Implementierung der Mathematik in die Mengenlehre - Implementation of mathematics in set theory

Dieser Artikel untersucht die Implementierung mathematischer Konzepte in der Mengenlehre . Die Implementierung einer Reihe grundlegender mathematischer Konzepte erfolgt parallel in ZFC (der dominanten Mengenlehre) und in NFU , der Version von Quines New Foundations , die 1969 von RB Jensen als konsistent gezeigt wurde (hier verstanden mindestens Axiome von Unendlichkeit und Wahl ).

Was hier gesagt wird, gilt auch für zwei Familien von Mengentheorien: Einerseits eine Reihe von Theorien, darunter die Zermelo-Mengentheorie am unteren Ende der Skala bis hin zu ZFC, erweitert um große Kardinalhypothesen wie "Es gibt eine messbare" Kardinal "; und auf der anderen Seite eine Hierarchie von Erweiterungen von NFU, die im Artikel der New Foundations untersucht wird . Diese entsprechen unterschiedlichen allgemeinen Ansichten über das mengentheoretische Universum, und es sind die Ansätze zur Implementierung mathematischer Konzepte unter diesen beiden allgemeinen Ansichten, die verglichen und kontrastiert werden.

Es ist nicht das primäre Ziel dieses Artikels, etwas über die relativen Vorzüge dieser Theorien als Grundlagen der Mathematik zu sagen. Der Grund für die Verwendung zweier unterschiedlicher Mengentheorien besteht darin, zu veranschaulichen, dass mehrere Ansätze zur Implementierung der Mathematik möglich sind. Gerade wegen dieses Ansatzes ist dieser Artikel keine Quelle für "offizielle" Definitionen für irgendein mathematisches Konzept.

Vorrunde

Die folgenden Abschnitte führen bestimmte Konstruktionen in den beiden Theorien ZFC und NFU durch und vergleichen die resultierenden Implementierungen bestimmter mathematischer Strukturen (zB der natürlichen Zahlen ).

Mathematische Theorien beweisen Theoreme (und sonst nichts). Zu sagen, dass eine Theorie die Konstruktion eines bestimmten Objekts erlaubt, bedeutet, dass es ein Theorem dieser Theorie ist, dass dieses Objekt existiert. Dies ist eine Aussage über eine Definition der Form "das x, das existiert", wobei eine Formel unserer Sprache ist : die Theorie beweist die Existenz des "x so dass " für den Fall, dass es ein Theorem ist, dass "es eins ist" und nur ein x, so dass ". (Siehe Bertrand Russells Theorie der Beschreibungen .) In diesem Fall "definiert" oder "konstruiert" die Theorie dieses Objekt. Wenn die Aussage kein Theorem ist, kann die Theorie nicht zeigen, dass das Objekt existiert; wenn die Aussage in der Theorie nachweislich falsch ist, beweist sie, dass das Objekt nicht existieren kann; lose kann das Objekt nicht konstruiert werden. ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$

ZFC und NFU teilen die Sprache der Mengenlehre, so dass die gleichen formalen Definitionen „das x so dass “ in beiden Theorien in Betracht gezogen werden können. Eine besondere Form der Definition in der Sprache der Mengenlehre ist Set-Builder Notation : Mittel "die Menge A , so dass für alle x, " (A nicht sein kann frei in ). Diese Notation lässt bestimmte konventionelle Erweiterungen zu: ist gleichbedeutend mit ; ist definiert als , wobei ein Ausdruck bereits definiert ist. ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \{x\mid \phi\}}$${\displaystyle x\in A\leftrightarrow\phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \{x\in B\mid \phi\}}$${\displaystyle \{x\mid x\in B\keil \phi\}}$${\displaystyle \{f(x_{1},\ldots,x_{n})\mid \phi\}}$${\displaystyle \{z\mid \exists x_{1},\ldots,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots,x_{n})\wedge \phi)\}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})}$

Ausdrücke, die in der Set-Builder-Notation definierbar sind, sind sowohl in ZFC als auch in NFU sinnvoll: Es kann sein, dass beide Theorien beweisen, dass eine gegebene Definition erfolgreich ist oder keine (der Ausdruck bezieht sich in keiner Mengentheorie mit klassischer Logik auf irgendetwas ; in der Klasse Theorien wie NBG bezieht sich diese Notation zwar auf eine Klasse, ist aber anders definiert) oder dass eine dies tut und die andere nicht. Darüber hinaus kann sich herausstellen, dass ein in ZFC und NFU auf dieselbe Weise definiertes Objekt in den beiden Theorien unterschiedliche Eigenschaften hat (oder es kann einen Unterschied geben, was bewiesen werden kann, wenn es keinen beweisbaren Unterschied zwischen ihren Eigenschaften gibt). ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$

