Konstruierbares Universum - Constructible universe

In der Mathematik , in der Mengenlehre , ist das konstruierbare Universum (oder Gödels konstruierbares Universum ), mit L bezeichnet , eine bestimmte Klasse von Mengen , die vollständig durch einfachere Mengen beschrieben werden können. L ist die Vereinigung der konstruierbaren Hierarchie L _α  . Es wurde von Kurt Gödel in seinem 1938 erschienenen Aufsatz "Die Konsistenz des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuums-Hypothese" eingeführt. Damit bewies er, dass das konstruierbare Universum ein inneres Modell der ZF-Mengentheorie (d. h. der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie) istunter Ausschluss des Auswahlaxioms ) und auch, dass das Auswahlaxiom und die verallgemeinerte Kontinuumshypothese im konstruierbaren Universum wahr sind. Dies zeigt, dass beide Sätze mit den Grundaxiomen der Mengenlehre konsistent sind , wenn ZF selbst konsistent ist. Da viele andere Sätze nur in Systemen gelten, in denen einer oder beide der Sätze wahr sind, ist ihre Konsistenz ein wichtiges Ergebnis.

Was L ist

L kann man sich in "Stufen" vorstellen, die der Konstruktion des von-Neumann-Universums ähneln , V . Die Stufen sind durch Ordnungszahlen indiziert . In von Neumanns Universum nimmt man auf einer nachfolgenden Stufe V _{α +1} als die Menge aller Teilmengen der vorherigen Stufe V _{α an} . Im Gegensatz dazu in Gödels konstruierbar Universum L , verwendet man nur diejenigen Untergruppen der vorherigen Stufe, die:

• definierbar durch eine Formel in der formalen Sprache der Mengenlehre,
• mit Parametern aus der vorherigen Stufe und
• wobei die Quantoren so interpretiert werden, dass sie sich über die vorherige Stufe erstrecken.

Indem man sich auf Mengen beschränkt, die nur im Hinblick auf das bereits Konstruierte definiert sind, stellt man sicher, dass die resultierenden Mengen auf eine Weise konstruiert werden, die von den Besonderheiten des umgebenden Modells der Mengenlehre unabhängig ist und in einem solchen Modell enthalten ist.

Definieren

L wird durch transfinite Rekursion wie folgt definiert:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Wenn eine Grenzordinal ist , dann bedeutet hier α < λ, dass α vor λ steht .${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle L_{\lambda}:=\bigcup_{\alpha <\lambda}L_{\alpha}.}$
• ${\displaystyle L:=\bigcup_{\alpha\in\mathbf{Ord}}L_{\alpha}.}$Hier bezeichnet Ord die Klasse aller Ordinalzahlen.

Wenn z ein Element von L _{α ist} , dann ist z = { y | y ∈ L _α und y ∈ Z } ∈ Def ( L _α ) = L _{α + 1} . Also ist L _α eine Teilmenge von L _{α +1} , die eine Teilmenge der Potenzmenge von L _{α ist} . Folglich ist dies ein Turm verschachtelter transitiver Mengen . Aber L selbst ist eine richtige Klasse .

Die Elemente von L werden "konstruierbare" Mengen genannt; und L selbst ist das "konstruierbare Universum". Die „ Konstruierbarkeitsaxiom “, auch bekannt als „ V = L “, so dass jeder Satz (von V ) ist bebaubar, dh in L .

Weitere Fakten zu den Mengen L _α

Eine äquivalente Definition für L _α ist:

Für jede endliche Ordinalzahl n sind die Mengen L _n und V _n gleich (ob V gleich L ist oder nicht), und somit L _ω = V _ω : ihre Elemente sind genau die erblich endlichen Mengen . Gleichheit über diesen Punkt hinaus gilt nicht. Selbst in Modellen von ZFC in denen V gleich L , L _{ω +1} ist eine echte Teilmenge von V _{& ohgr; +1} , und danach L _{α +1} eine echte Teilmenge der Potenzmenge von L _α für alle α > ω . Andererseits impliziert V = L , dass V _α gleich L _{α ist,} wenn α = ω _α , zum Beispiel wenn α nicht zugänglich ist. Allgemeiner impliziert V = L H _α = L _α für alle unendlichen Kardinäle α .

