das mit einer positiven Drehung um die z- Achse beginnt , also ein Element der Form mit . Es kann durch Induktion gezeigt werden , dass der Punkt Karten zu , für einige . Durch Analysieren und Modulo 3 kann man zeigen, dass . Das gleiche Argument wiederholt (aus Symmetrie des Problems) ist gültig, wenn mit einer negativen Drehung um die z- Achse oder einer Drehung um die x- Achse begonnen wird. Dies zeigt, dass wenn durch ein nicht-triviales Wort in A und B gegeben ist , dann . Daher ist die Gruppe H eine freie Gruppe, isomorph zu F ₂ . ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega =\ldots B^{k_{3}}A^{k_{2}}B^{k_{1}}}$${\displaystyle k_{1}>0,\k_{2},k_{3},\ldots ,k_{n}\neq 0,\n\geq 1}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle (1,0,0)}$${\textstyle \left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{ 3^{N}}}\rechts)}$${\displaystyle k,l,m\in\mathbb{Z},N\in\mathbb{N}}$${\displaystyle k,l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle l\neq 0}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega \neq e}$

Die beiden Drehungen verhalten sich genau wie die Elemente a und b in der Gruppe F ₂ : Es gibt nun eine paradoxe Zerlegung von H .

Dieser Schritt kann nicht in zwei Dimensionen durchgeführt werden, da er Drehungen in drei Dimensionen beinhaltet. Wenn zwei Drehungen um dieselbe Achse vorgenommen werden, ist die resultierende Gruppe die abelsche Kreisgruppe und hat nicht die in Schritt 1 erforderliche Eigenschaft.

Ein alternativer arithmetischer Nachweis der Existenz freier Gruppen in einigen speziellen orthogonalen Gruppen mit ganzzahligen Quaternionen führt zu paradoxen Zerlegungen der Rotationsgruppe .

Schritt 3

Die Einheitskugel S ² wird durch die Wirkung unserer Gruppe H in Bahnen zerlegt : Zwei Punkte gehören genau dann zu derselben Bahn, wenn es eine Drehung in H gibt, die den ersten Punkt in den zweiten verschiebt. (Beachten Sie, dass die Bahn eines Punktes eine dichte Menge in S ^{2 ist} .) Das Auswahlaxiom kann verwendet werden, um aus jeder Bahn genau einen Punkt auszuwählen; sammle diese Punkte zu einer Menge M . Die Wirkung von H auf eine gegebene Bahn ist frei und transitiv und daher kann jede Bahn mit H identifiziert werden . Mit anderen Worten, jeder Punkt in S ² kann auf genau eine Weise erreicht werden, indem die Eigendrehung von H auf das Eigenelement von M angewendet wird . Aus diesem Grund ergibt die paradoxe Zerlegung von H eine paradoxe Zerlegung von S ² in vier Teile A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ wie folgt:

${\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}$

${\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B}$

${\displaystyle \displaystyle A_{3}=S(b)M}$

${\displaystyle \displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M}$

wo wir definieren

${\displaystyle S(a)M=\{s(x)|s\in S(a),x\in M\}}$

und ebenso für die anderen Mengen, und wo wir definieren

${\displaystyle B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup\dots}$

(Die fünf "paradoxen" Teile von F ₂ wurden nicht direkt verwendet, da sie nach der Verdopplung M als zusätzliches Stück hinterlassen würden , aufgrund des Vorhandenseins des Singletons { e }!)

Die (die Mehrheit der) Kugel wurde jetzt in vier Sätze (jeder dicht auf der Kugel) unterteilt, und wenn zwei davon gedreht werden, ist das Ergebnis doppelt so hoch wie zuvor:

${\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}}$

${\displaystyle bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}}$

Schritt 4

Schließlich verbinden Sie jeden Punkt auf S ² mit einem halboffenen Segment mit dem Ursprung; die paradoxe Zerlegung von S ² ergibt dann eine paradoxe Zerlegung der festen Einheitskugel minus dem Punkt im Kugelzentrum. (Dieser Mittelpunkt braucht etwas mehr Sorgfalt; siehe unten.)

Hinweis: Diese Skizze beschönigt einige Details. Man muss auf die Menge der Punkte auf der Kugel achten, die zufällig auf einer Rotationsachse in H liegen . Es gibt jedoch nur abzählbar viele solcher Punkte, und wie im Fall des Punktes in der Mitte der Kugel ist es möglich, den Beweis zu flicken, um sie alle zu erklären. (Siehe unten.)

