Pythagoreisches Komma - Pythagorean comma

Pythagoreisches Komma (531441: 524288) bei C Play ( Hilfe · Info ) .  

Pythagoreisches Komma auf C in Ben Johnstons Notation . Die Note, die im Stab als niedriger dargestellt ist (B ♯ +++ ), hat eine etwas höhere Tonhöhe (als C ♮ ).

Pythagoreisches Komma ( PC ), definiert in der pythagoreischen Stimmung als Differenz zwischen Halbtönen (A1 - m2) oder Intervall zwischen Enharmonisch äquivalenten Noten (von D ♭ bis C ♯ ). Die verringerte Sekunde hat die gleiche Breite, aber eine entgegengesetzte Richtung (von nach C ♯ nach D ♭ ).

Bei der musikalischen Stimmung ist das pythagoreische Komma (oder ditonische Komma ), benannt nach dem alten Mathematiker und Philosophen Pythagoras , das kleine Intervall (oder Komma ), das bei der pythagoreischen Stimmung zwischen zwei Enharmonisch äquivalenten Noten wie C und B ♯ ( Play ( help ·) besteht) info ) ) oder D ♭ und C ♯ . Es ist gleich das Frequenz - Verhältnis ^{(1,5) 12} / _{2 ⁷} = ⁵³¹⁴⁴¹ / ₅₂₄₂₈₈ ≈ 1,01364 oder etwa 23,46 Cent , etwa ein Viertel eines Halbtons (zwischen 75:74 und 74:73). Das Komma, auf das sich musikalische Temperamente oft beziehen, ist das pythagoreische Komma.   ​

Das pythagoreische Komma kann auch definiert werden als der Unterschied zwischen einem pythagoreischen Apotom und einem pythagoreischen Limma (dh zwischen einem chromatischen und einem diatonischen Halbton , wie in der pythagoreischen Stimmung bestimmt) oder der Unterschied zwischen zwölf gerade perfekten Quinten und sieben Oktaven oder dem Unterschied zwischen drei pythagoreischen Ditonen und einer Oktave (dies ist der Grund, warum das pythagoreische Komma auch als ditonisches Komma bezeichnet wird ).

Die verringerte Sekunde in der pythagoreischen Stimmung wird als der Unterschied zwischen Limma und Apotom definiert. Es stimmt daher mit dem Gegenteil eines pythagoreischen Kommas überein und kann als absteigendes pythagoreisches Komma (z. B. von C ♯ bis D ♭ ) angesehen werden, das etwa –23,46 Cent entspricht.

Ableitung

Wie in der Einleitung beschrieben, kann das pythagoreische Komma auf verschiedene Arten abgeleitet werden:

• Der Unterschied zwischen zwei enharmonisch gleichwertigen Noten in einer pythagoreischen Skala, wie C und B ♯ ( Wiedergabe ( Hilfe · Info ) ) oder D ♭ und C ♯ (siehe unten ).  
• Unterschied zwischen pythagoreischem Apotom und pythagoreischer Limma .
• Unterschied zwischen zwölf nur perfekten Quinten und sieben Oktaven .
• Der Unterschied zwischen drei Pythagoreische ditones ( Großterzen ) und einer Oktave.

Ein perfektes Fünftel hat ein Frequenzverhältnis von 3: 2. Es wird in der pythagoreischen Stimmung zusammen mit der Oktave als Maßstab verwendet, um in Bezug auf eine bestimmte Anfangsnote das Frequenzverhältnis einer anderen Note zu definieren.

Apotom und Limma sind die beiden Arten von Halbtönen, die in der pythagoreischen Stimmung definiert sind. Das Apotom (ungefähr 113,69 Cent, z. B. von C nach C ♯ ) ist nämlich der chromatische Halbton oder Augmented Unison (A1), während das Limma (ungefähr 90,23 Cent, z. B. von C nach D ♭ ) der diatonische Halbton oder Moll ist Sekunde (m2).

A ditone (oder große Terz ) ist ein Intervall von zwei gebildeten Haupttöne . Bei der pythagoreischen Stimmung hat ein Hauptton eine Größe von ungefähr 203,9 Cent (Frequenzverhältnis 9: 8), daher beträgt ein pythagoreischer Diton ungefähr 407,8 Cent.

Oktaven (7 × 1200 = 8400) gegenüber Quinten (12 × 701,96 = 8423,52), dargestellt wie bei Cuisenaire-Stäben (rot (2) wird für 1200 verwendet, schwarz (7) wird für 701,96 verwendet).

Oktaven (1 × 1200 = 1200) gegenüber Ditonen (3 × 407,82 = 1223,46), dargestellt wie bei Cuisenaire-Stäben (rot (2) wird für 1200 verwendet, Magenta (4) wird für 407,82 verwendet).