Wenn α eine unendliche Ordinalzahl ist, dann gibt es eine Bijektion zwischen L _α und α , und die Bijektion ist konstruierbar. Diese Mengen sind also in jedem Modell der Mengentheorie, das sie einschließt, gleichzahlig .

Wie oben definiert, ist Def( X ) die Menge von Teilmengen von X, die durch Δ ₀ Formeln (in Bezug auf die Levy-Hierarchie , dh Formeln der Mengenlehre, die nur beschränkte Quantoren enthalten ) definiert ist, die als Parameter nur X und seine Elemente verwenden.

Eine andere Definition von Gödel charakterisiert jedes L _{α +1} als den Schnittpunkt der Potenzmenge von L _α mit dem Abschluss von unter einer Sammlung von neun expliziten Funktionen, ähnlich den Gödel-Operationen . Diese Definition bezieht sich nicht auf die Definierbarkeit. ${\displaystyle L_{\alpha}\cup \{L_{\alpha}\}}$

Alle arithmetischen Teilmengen von ω und Relationen auf ω gehören zu L _{ω +1} (weil die arithmetische Definition eine in L _{ω +1} ergibt ). Umgekehrt ist jede Teilmenge von ω, die zu L _{ω +1} gehört, arithmetisch (da Elemente von L _ω durch natürliche Zahlen so kodiert werden können, dass ∈ definierbar, dh arithmetisch ist). Andererseits enthält L _{ω +2} bereits bestimmte nicht-arithmetische Teilmengen von ω , wie die Menge der (natürlichen Zahlenkodierung) wahren arithmetischen Aussagen (dies kann aus L _{ω +1 definiert} werden, ist also in L _{ω +2} ).

Alle hyperarithmetischen Teilmengen von ω und Relationen auf ω gehören zu (wo steht für die Church-Kleene-Ordinalzahl ), und umgekehrt ist jede Teilmenge von ω , die zu gehört, hyperarithmetisch. ${\displaystyle L_{\omega_{1}^{\mathrm {CK}}}}$${\displaystyle \omega_{1}^{\mathrm {CK}}}$${\displaystyle L_{\omega_{1}^{\mathrm {CK}}}}$

L ist ein Standard-Innenmodell von ZFC

L ist ein Standardmodell, dh es ist eine transitive Klasse und verwendet die reelle Elementbeziehung, ist also begründet . L ist ein inneres Modell, dh es enthält alle Ordnungszahlen von V und hat keine "zusätzlichen" Mengen außer denen in V , aber es könnte eine echte Unterklasse von V sein . L ist ein Modell von ZFC , was bedeutet, dass es die folgenden Axiome erfüllt :

• Regelmäßigkeitsaxiom : Jede nichtleere Menge x enthält ein Element y , sodass x und y disjunkte Mengen sind.

( L ,∈) ist eine Unterstruktur von ( V ,∈), die wohlbegründet ist, also ist L wohlbegründet. Insbesondere dann , wenn y ∈ x ∈ L , dann durch die Transitivität von L , y ∈ L . Wenn wir dasselbe y wie in V verwenden , ist es immer noch disjunkt von x, weil wir dieselbe Elementrelation verwenden und keine neuen Mengen hinzugefügt wurden.

• Extensionalitätsaxiom : Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben.

Wenn x und y in L sind und dieselben Elemente in L haben , dann haben sie aufgrund der Transitivität von L dieselben Elemente (in V ). Sie sind also gleich (in V und damit in L ).

• Axiom der leeren Menge : {} ist eine Menge.

{} = L ₀ = { y | y ∈ L ₀ und y = y } ∈ L ₁ . Also {} ∈ L . Da die Elementrelation dieselbe ist und keine neuen Elemente hinzugefügt wurden, ist dies die leere Menge von L .

• Paarungsaxiom : Wenn x , y Mengen sind, dann ist { x , y } eine Menge.