Einige Details, konkretisiert

In Schritt 3 wurde die Kugel in Bahnen unserer Gruppe H unterteilt . Um den Beweis zu vereinfachen, wurde die Diskussion von Punkten, die durch eine gewisse Drehung fixiert sind, weggelassen; da die paradoxe Zerlegung von F ₂ auf der Verschiebung bestimmter Teilmengen beruht, kann die Tatsache, dass einige Punkte fixiert sind, einige Probleme verursachen. Da jede Drehung von S ² (außer der Nulldrehung) genau zwei Fixpunkte hat und da H , das zu F ₂ isomorph ist, abzählbar ist , gibt es abzählbar viele Punkte von S ² , die durch eine Drehung in H fixiert sind . Bezeichnen Sie diese Menge von Fixpunkten als D . Schritt 3 beweist, dass S ² − D eine paradoxe Zerlegung zulässt.

Was noch gezeigt werden muss, ist die Behauptung : S ² − D ist gleich zerlegbar mit S ² .

Nachweisen. Sei λ eine Linie durch den Ursprung, die keinen Punkt in D schneidet . Dies ist möglich, da D abzählbar ist. Lassen J die Gruppe von Winkeln sein, α, derart , dass für einige natürliche Zahl n , und einige P in D , r ( n α) P auch in ist D , wobei r ( n α) eine Drehung um λ von ist n α. Dann ist J abzählbar. Es existiert also ein Winkel θ nicht in J . Sei ρ die Drehung um λ um θ. Dann wirkt auf S ² ohne Fixpunkte in D , dh ⁿ ( D ) ist disjunkt von D , und für natürliches m < n ist ρ ⁿ ( D ) disjunkt von ρ ^m ( D ). Sei E die disjunkte Vereinigung von ρ ⁿ ( D ) über n = 0, 1, 2, ... . Dann ist S ² = E ∪ ( S ² − E ) ~ ρ( E ) ∪ ( S ² − E ) = ( E − D ) ∪ ( S ² − E ) = S ² − D , wobei ~ bezeichnet "ist gleich zerlegbar zu ".

Für Schritt 4 wurde bereits gezeigt, dass die Kugel minus einen Punkt eine paradoxe Zerlegung zulässt; es bleibt zu zeigen, dass die Kugel minus einem Punkt mit der Kugel gleich zerlegbar ist. Betrachten Sie einen Kreis innerhalb der Kugel, der den Punkt in der Mitte der Kugel enthält. Mit einem Argument wie dem, mit dem die Behauptung bewiesen wurde, kann man sehen, dass der Vollkreis mit dem Kreis minus dem Punkt im Mittelpunkt der Kugel gleich zerlegbar ist. (Grundsätzlich kann eine zählbare Menge von Punkten auf dem Kreis gedreht werden, um sich selbst plus einen weiteren Punkt zu ergeben.) Beachten Sie, dass dies die Drehung um einen anderen Punkt als den Ursprung beinhaltet, also beinhaltet das Banach-Tarski-Paradoxon Isometrien des euklidischen 3-Raums anstatt nur SO(3) .

Man macht sich die Tatsache zunutze , dass wenn A ~ B und B ~ C , dann A ~ C ist . Die Zerlegung von A in C kann unter Verwendung der Stückzahl erfolgen, die dem Produkt der Zahlen entspricht, die für die Aufnahme von A in B und für die Aufnahme von B in C erforderlich sind .

Der oben skizzierte Beweis erfordert 2 × 4 × 2 + 8 = 24 Stück – Faktor 2 zum Entfernen von Fixpunkten, Faktor 4 aus Schritt 1, Faktor 2 zum Wiederherstellen von Fixpunkten und 8 für den Mittelpunkt der zweiten Kugel . Wenn Sie jedoch in Schritt 1 { e } und alle Strings der Form a ⁿ in S ( a ⁻¹ ) verschieben, tun Sie dies für alle Orbits außer einem. Bewege { e } dieser letzten Umlaufbahn zum Mittelpunkt der zweiten Kugel. Dies reduziert die Gesamtzahl auf 16 + 1 Stück. Mit mehr Algebra kann man feste Bahnen auch wie in Schritt 1 in 4 Sätze zerlegen. Das ergibt 5 Teile und ist die bestmögliche.

