Von Neumann-Universum - Von Neumann universe

In der Mengenlehre und verwandten Zweigen der Mathematik ist das von-Neumann-Universum oder die von-Neumann-Hierarchie von Mengen , bezeichnet mit V , die Klasse der erblich begründeten Mengen . Diese Sammlung, die durch die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZFC) formalisiert ist, wird oft verwendet, um eine Interpretation oder Motivation der Axiome von ZFC zu liefern. Das Konzept ist nach John von Neumann benannt , obwohl es erstmals 1930 von Ernst Zermelo veröffentlicht wurde.

Der Rang einer wohlbegründeten Menge ist induktiv definiert als die kleinste Ordnungszahl, die größer ist als die Ränge aller Mitglieder der Menge. Insbesondere ist der Rang der leeren Menge Null, und jede Ordinalzahl hat einen Rang gleich sich selbst. Die Mengen in V werden aufgrund ihres Rangs in die transfinite Hierarchie V _{α unterteilt}  , die als kumulative Hierarchie bezeichnet wird.

Definition

Die kumulative Hierarchie ist eine Sammlung von Sätzen V _α durch die Klasse der indizierte Ordnungszahlen ; insbesondere ist V _α die Menge aller Mengen mit Rängen kleiner als α. Somit gibt es einen Satz V _α für jede Ordnungszahl α. V _α kann durch transfinite Rekursion wie folgt definiert werden :

• Sei V ₀ die leere Menge :

  ${\displaystyle V_{0}:=\varnothing .}$

• Für jede Ordnungszahl β sei V _β+1 die Potenzmenge von V _β :

  ${\displaystyle V_{\beta+1}:={\mathcal{P}}(V_{\beta}).}$

• Für jede Limesordinalzahl λ sei V _{& lgr;} die seine Vereinigung aller V so weit -stages:

  ${\displaystyle V_{\lambda}:=\bigcup_{\beta <\lambda}V_{\beta}.}$

Eine entscheidende Tatsache bei dieser Definition ist, dass es eine einzige Formel φ(α, x ) in der Sprache von ZFC gibt, die definiert, "die Menge x ist in V _α ".

Die Mengen V _α werden Stufen oder Ränge genannt .

Ein erster Abschnitt des von Neumann-Universums. Ordinale Multiplikation wird von unserer üblichen Konvention umgekehrt; siehe Ordinalarithmetik .

Die Klasse V ist definiert als die Vereinigung aller V- Stufen:

${\displaystyle V:=\bigcup_{\alpha}V_{\alpha}.}$

Eine äquivalente Definition setzt

${\displaystyle V_{\alpha}:=\bigcup_{\beta <\alpha}{\mathcal {P}}(V_{\beta})}$

für jede Ordinalzahl α, wobei ist die Potenz von . ${\displaystyle {\mathcal{P}}(X)\!}$${\displaystyle X}$

Der Rang einer Menge S ist das kleinste α, so dass Eine andere Möglichkeit zur Berechnung des Rangs ist: ${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha}\,.}$

${\displaystyle \operatorname {Rang} (S)=\bigcup \{\operatorname {Rang} (z)+1\mid z\in S\}}$.

Endliche und niedrige Kardinalitätsstufen der Hierarchie

Die ersten fünf von Neumann-Stufen V ₀ bis V ₄ können wie folgt visualisiert werden. (Eine leere Box stellt die leere Menge dar. Eine Box, die nur eine leere Box enthält, stellt die Menge dar, die nur die leere Menge enthält, und so weiter.)

Diese Sequenz weist ein tetrarationales Wachstum auf. Die Menge V ₅ enthält 2 ¹⁶ = 65536 Elemente; die Menge V ₆ enthält 2 ⁶⁵⁵³⁶ Elemente, was die Zahl der Atome des bekannten Universums bei weitem übersteigt ; und für jedes natürliche n enthält die Menge V _n+1 2 n Elemente unter Verwendung von Knuths Aufwärtspfeil-Notation . Die endlichen Stufen der kumulativen Hierarchie können also nach Stufe 5 nicht explizit aufgeschrieben werden. Die Menge V _ω hat die gleiche Kardinalität wie ω. Die Menge V _ω+1 hat die gleiche Kardinalität wie die Menge der reellen Zahlen.

Anwendungen und Interpretationen

Anwendungen von V als Modelle für Mengentheorien

Wenn der Satz von ω ist natürlicher Zahlen , dann V _ω ist der Satz von hereditarily endlichen Mengen , die a - Modell ohne dem die Mengenlehre Axiom der Unendlichkeit .

V _ω+ω ist das Universum der "gewöhnlichen Mathematik" und ist ein Modell der Zermelo-Mengentheorie . Ein einfaches Argument für die Angemessenheit von V _ω+ω ist die Beobachtung, dass V _ω+1 für die ganzen Zahlen adäquat ist, während V _ω+2 für die reellen Zahlen adäquat ist und die meisten anderen normalen Mathematiker als Beziehungen von aufgebaut werden können verschiedene Arten aus diesen Mengen, ohne dass das Ersetzungsaxiom außerhalb von V _{ω+ω gehen muss} .

Wenn κ ein unzugänglicher Kardinal ist , dann ist V _κ ein Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZFC) selbst und V _κ+1 ist ein Modell der Morse-Kelley-Mengentheorie . (Beachten Sie, dass jedes ZFC-Modell auch ein ZF-Modell ist und jedes ZF-Modell auch ein Z-Modell.)