Wenn x ∈ L und y ∈ L , dann gibt es einige ordinal α , so dass x ∈ L _α und y ∈ L _α . Dann ist { x , y } = { s | s ∈ L _α und ( s = x oder s = y )} ∈ L _{α +1} . Somit ist { x , y } L und hat für L dieselbe Bedeutung wie für V .

• Vereinigungsaxiom : Zu jeder Menge x gibt es eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind .

Wenn x ∈ L _α , dann liegen seine Elemente in L _α und ihre Elemente sind auch in L _α . So y ist eine Teilmenge von L _α . y = { s | s ∈ L _α und es existiert z ∈ x derart , dass s ∈ Z } ∈ L _{α +1} . Somit y ∈ L .

• Axiom der Unendlichkeit : Es gibt eine Menge x, so dass {} in x ist und wenn y in x ist , ist es auch die Vereinigung .${\displaystyle y\cup \{y\}}$

Aus der transfiniten Induktion erhalten wir, dass jede Ordinalzahl α ∈ L _{α +1 ist} . Insbesondere gilt ω ∈ L _{ω +1} und damit ω ∈ L .

• Trennungsaxiom : Gegeben eine beliebige Menge S und ein beliebiger Satz P ( x , z ₁ ,..., z _n ), { x | x ∈ S und P ( x , z ₁ ,..., z _n )} ist eine Menge.

Durch Induktion über Teilformeln von P kann man zeigen, dass es ein α gibt, so dass L _α S enthält und z ₁ ,..., z _n und ( P ist in L _α genau dann wahr, wenn P in L wahr ist (dies nennt man das „ Reflexionsprinzip “)). Also { x | x ∈ S und P ( x , z ₁ ,..., z _n ) gilt in L } = { x | x ∈ L _α und x ∈ S und P ( x , z ₁ , ..., z _n ) gilt in L _α } ∈ L _{α +1} . Somit ist die Teilmenge in L .

• Ersetzungsaxiom : Gegeben eine beliebige Menge S und eine beliebige Abbildung (formal definiert als ein Satz P ( x , y ), wobei P ( x , y ) und P( x , z ) y = z impliziert ), { y | es gibt x ∈ S so dass P ( x , y )} eine Menge ist.

Sei Q ( x , y ) die Formel, die P zu L relativiert , dh alle Quantoren in P sind auf L beschränkt . Q ist eine viel komplexere Formel als P , aber immer noch eine endliche Formel, und da P eine Abbildung über L war , muss Q eine Abbildung über V sein ; daher können wir in V den Ersatz in Q anwenden . Also { y | y ∈ L und es existiert x ∈ S derart , daß P ( x , y ) in hält L } = { y | es gibt x ∈ S so dass Q ( x , y )} eine Menge in V und eine Unterklasse von L ist . Wieder mit dem Ersetzungsaxiom in V können wir zeigen, dass es ein α geben muss, so dass diese Menge eine Teilmenge von L _α ∈ L _{α +1 ist} . Dann kann man das Trennungsaxiom in L verwenden , um zu zeigen, dass es ein Element von L ist .

• Axiom der Potenzmenge : Zu jeder Menge x existiert eine Menge y , so dass die Elemente von y genau die Teilmengen von x sind .

Im Allgemeinen werden einige Teilmengen einer Menge in L nicht in L sein . Also wird die ganze Potenzmenge einer Menge in L normalerweise nicht in L sein . Was wir hier brauchen , ist zu zeigen , dass der Schnittpunkt der Potenzmenge mit L ist in L . Verwenden Sie Ersetzung in V, um zu zeigen, dass es ein α gibt, so dass der Schnitt eine Teilmenge von L _{α ist} . Dann ist der Schnitt { z | z ∈ L _α und z ist eine Teilmenge von x } ∈ L _{α +1} . Somit ist die erforderliche Menge in L .

• Auswahlaxiom : Gegeben eine Menge x von voneinander disjunkten nichtleeren Mengen, gibt es eine Menge y (eine Auswahlmenge für x ), die genau ein Element von jedem Mitglied von x enthält .