Aus einem unendlich viele Bälle gewinnen

Unter Verwendung des Banach-Tarski-Paradoxons ist es möglich, k Kopien einer Kugel im euklidischen n -Raum aus eins für beliebige ganze Zahlen n ≥ 3 und k ≥ 1 zu erhalten, dh eine Kugel kann in k Teile zerlegt werden , so dass jede von sie sind zu einer Kugel der gleichen Größe wie das Original gleich zerlegbar. Unter Verwendung der Tatsache, dass die freie Gruppe F ₂ vom Rang 2 eine freie Untergruppe von abzählbar unendlichem Rang zulässt , liefert ein ähnlicher Beweis, dass die Einheitskugel S ^{n −1} in abzählbar unendlich viele Teile zerlegt werden kann, von denen jeder gleich zerlegbar ist (mit zwei Stücke) zu S ^{n −1} durch Drehungen. Durch die Verwendung analytischer Eigenschaften der Rotationsgruppe SO( n ) , die eine zusammenhängende analytische Lie-Gruppe ist , kann man weiter beweisen, dass die Kugel S ^{n −1} in so viele Teile ^{zerlegt werden} kann, wie es reelle Zahlen (also Teile) gibt. , so dass jedes Stück mit zwei Stücken durch Rotationen zu S ^{n −1 gleich} zerlegbar ist . Diese Ergebnisse erstrecken sich dann auf die Einheitskugel ohne Ursprung. Ein Artikel von Valeriy Churkin aus dem Jahr 2010 liefert einen neuen Beweis für die kontinuierliche Version des Banach-Tarski-Paradoxons. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Von Neumann-Paradoxon in der euklidischen Ebene

In der euklidischen Ebene haben zwei Figuren, die in Bezug auf die Gruppe der euklidischen Bewegungen gleich zerlegbar sind, notwendigerweise dieselbe Fläche, und daher ist eine paradoxe Zerlegung eines Quadrats oder einer Scheibe vom Banach-Tarski-Typ, die nur euklidische Kongruenzen verwendet, unmöglich. Eine konzeptionelle Erklärung der Unterscheidung zwischen planaren und höherdimensionalen Fällen lieferte John von Neumann : Anders als die Gruppe SO(3) der Rotationen in drei Dimensionen ist die Gruppe E (2) der euklidischen Bewegungen der Ebene lösbar , was impliziert die Existenz eines endlich-additiven Maßes auf E (2) und R ^2, das gegenüber Translationen und Rotationen invariant ist, und schließt paradoxe Zerlegungen nicht vernachlässigbarer Mengen aus. Von Neumann stellte dann folgende Frage: Kann eine solche paradoxe Zerlegung konstruiert werden, wenn man eine größere Gruppe von Äquivalenzen zulässt?

Es ist klar, dass, wenn man Ähnlichkeiten zulässt , zwei beliebige Quadrate in der Ebene auch ohne weitere Unterteilung äquivalent werden. Dies motiviert, die Aufmerksamkeit auf die Gruppe SA ₂ der flächenerhaltenden affinen Transformationen zu beschränken . Da die Fläche erhalten bleibt, wäre jede paradoxe Zerlegung eines Quadrats in Bezug auf diese Gruppe aus den gleichen Gründen wie die Banach-Tarski-Zerlegung einer Kugel kontraintuitiv. Tatsächlich enthält die Gruppe SA ₂ als Untergruppe die spezielle lineare Gruppe SL (2, R ) , die ihrerseits die freie Gruppe F ₂ mit zwei Generatoren als Untergruppe enthält. Dies macht es plausibel, dass der Beweis des Banach-Tarski-Paradoxons im Flugzeug nachgeahmt werden kann. Die Hauptschwierigkeit liegt hier darin, dass das Einheitsquadrat unter der Wirkung der linearen Gruppe SL (2, R ) nicht invariant ist , daher kann man nicht einfach eine paradoxe Zerlegung von der Gruppe auf das Quadrat übertragen, wie im dritten Schritt von der obige Beweis des Banach-Tarski-Paradoxons. Außerdem bereiten die Fixpunkte der Gruppe Schwierigkeiten (z. B. ist der Ursprung bei allen linearen Transformationen fixiert). Von Neumann verwendete deshalb die größere Gruppe SA ₂ einschließlich der Übersetzungen und konstruierte eine paradoxe Zerlegung des Einheitsquadrats in Bezug auf die vergrößerte Gruppe (1929). Mit der Banach-Tarski-Methode lässt sich das Paradoxon für das Quadrat wie folgt verstärken:

Beliebige zwei beschränkte Teilmengen der euklidischen Ebene mit nicht-leerem Inneren sind in Bezug auf die flächenerhaltenden affinen Abbildungen gleich zerlegbar.

Wie von Neumann bemerkt:

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives Zusätze Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A ₂ invariant wäre."