Größe

Die Größe eines pythagoreischen Kommas, gemessen in Cent , beträgt

${\ displaystyle {\ hbox {apotome}} - {\ hbox {limma}} \ ca. 113,69-90,23 \ ca. 23,46 ~ {\ hbox {cent}} \!}$

oder genauer gesagt in Bezug auf Frequenzverhältnisse :

${\ displaystyle {\ frac {\ hbox {apotome}} {\ hbox {limma}}} = {\ frac {3 ^ {7} / 2 ^ {11}} {2 ^ {8} / 3 ^ {5} }} = {\ frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = {\ frac {531441} {524288}} = 1.0136432647705078125 \!}$

Das pythagoreische Komma wird als Lücke (auf der rechten Seite) angezeigt, die dazu führt, dass sich ein 12-Punkt-Stern nicht schließt. Dieser Stern repräsentiert die pythagoreische Skala. Jede Linie repräsentiert ein perfektes Fünftel. Diese Lücke hat einen zentralen Winkel von 7,038 Grad, was 23,46% von 30 Grad entspricht.

Quintenkreis und Enharmonic Change

Pythagoreisches Komma als zwölf zu Recht abgestimmte perfekte Quinten in Ben Johnston-Notation.

Das pythagoreische Komma kann auch als Diskrepanz zwischen zwölf zu Recht abgestimmten perfekten Quinten (Verhältnis 3: 2) ( Spiel ( Hilfe · Info ) ) und sieben Oktaven (Verhältnis 2: 1) betrachtet werden:  

${\ displaystyle {\ frac {\ hbox {zwölf Fünftel}} {\ hbox {sieben Oktaven}} = \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) ^ {12} \! \! {\ Big /} \, 2 ^ {7} = {\ frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = {\ frac {531441} {524288}} = 1.0136432647705078125 \!}$

In der folgenden Tabelle der Tonleitern im Quintenkreis ist das pythagoreische Komma als kleines Intervall zwischen z. B. F ♯ und G ♭ sichtbar .

Die 6 ♭ und die 6 ♯ Skalen * sind nicht identisch - obwohl sie sich auf der Klaviertastatur befinden - aber die ♭ Skalen sind ein pythagoreisches Komma tiefer. Das Ignorieren dieses Unterschieds führt zu einer verstärkten Veränderung .

* Die Skalen 7 ♭ und 5 ♯ bzw. 5 differ und 7 differ unterscheiden sich in gleicher Weise durch ein pythagoreisches Komma. Skalen mit sieben Vorzeichen werden selten verwendet, da die Enharmonic-Skalen mit fünf Vorzeichen als gleichwertig behandelt werden.

Dieses Intervall hat schwerwiegende Auswirkungen auf die verschiedenen Stimmschemata der chromatischen Skala , da in der westlichen Musik 12 perfekte Quinten und sieben Oktaven als dasselbe Intervall behandelt werden. Gleiches Temperament , heute das im Westen am häufigsten verwendete Stimmsystem, hat dies in Einklang gebracht, indem jedes Fünftel um ein Zwölftel eines pythagoreischen Kommas (ungefähr 2 Cent) abgeflacht wurde, wodurch perfekte Oktaven erzeugt wurden.

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, dass das gerade fünfte ein Frequenzverhältnis (im Vergleich zum Tonikum) von 3: 2 oder 1,5 zu 1 hat, während der siebte Halbton (basierend auf 12 gleichen logarithmischen Teilungen einer Oktave) die siebte Potenz der ist zwölfte Wurzel von zwei oder 1,4983 ... zu 1, was nicht ganz gleich ist (um etwa 0,1%). Nehmen Sie die gerade fünfte bis zwölfte Potenz, subtrahieren Sie dann sieben Oktaven und Sie erhalten das pythagoreische Komma (ca. 1,4% Unterschied).

Geschichte

Der erste, der das Komma-Verhältnis von 531441: 524288 erwähnte, war Euklid , der den gesamten Ton der pythagoreischen Stimmung mit dem Verhältnis 9: 8, die Oktave mit dem Verhältnis 2: 1 und eine Zahl A = 262144 zugrunde legt. Er kommt zu dem Schluss, dass das Erhöhen dieser Zahl um sechs ganze Töne einen Wert G ergibt, der größer ist als der, der sich durch Erhöhen um eine Oktave (zweimal A) ergibt. Er gibt G ​​als 531441 an. Die notwendigen Berechnungen lauten:

Berechnung von G:

${\ displaystyle 262144 \ cdot \ left (\ textstyle {\ frac {9} {8}} \ right) ^ {6} = 531441}$

Berechnung des Doppelten von A:

${\ displaystyle 262144 \ cdot \ left (\ textstyle {\ frac {2} {1}} \ right) ^ {1} = 524288}$

Chinesische Mathematiker hatten das pythagoreische Komma bereits 122 v. Chr. Kannt (seine Berechnung ist im Huainanzi aufgeführt ), und um 50 v. Chr. Entdeckte Ching Fang , dass, wenn der Zyklus der perfekten Quinten über 12 bis 53 fortgesetzt wurde, das Der Unterschied zwischen dieser 53. Tonhöhe und der Starttonhöhe wäre viel kleiner als das pythagoreische Komma. Dieses viel kleinere Intervall wurde später als Mercator-Komma bezeichnet ( siehe: Geschichte von 53 gleichem Temperament ).

In George Russells Lydian Chromatic Concept of Tonal Organization (1953) basiert der halbe Schritt zwischen dem Lydian Tonic und ♭ 2 in seinen Skalen Altered Major und Minor Auxiliary Diminished Blues theoretisch auf dem Intervall eines pythagoreischen Kommas.

Siehe auch

• Syntonisches Komma
• Schisma
• Holdrian Komma

Anmerkungen

Verweise