Man kann zeigen, dass es eine definierbare Wohlordnung von L gibt, die in L selbst genauso funktioniert . Man wählt also das kleinste Element jedes Glieds von x , um y zu bilden, indem man die Axiome der Vereinigung und Trennung in L verwendet .

Beachten Sie, dass der Beweis, dass L ein Modell von ZFC ist, nur erfordert, dass V ein Modell von ZF ist, dh wir nehmen nicht an, dass das Auswahlaxiom in V gilt .

L ist absolut und minimal

Wenn W eine beliebige Standardmodell der ZF ist die gleiche wie ordinals teilen V , dann wird der L in definierten W ist die gleiche wie die L in definierten V . Insbesondere ist L _α in W und V für jede Ordinalzahl α gleich . Und dieselben Formeln und Parameter in Def( L _α ) erzeugen dieselben konstruierbaren Mengen in L _{α +1} .

Da außerdem L eine Unterklasse von V und L eine Unterklasse von W ist , ist L die kleinste Klasse, die alle Ordinalzahlen enthält, die ein Standardmodell von ZF ist. Tatsächlich ist L der Schnittpunkt all dieser Klassen.

Wenn es eine Menge W in V gibt, die ein Standardmodell von ZF ist, und die Ordinalzahl κ die Menge der in W vorkommenden Ordinalzahlen ist , dann ist L _κ die L von W . Wenn es eine Menge gibt, die ein Standardmodell von ZF ist, dann ist die kleinste solche Menge ein solches L _κ . Dieses Set wird als das Minimalmodell von ZFC bezeichnet. Mit dem abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Theorem kann man zeigen, dass das minimale Modell (sofern es existiert) eine abzählbare Menge ist.

Natürlich muss jede konsistente Theorie ein Modell haben, daher gibt es sogar innerhalb des Minimalmodells der Mengentheorie Mengen, die Modelle von ZF sind (vorausgesetzt, ZF ist konsistent). Diese Set-Modelle sind jedoch nicht standardmäßig. Insbesondere verwenden sie nicht die normale Elementrelation und sind nicht gut begründet.

Da sowohl das L von L als auch das V von L das reelle L sind und sowohl das L von L _κ als auch das V von L _κ das reelle L _{κ sind} , erhalten wir, dass V = L in L wahr ist und in jedem L _κ das ist ein Modell von ZF. Allerdings V = L nicht in jedem anderen Standardmodell der ZF halten.

L und große Kardinäle

Wegen Ord ⊂ L ⊆ V bleiben die Eigenschaften von Ordinalzahlen, die vom Fehlen einer Funktion oder einer anderen Struktur abhängen (dh Π ₁ ^ZF- Formeln), beim Abwärtsgehen von V nach L erhalten . Daher bleiben anfängliche Ordinalzahlen von Kardinälen in L initial . Reguläre Ordinalzahlen bleiben in L regulär . Aus schwachen Grenzkardinalen werden starke Grenzkardinäle in L, weil die verallgemeinerte Kontinuumshypothese in L gilt . Schwach unzugängliche Kardinäle werden stark unzugänglich. Aus schwachen Mahlo-Kardinälen werden starke Mahlo. Und ganz allgemein wird jede große Kardinaleigenschaft, die schwächer als 0 ^{# ist} (siehe die Liste der großen Kardinaleigenschaften ), in L beibehalten .

0 ^# ist jedoch in L falsch, selbst wenn es in V wahr ist . Also haben alle großen Kardinäle, deren Existenz 0 ^# impliziert , diese großen Kardinaleigenschaften nicht mehr, sondern behalten die Eigenschaften, die schwächer als 0 # sind, die sie auch besitzen. Zum Beispiel sind messbare Kardinäle nicht mehr messbar, sondern bleiben Mahlo in L .

Wenn 0 ^# hält an V , dann gibt es eine geschlossene unbeschränkte Klasse von Ordinalzahlen, die unmerklich in L . Während einige von diesen nicht einmal anfängliche Ordinalzahlen in V sind , haben sie alle großen Kardinaleigenschaften, die schwächer als 0 ^# in L sind . Außerdem kann jede streng ansteigende Klassenfunktion von der Klasse der Ununterscheidbaren zu sich selbst auf einzigartige Weise zu einer elementaren Einbettung von L in L erweitert werden . Dies gibt L eine schöne Struktur aus sich wiederholenden Segmenten.