„Demnach gibt es bereits in der Ebene kein nicht negatives additives Maß (für das das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das invariant gegenüber allen zu A ₂ gehörenden Transformationen ist [die Gruppe der flächenerhaltenden affine Transformationen].“

Um dies weiter zu erklären, hängt die Frage, ob ein endlich additives Maß (das bei bestimmten Transformationen erhalten bleibt) existiert oder nicht davon ab, welche Transformationen zulässig sind. Das Banach-Maß von Mengen in der Ebene, das durch Translationen und Rotationen erhalten bleibt, wird von nicht-isometrischen Transformationen nicht beibehalten, selbst wenn sie die Fläche von Polygonen erhalten. Die Punkte der Ebene (außer dem Ursprung) können in zwei dichte Mengen unterteilt werden, die A und B genannt werden können . Wenn die A- Punkte eines gegebenen Polygons durch eine bestimmte flächenerhaltende Transformation und die B- Punkte durch eine andere transformiert werden, können beide Mengen Teilmengen der A- Punkte in zwei neuen Polygonen werden. Die neuen Polygone haben die gleiche Fläche wie das alte Polygon, aber die beiden transformierten Mengen können nicht das gleiche Maß wie zuvor haben (da sie nur einen Teil der A- Punkte enthalten), und daher gibt es kein Maß, das "funktioniert".

Die von Neumann im Rahmen der Untersuchung des Banach-Tarski-Phänomens isolierte Klasse von Gruppen hat sich für viele Bereiche der Mathematik als sehr wichtig erwiesen: Dies sind zugängliche Gruppen oder Gruppen mit einem invarianten Mittel, und umfassen alle endlichen und alle auflösbaren Gruppen . Im Allgemeinen treten paradoxe Zerlegungen auf, wenn die für Äquivalenzen in der Definition der Äquizersetzbarkeit verwendete Gruppe nicht zugänglich ist.

Jüngste Fortschritte

• 2000: Von Neumanns Arbeit ließ die Möglichkeit einer paradoxen Zerlegung des Inneren des Einheitsquadrats bezüglich der linearen Gruppe SL (2, R ) offen (Wagon, Frage 7.4). Im Jahr 2000 bewies Miklós Laczkovich , dass eine solche Zersetzung existiert. Genauer gesagt sei A die Familie aller beschränkten Teilmengen der Ebene mit nichtleerem Inneren und positivem Abstand vom Ursprung, und B die Familie aller ebenen Mengen mit der Eigenschaft, dass sich eine Vereinigung von endlich vielen unter einigen Elementen übersetzt von SL (2, R ) enthält eine punktierte Umgebung des Ursprungs. Dann sind alle Mengen in der Familie A SL(2, R )-äquizersetzbar, und ebenso für die Mengen in B . Daraus folgt, dass beide Familien aus paradoxen Mengen bestehen.
• 2003: Es war seit langem bekannt, dass die volle Ebene bezüglich SA ₂ paradox ist und dass die minimale Stückzahl vier betragen würde, sofern eine lokal kommutative freie Untergruppe von SA _{2 existiert} . Kenzi Satô konstruierte 2003 eine solche Untergruppe und bestätigte, dass vier Stücke ausreichen.
• 2011: Laczkovichs Arbeit ließ die Möglichkeit offen, ob es eine freie Gruppe F von stückweise linearen Transformationen gibt, die auf die punktierte Scheibe D \{0,0} ohne Fixpunkte wirken. Grzegorz Tomkowicz konstruierte eine solche Gruppe und zeigte, dass das Kongruenzsystem A ≈ B ≈ C ≈ B U C mittels F und D \{0,0} realisiert werden kann .
• 2017: Es ist seit langem bekannt, dass es in der hyperbolischen Ebene H ² eine Menge E gibt, die ein dritter, ein vierter und ... und ein -ter Teil von H ^{2 ist} . Die Forderung wurde durch orientierungserhaltende Isometrien von H ² erfüllt . Analoge Ergebnisse wurden von John Frank Adams und Jan Mycielski erhalten, die zeigten, dass die Einheitskugel S ² eine Menge E enthält , die ein halber, ein dritter, ein vierter und ... und ein -ter Teil von S ^{2 ist} . Grzegorz Tomkowicz zeigte, dass die Adams- und Mycielski-Konstruktion verallgemeinert werden kann, um eine Menge E von H ² mit den gleichen Eigenschaften wie in S ^{2 zu erhalten} .${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• 2017: Das Paradoxon von Von Neumann betrifft die euklidische Ebene, aber es gibt auch andere klassische Räume, in denen die Paradoxien möglich sind. Zum Beispiel kann man fragen, ob es in der hyperbolischen Ebene H ² ein Banach-Tarski-Paradoxon gibt . Dies zeigten Jan Mycielski und Grzegorz Tomkowicz. Tomkowicz bewies auch, dass die meisten klassischen Paradoxien eine einfache Folge eines graphentheoretischen Ergebnisses und der Tatsache sind, dass die fraglichen Gruppen reich genug sind.
• 2018: 1984 konstruierten Jan Mycielski und Stan Wagon eine paradoxe Zerlegung der hyperbolischen Ebene H ² , die Borel-Mengen verwendet. Das Paradoxon hängt von der Existenz einer richtig diskontinuierlichen Untergruppe der Isometriegruppe von H ^{2 ab} . Ein ähnliches Paradoxon wird von Grzegorz Tomkowicz erhalten, der eine freie, richtig diskontinuierliche Untergruppe G der affinen Gruppe SA (3, Z ) konstruierte . Die Existenz einer solchen Gruppe impliziert die Existenz einer Teilmenge E von Z ^{3 ,} so dass für jedes endliche F von Z ³ ein Element g von G existiert, so dass , wobei die symmetrische Differenz von E und F bezeichnet .${\displaystyle g(E)=E\dreieck F}$${\displaystyle E\,\dreieck \,F}$
• 2019: Das Banach-Tarski-Paradoxon verwendet endlich viele Stücke in der Vervielfältigung. Bei abzählbar vielen Teilen sind zwei beliebige Mengen mit nicht-leerem Inneren durch Übersetzungen gleich zerlegbar. Wenn man jedoch nur Lebesgue-messbare Stücke erlaubt, erhält man: Wenn A und B Teilmengen von R ⁿ mit nichtleerem Inneren sind, dann haben sie genau dann gleiche Lebesgue-Maße, wenn sie mit Lebesgue-messbaren Stücken abzählbar gleich zerlegbar sind. Jan Mycielski und Grzegorz Tomkowicz erweiterten dieses Ergebnis auf endlichdimensionale Lie-Gruppen und zweite abzählbare lokal kompakte topologische Gruppen, die völlig unverbunden sind oder abzählbar viele zusammenhängende Komponenten haben.