Außerdem importiert die Mengenlehre Konzepte aus anderen Zweigen der Mathematik (in Absicht alle Zweige der Mathematik). In einigen Fällen gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Konzepte in ZFC und NFU zu importieren. Zum Beispiel ist die übliche Definition der ersten unendlichen Ordinalzahl in ZFC für NFU nicht geeignet, da das Objekt (in rein mengentheoretischer Sprache als Menge aller endlichen von-Neumann-Ordinalzahlen definiert ) in NFU nicht nachweisbar ist. Die übliche Definition von in NFU ist (in rein mengentheoretischer Sprache) die Menge aller unendlichen Wohlordnungen, deren eigentliche Anfangssegmente endlich sind, ein Objekt, von dem gezeigt werden kann, dass es in ZFC nicht existiert. Bei solchen importierten Objekten kann es unterschiedliche Definitionen geben, eine für die Verwendung in ZFC und verwandten Theorien und eine für die Verwendung in NFU und verwandten Theorien. Damit solche "Implementierungen" importierter mathematischer Konzepte sinnvoll sind, ist es notwendig, zeigen zu können, dass die beiden parallelen Interpretationen die erwarteten Eigenschaften haben: Beispielsweise sind die Implementierungen der natürlichen Zahlen in ZFC und NFU unterschiedlich, aber beide sind Implementierungen der gleichen mathematischen Struktur, weil beide Definitionen für alle Primitiven der Peano-Arithmetik enthalten und (die Übersetzungen von) die Peano-Axiome erfüllen. Es ist dann möglich, zu vergleichen, was in den beiden Theorien passiert, wenn nur eine festgelegte theoretische Sprache verwendet wird, solange die für ZFC geeigneten Definitionen im ZFC- Kontext und die für NFU geeigneten Definitionen als verwendet verstanden werden im NFU-Kontext. ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

Was auch immer in einer Theorie nachweislich existiert, existiert in jeder Erweiterung dieser Theorie eindeutig nachweisbar; Darüber hinaus kann die Analyse des Beweises, dass ein Objekt in einer gegebenen Theorie existiert, zeigen, dass es in schwächeren Versionen dieser Theorie existiert (man kann zum Beispiel für vieles, was in diesem Artikel getan wird, die Zermelo-Mengentheorie anstelle von ZFC betrachten).

Leerer Satz, Singleton, ungeordnete Paare und Tupel

Diese Konstruktionen erscheinen zuerst, weil sie die einfachsten Konstruktionen in der Mengenlehre sind, nicht weil sie die ersten Konstruktionen sind, die einem in der Mathematik in den Sinn kommen (obwohl der Begriff der endlichen Menge sicherlich grundlegend ist). Obwohl NFU auch die Konstruktion von Mengen- Ur-Elementen erlaubt, die noch Mitglieder einer Menge werden, ist die leere Menge die eindeutige Menge ohne Mitglieder:

${\displaystyle \left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}}$

Für jedes Objekt gibt es eine Menge mit als einzigem Element: ${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}}$

Für Objekte und gibt es eine Menge, die und als einzige Elemente enthält: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}}$

Die Vereinigung zweier Mengen wird auf die übliche Weise definiert:

${\displaystyle \left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\} }$

Dies ist eine rekursive Definition von ungeordneten -Tupeln für jeden konkreten (endlichen Mengen als Listen ihrer Elemente angegeben:) ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_ {1},\ldots,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}}$

In NFU funktionieren alle vorgegebenen Definitionen nach geschichtetem Verständnis; in ZFC ist die Existenz des ungeordneten Paares durch das Axiom der Paarung gegeben , die Existenz der leeren Menge folgt durch Trennung von der Existenz einer beliebigen Menge und die binäre Vereinigung zweier Mengen existiert durch die Axiome von Paarung und Vereinigung ( ) . ${\displaystyle x\cup y=\bigcup\{x,y\}}$

Geordnetes Paar

Betrachten Sie zunächst das geordnete Paar . Der Grund dafür, dass dies an erster Stelle steht, ist ein technischer: Geordnete Paare werden benötigt, um Beziehungen und Funktionen zu implementieren , die benötigt werden, um andere Konzepte zu implementieren, die möglicherweise vordringlich sind. Die erste Definition des geordneten Paares war die von Norbert Wiener 1914 im Kontext der Typentheorie der Principia Mathematica vorgeschlagene Definition . Wiener bemerkte, dass dies die Eliminierung von Typen n- ärer Relationen für n > 1 aus dem System dieser Arbeit ermöglichte. Aufgrund von Kuratowski ist es heute üblicher, die Definition zu verwenden . Jede dieser Definitionen funktioniert entweder in ZFC oder NFU. In NFU haben diese beiden Definitionen einen technischen Nachteil: Das geordnete Kuratowski-Paar ist zwei Typen höher als seine Projektionen, während das geordnete Wiener-Paar drei Typen höher ist. Es ist üblich, die Existenz eines geordneten Paares auf Typebene (ein Paar, das vom gleichen Typ wie seine Projektionen ist ) in NFU zu postulieren . Es ist zweckmäßig, das Kuratowski-Paar in beiden Systemen zu verwenden, bis die Verwendung von Typ-Level-Paaren formal begründet werden kann. Die internen Details dieser Definitionen haben nichts mit ihrer tatsächlichen mathematischen Funktion zu tun. Für jeden Begriff eines geordneten Paares ist es wichtig, dass es die definierende Bedingung erfüllt ${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset\},\{\{y\}\}\}}$${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle (x,y)=(z,w)\\equiv\x=z\keil y=w}$

…und dass es relativ einfach ist, geordnete Paare in Sets zu sammeln.