L kann gut geordnet sein

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, L gut zu ordnen . Einige davon betreffen die "Feinstruktur" von L , die erstmals von Ronald Bjorn Jensen in seinem 1972 erschienenen Aufsatz "Die Feinstruktur der konstruierbaren Hierarchie" beschrieben wurde. Anstatt die Feinstruktur zu erklären, werden wir nur anhand der oben gegebenen Definition skizzieren, wie L wohlgeordnet werden könnte.

Angenommen, x und y sind zwei verschiedene Mengen in L und wir möchten bestimmen, ob x < y oder x > y ist . Wenn x zuerst in L _{α +1} auftritt und y zuerst in L _{β +1} auftritt und β von α verschieden ist , dann sei x < y genau dann, wenn α < β ist . Von nun an nehmen wir an, dass β = α .

Die Stufe L _{α +1} = Def ( L _α ) verwendet Formeln mit Parametern von L _α , um die Mengen x und y zu definieren . Zieht man (vorerst) die Parameter ab, kann man den Formeln eine Standard- Gödel-Nummerierung durch die natürlichen Zahlen geben. Wenn Φ die Formel mit der kleinsten Gödel-Zahl, die verwendet werden kann, um x zu definieren , und Ψ die Formel mit der kleinsten Gödel-Zahl ist, die verwendet werden kann, um y zu definieren , und Ψ sich von Φ unterscheidet , dann sei x < y, falls und nur wenn Φ < Ψ in der Gödel-Nummerierung. Von nun an nehmen wir an, dass Ψ = Φ .

Angenommen, Φ Verwendungen n Parameter von L _α . Angenommen, z ₁ ,..., z _n ist die Folge von Parametern, die mit Φ verwendet werden können , um x zu definieren , und w ₁ ,..., w _n macht dasselbe für y . Dann sei x < y genau dann, wenn entweder z _n < w _n oder ( z _n = w _n und z _{n − 1} < w _{n − 1} ) oder (z _n = w _n und z _{n − 1} = w _{n − 1} und z _{n − 2} < w _{n − 2} ) usw. Dies wird die umgekehrte lexikographische Ordnung genannt ; Wenn mehrere Parameterfolgen vorhanden sind, die einen der Sätze definieren, wählen wir die kleinste unter dieser Reihenfolge. Es versteht sich, dass die möglichen Werte jedes Parameters gemäß der Beschränkung der Ordnung von L auf L _α geordnet sind , so dass diese Definition eine transfinite Rekursion auf α beinhaltet .

Die Wohlordnung der Werte einzelner Parameter wird durch die induktive Hypothese der transfiniten Induktion bereitgestellt. Die Werte von n- Tupeln von Parametern sind durch die Produktreihenfolge wohlgeordnet. Die Formeln mit Parametern sind wohlgeordnet nach der geordneten Summe (nach Gödel-Zahlen) der Wohlordnungen. Und L ist wohlgeordnet durch die geordnete Summe (indiziert durch α ) der Ordnungen auf L _{α +1} .

Beachten Sie, dass diese Wohlordnung innerhalb von L selbst durch eine mengentheoretische Formel ohne Parameter definiert werden kann, nur die freien Variablen x und y . Und diese Formel liefert den gleichen Wahrheitswert, unabhängig davon, ob sie in L , V oder W (ein anderes Standardmodell von ZF mit den gleichen Ordnungszahlen) ausgewertet wird , und wir nehmen an, dass die Formel falsch ist, wenn entweder x oder y nicht in . ist L .

Es ist bekannt, dass das Auswahlaxiom der Fähigkeit entspricht, jede Menge wohlzuordnen. In der Lage zu sein, die richtige Klasse V wohlzuordnen (wie wir es hier mit L gemacht haben ) ist äquivalent zum Axiom der globalen Auswahl , das mächtiger ist als das gewöhnliche Auswahlaxiom, da es auch echte Klassen nichtleerer Mengen abdeckt.