Siehe auch

• Hausdorff-Paradoxon
• Nikodym-Set
• Das Kreisquadratproblem von Tarski
• Von Neumann-Vermutung
• Von Neumann-Paradoxon

Anmerkungen

Verweise

• Banach, Stefan ; Tarski, Alfred (1924). Rezension bei JFM . "Sur la décomposition des ensembles de points en Parties resp. congruentes" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 6 : 244–277. doi : 10.4064/fm-6-1-244-277 .
• Churkin, VA (2010). „Eine kontinuierliche Version des Hausdorff-Banach-Tarski-Paradoxons“. Algebra und Logik . 49 (1): 91–98. doi : 10.1007/s10469-010-9080-y . S2CID  122711859 .
• Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination , S. 205–7, Simon & Schuster .
• Stromberg, Karl (März 1979). „Das Banach-Tarski-Paradoxon“. The American Mathematical Monthly . Mathematische Vereinigung von Amerika. 86 (3): 151–161. doi : 10.2307/2321514 . JSTOR  2321514 .
• Su, Francis E. "Das Banach-Tarski-Paradox" (PDF) .
• von Neumann, John (1929). "Zur allgemeinen Theorie des Masses" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 13 : 73–116. doi : 10.4064/fm-13-1-73-116 .
• Wagen, Stan (1994). Das Banach-Tarski-Paradoxon . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45704-1.
• Wapner, Leonard M. (2005). Die Erbse und die Sonne: Ein mathematisches Paradox . Wellesley, Massachusetts: AK Peters. ISBN 1-56881-213-2.
• Tomkowicz, Grzegorz ; Wagen, Stan (2016). Das Banach-Tarski-Paradoxon 2. Auflage . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107042599.

Externe Links

• Banach-Tarski-Paradoxon bei ProofWiki
• Das Banach-Tarski-Paradoxon von Stan Wagon ( Macalester College ), das Wolfram Demonstrations Project .
• Unregelmäßiger Webcomic! #2339 von David Morgan-Mar bietet eine nicht-technische Erklärung des Paradoxons. Es enthält eine Schritt-für-Schritt-Demonstration, wie Sie zwei Kugeln aus einer erstellen.
• Vsoße. "Das Banach-Tarski-Paradox" – via YouTube gibt einen Überblick über die grundlegenden Grundlagen des Paradoxons.
• Banach-Tarski und das Paradox des unendlichen Klonens