Interpretation von V als "Menge aller Mengen"

V ist aus zwei Gründen nicht "die Menge aller Mengen ". Erstens ist es kein Set; obwohl jede einzelne Stufe V _α eine Menge ist, ist ihre Vereinigung V eine echte Klasse . Zweitens sind die Mengen in V nur die wohlbegründeten Mengen. Das Axiom der Foundation (oder Regularität) verlangt, dass jede Menge wohlbegründet und daher in V ist , und somit ist in ZFC jede Menge in V . Aber andere Axiomensysteme können das Fundamentsaxiom weglassen oder durch eine starke Negation ersetzen (ein Beispiel ist Aczels Anti-Foundation-Axiom ). Diese nicht fundierten Mengentheorien werden nicht allgemein verwendet, können aber dennoch studiert werden.

Ein dritter Einwand gegen die Interpretation der "Menge aller Mengen" besteht darin, dass nicht alle Mengen notwendigerweise "reine Mengen" sind, die aus der leeren Menge unter Verwendung von Potenzmengen und Vereinigungen konstruiert werden. Zermelo schlug 1908 die Einbeziehung von Urelementen vor , aus denen er 1930 eine transfinite rekursive Hierarchie konstruierte. Solche Urelemente werden in der Modelltheorie , insbesondere in Fraenkel-Mostowski-Modellen , ausgiebig verwendet.

V und das Regularitätsaxiom

Die Formel V = ⋃ _α V _α wird oft als Satz, nicht als Definition angesehen. Roitman stellt (ohne Referenzen) fest, dass die Erkenntnis, dass das Regelmäßigkeitsaxiom der Gleichheit des Universums von ZF-Mengen mit der kumulativen Hierarchie entspricht, auf von Neumann zurückzuführen ist.

Der existenzielle Status von V

Da die Klasse V als die Arena für den größten Teil der Mathematik angesehen werden kann, ist es wichtig festzustellen, dass sie in gewissem Sinne "existiert". Da Existenz ein schwieriger Begriff ist, ersetzt man typischerweise die Existenzfrage durch die Konsistenzfrage, dh ob der Begriff widerspruchsfrei ist. Ein großes Hindernis stellen die Unvollständigkeitssätze von Gödel dar , die die Unmöglichkeit implizieren, die Konsistenz der ZF-Mengentheorie in der ZF-Mengentheorie selbst zu beweisen, vorausgesetzt, sie ist tatsächlich konsistent.

Die Integrität des von-Neumann-Universums hängt grundlegend von der Integrität der Ordnungszahlen ab , die bei der Konstruktion als Rangparameter fungieren, und der Integrität der transfiniten Induktion , durch die sowohl die Ordnungszahlen als auch das von-Neumann-Universum konstruiert werden. Man kann sagen, dass die Integrität der Ordnungszahlkonstruktion auf von Neumanns Arbeiten von 1923 und 1928 beruht. Man kann sagen, dass die Integrität der Konstruktion von V durch transfinite Induktion dann in Zermelos Arbeit von 1930 nachgewiesen wurde.

Geschichte

Gregory H. Moore (1982) behauptet, dass die kumulative Typhierarchie, auch als von Neumann-Universum bekannt, fälschlicherweise von Neumann zugeschrieben wird . Die Erstveröffentlichung des von Neumann-Universums erfolgte 1930 durch Ernst Zermelo .

Die Existenz und Einzigartigkeit der allgemeinen transfiniten rekursiven Definition von Mengen wurde 1928 von Neumann sowohl für die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie als auch für Neumanns eigene Mengentheorie (die sich später zur NBG-Mengentheorie entwickelte ) nachgewiesen. In keiner dieser Arbeiten wandte er seine transfinite rekursive Methode an, um das Universum aller Mengen zu konstruieren. Die Darstellungen des von-Neumann-Universums durch Bernays und Mendelson würdigen beide von Neumann für die Konstruktionsmethode der transfiniten Induktion, jedoch nicht für ihre Anwendung auf die Konstruktion des Universums gewöhnlicher Mengen.

Die Notation V ist keine Hommage an den Namen von Neumann. Es wurde 1889 von Peano für das Universum der Sets verwendet, wobei der Buchstabe V "Verum" bedeutete, den er sowohl als logisches Symbol als auch zur Bezeichnung der Klasse aller Individuen verwendete. Peanos Notation V wurde 1910 auch von Whitehead und Russell für die Klasse aller Mengen übernommen. Die V- Notation (für die Klasse aller Mengen) wurde von Neumann in seinen 1920er Aufsätzen über Ordnungszahlen und transfinite Induktion nicht verwendet. Paul Cohen schreibt seine Verwendung des Buchstabens V (für die Klasse aller Mengen) ausdrücklich einer Veröffentlichung von Gödel aus dem Jahr 1940 zu, obwohl Gödel die Notation höchstwahrscheinlich aus früheren Quellen wie Whitehead und Russell erhielt.

Philosophische Perspektiven

Es gibt zwei Ansätze, um die Beziehung des von-Neumann-Universums V zu ZFC zu verstehen (zusammen mit vielen Variationen jedes Ansatzes und Schattierungen zwischen ihnen). Grob gesagt neigen Formalisten dazu, V als etwas anzusehen, das aus den ZFC-Axiomen resultiert (z. B. beweist ZFC, dass jede Menge in V enthalten ist). Auf der anderen Seite sehen Realisten die von-Neumann-Hierarchie eher als etwas, das der Intuition direkt zugänglich ist, und die Axiome des ZFC als Aussagen, für deren Wahrheit wir in V direkte intuitive Argumente in natürlicher Sprache anführen können. Eine mögliche mittlere Position ist, dass das mentale Bild der von-Neumann-Hierarchie den ZFC-Axiomen eine Motivation liefert (so dass sie nicht willkürlich sind), aber nicht unbedingt Objekte mit realer Existenz beschreibt.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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