L hat ein Reflexionsprinzip

Um zu beweisen , dass das Trennungsaxiom , das Ersetzungsaxiom und das Auswahlaxiom in L gelten, erfordert (zumindest wie oben gezeigt) die Verwendung eines Reflexionsprinzips für L . Hier beschreiben wir ein solches Prinzip.

Durch Induktion über n < ω können wir mit ZF in V beweisen, dass es für jede Ordinalzahl α eine Ordinalzahl β > α gibt, so dass für jeden Satz P ( z ₁ ,..., z _k ) mit z ₁ ,. .., z _k in L _β und mit weniger als n Symbolen (ein konstantes Symbol für ein Element von L _β als ein Symbol zählend ) erhalten wir, dass P ( z ₁ ,..., z _k ) in L _{β gilt,} falls und nur wenn es in L gilt .

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese gilt in L

Sei , und sei T eine beliebige konstruierbare Teilmenge von S . Dann gibt es ein β mit , so , für einige Formel Φ und einige gezeichnet von . Nach dem abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Theorem und dem Mostowski-Kollaps muss es eine transitive Menge K geben, die und einige enthält und die gleiche Theorie erster Ordnung hat wie bei der ersetzten ; und dieses K hat den gleichen Kardinal wie . Da gilt in , es gilt auch in K , also für einige γ mit der gleichen Kardinalzahl wie α . Und weil und haben die gleiche Theorie. Also ist T tatsächlich in . ${\displaystyle S\in L_{\alpha}}$${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta}:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i })\}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle L_{\alpha}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle L_{\alpha}}$${\displaystyle V=L}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle K=L_{\gamma}}$${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta}:x\in S\wedge \Phi(x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma}:x\in S \keil \Phi(x,w_{i})\}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle L_{\gamma}}$${\displaystyle L_{\gamma +1}}$

Alle konstruierbaren Teilmengen einer unendlichen Menge S haben also Ränge mit (höchstens) derselben Kardinalzahl κ wie der Rang von S ; daraus folgt, dass, wenn δ die anfängliche Ordinalzahl für κ ^{+ ist} , dann als "Potenzmenge" von S in L dient . Also dieses "Power-Set" . Und das wiederum bedeutet, dass die "Potenzmenge" von S höchstens Kardinal hat || & dgr; ||. Angenommen, S selbst hat Kardinal κ , dann muss die "Potenzmenge" genau Kardinal κ ^{+ haben} . Aber genau dies ist die auf L relativierte verallgemeinerte Kontinuumshypothese . ${\displaystyle L\cap {\mathcal{P}}(S)\subseteq L_{\delta}}$${\displaystyle L\cap {\mathcal{P}}(S)\in L_{\delta +1}}$

Konstruierbare Sätze sind aus den Ordnungszahlen definierbar

Es gibt eine Formel der Mengenlehre, die die Idee ausdrückt, dass X = L _α . Es hat nur freie Variablen für X und α . Damit können wir die Definition jeder konstruierbaren Menge erweitern. Wenn s ∈ L _{α +1} , dann ist s = { y | y ∈ L _α und Φ ( y , z ₁ ,..., z _n ) gilt in ( L _α ,∈)} für eine Formel Φ und einige z ₁ ,..., z _n in L _α . Dies ist gleichbedeutend damit, daß: für alle y , y ∈ s , wenn und nur wenn [existiert X derart , dass X = L _α und y ∈ X und Ψ ( X , Y , Z ₁ , ..., z _n )] wobei Ψ ( X ,...) das Ergebnis der Beschränkung jedes Quantors in Φ (...) auf X ist . Beachten Sie, dass jedes z _k ∈ L _{β +1} für einige β < α ist . Kombinieren Sie Formeln für die z 's mit der Formel für s und wenden Sie existenzielle Quantoren über die z 's außerhalb an und man erhält eine Formel, die die konstruierbare Menge s definiert, indem nur die Ordinalzahlen α verwendet werden , die in Ausdrücken wie X = L _α als Parameter vorkommen.

Beispiel: Die Menge {5, ω } ist konstruierbar. Es ist der einzigartige Satz s , der die Formel erfüllt:

wo ist kurz für: ${\displaystyle Ord(a)}$

Tatsächlich wurde sogar diese komplexe Formel von dem, was die Anweisungen im ersten Absatz ergeben würden, vereinfacht. Aber der Punkt bleibt, es gibt eine Formel der Mengenlehre, die nur für die gewünschte konstruierbare Menge s gilt und die Parameter nur für Ordinalzahlen enthält.

Relative Konstruierbarkeit

Manchmal ist es wünschenswert, ein Modell der Mengenlehre zu finden, das wie L schmal ist , aber eine nicht konstruierbare Menge einschließt oder von ihr beeinflusst wird. Dies führt zu dem Konzept der relativen Konstruierbarkeit, von dem es zwei Varianten gibt, die mit L ( A ) und L [ A ] bezeichnet werden.

Die Klasse L ( A ) für eine nicht-konstruierbare Menge A ist der Schnittpunkt aller Klassen, die Standardmodelle der Mengenlehre sind und A und alle Ordinalzahlen enthalten.

L ( A ) wird durch transfinite Rekursion wie folgt definiert:

• L ₀ ( A ) = die kleinste transitive Menge, die A als Element enthält, dh der transitive Abschluss von { A }.
• L _{α +1} ( A ) = Def ( L _α ( A ))
• Wenn λ eine Grenzordinal ist, dann .${\displaystyle L_{\lambda}(A)=\bigcup_{\alpha <\lambda}L_{\alpha}(A)\!}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup_{\alpha}L_{\alpha}(A)\!}$.

Enthält L ( A ) eine Wohlordnung des transitiven Abschlusses von A, so kann dies zu einer Wohlordnung von L ( A ) erweitert werden. Andernfalls wird das Auswahlaxiom in L ( A ) versagen .

Ein gängiges Beispiel ist das kleinste Modell, das alle reellen Zahlen enthält und in der modernen deskriptiven Mengenlehre ausgiebig verwendet wird . ${\displaystyle L(\mathbb{R})}$

Die Klasse L [ A ] ist die Klasse der Mengen, deren Konstruktion von A beeinflusst wird , wobei A eine (vermutlich nicht-konstruierbare) Menge oder eine echte Klasse sein kann. Die Definition dieser Klasse verwendet Def _A ( X ), was mit Def ( X ) identisch ist, außer dass man anstelle der Wahrheit der Formeln Φ im Modell ( X , ) das Modell ( X , , A ) verwendet. wobei A ein unäres Prädikat ist. Die beabsichtigte Interpretation von A ( y ) ist , y ∈ A . Dann ist die Definition von L [ A ] genau die von L nur mit Def ersetzt durch Def _A .

L [ A ] ist immer ein Modell des Auswahlaxioms. Auch wenn A eine Menge ist, ist A nicht notwendigerweise selbst Mitglied von L [ A ], obwohl dies immer der Fall ist, wenn A eine Menge von Ordinalzahlen ist.

Die Mengen in L ( A ) oder L [ A ] sind normalerweise nicht konstruierbar, und die Eigenschaften dieser Modelle können sich stark von den Eigenschaften von L selbst unterscheiden.

Siehe auch

• Axiom der Konstruierbarkeit
• Aussagen wahr in L
• Reflexionsprinzip
• Axiomatische Mengenlehre
• Transitive Menge
• L(R)
• Ordnungszahl definierbar

Anmerkungen

Verweise

• Barwise, Jon (1975). Zulässige Mengen und Strukturen . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
• Devlin, Keith J. (1984). Konstruierbarkeit . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Felgner, Ulrich (1971). Modelle der ZF-Mengentheorie . Vorlesungsnotizen in Mathematik. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6.
• Gödel, Kurt (1938). "Die Konsistenz des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuums-Hypothese" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . Nationale Akademie der Wissenschaften. 24 (12): 556–557. Bibcode : 1938PNAS...2..556G . doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239 . PMC  1077160 . PMID  16577857 .
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