Beziehungen

Relationen sind Mengen, deren Mitglieder alle geordnete Paare sind . Wenn möglich, wird eine Relation (als binäres Prädikat verstanden ) als implementiert (die als geschrieben werden kann ). Wenn eine Relation ist, bedeutet die Notation . ${\displaystyle R}$${\displaystyle \{(x,y)\mid xRy\}}$${\displaystyle \{z\mid \pi_{1}(z)R\pi_{2}(z)\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle \left(x,y\right)\in R}$

In ZFC sind einige Relationen (wie die allgemeine Gleichheitsrelation oder Teilmengenrelation auf Mengen) 'zu groß', um Mengen zu sein (können aber harmlos als echte Klassen verdinglicht werden ). In NFU, einige Beziehungen (wie die Mitgliedschaft Beziehung) nicht setzt , weil ihre Definitionen nicht geschichtet sind: in und müssen den gleichen Typen haben (weil sie als Projektionen des gleichen Paares erscheinen), sondern auch aufeinanderfolgende Typen (da heißt als ein Element von betrachtet ). ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in y\}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Zugehörige Definitionen

Seien und seien binäre Relationen gegeben . Dann sind folgende Konzepte sinnvoll: ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$

Die Umkehrung von ist die Relation . ${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{\left(y,x\right):xRy\right\}}$

Die Domäne von ist die Menge . ${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{x:\exists y\left(xRy\right)\right\}}$

Der Bereich von ist der Bereich der Umkehrung von . Das heißt, der Satz . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{y:\exists x\left(xRy\right)\right\}}$

Das Feld von ist die Vereinigung von Domäne und Bereich von . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Das Urbild eines Mitglieds des Feldes von ist die Menge (wird in der Definition von 'begründet' unten verwendet.) ${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{y:yRx\right\}}$

Die nach unten gerichtete Schließung eines Mitglieds des Feldes von ist die kleinste Menge, die enthält und jedes für jedes enthält (dh einschließlich des Urbildes jedes seiner Elemente in Bezug auf als Teilmenge). ${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle zRy}$${\displaystyle y\in D}$${\displaystyle R}$

Das relative Produkt von und ist die Relation . ${\displaystyle R|S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left\{\left(x,z\right):\exists y\,\left(xRy\wedge ySz\right)\right\}}$

Beachten Sie, dass bei unserer formalen Definition einer binären Relation der Bereich und die Codomain einer Relation nicht unterschieden werden. Dies könnte durch die Darstellung einer Beziehung mit codomain als erfolgen , aber unsere Entwicklung wird dies nicht erfordern. ${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \left(R,B\right)}$

In ZFC wird jede Relation, deren Domäne eine Teilmenge einer Menge ist und deren Bereich eine Teilmenge einer Menge ist, eine Menge sein, da das kartesische Produkt eine Menge ist (eine Unterklasse von ), und Separation die Existenz von vorsieht . In NFU können einige Beziehungen mit globalem Geltungsbereich (wie Gleichheit und Teilmenge) als Mengen implementiert werden. Beachten Sie bei NFU, dass und drei Typen niedriger sind als in (ein Typ niedriger, wenn ein geordnetes Paar auf Typebene verwendet wird). ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B=\left\{\left(a,b\right):a\in A\wedge b\in B\right\}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}\!\left(A\cup B\right)}$${\displaystyle \left\{\left(x,y\right)\in A\times B:xRy\right\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$

Eigenschaften und Arten von Beziehungen

Eine binäre Beziehung ist: ${\displaystyle R}$

• Reflexiv, wennfür jedenim Bereich.${\displaystyle xRx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$
• Symmetrisch, wenn.${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\to yRx)}$
• Transitiv, wenn.${\displaystyle \forall x,y,z\,(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)}$
• Antisymmetrisch, wenn.${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)}$
• Begründet, wenn für jede Menge,die dem Feld von entspricht,deren Urbild unternicht entspricht.${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \ \exists x\in S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$
• Extensional if for every im Bereich von , wenn und nur wenn und unter gleiches Vorbild .${\displaystyle x,y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$

Beziehungen mit bestimmten Kombinationen der obigen Eigenschaften haben Standardnamen. Eine binäre Beziehung ist: ${\displaystyle R}$

• Eine Äquivalenzrelation if ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.${\displaystyle R}$
• Eine partielle Ordnung , wenn reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.${\displaystyle R}$
• Eine lineare Ordnung if ist eine Teilordnung und für alle im Feld von entweder oder .${\displaystyle R}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$
• Ein wohlordnendes if ist eine lineare Ordnung und wohlbegründet.${\displaystyle R}$
• Ein Mengenbild if ist wohlbegründet und extensional, und das Feld von ist entweder gleich der nach unten gerichteten Schließung eines seiner Elemente (das obere Element genannt ) oder ist leer.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Funktionen

Eine funktionale Relation ist ein binäres Prädikat, so dass eine solche Relation ( Prädikat ) genau wie im vorherigen Abschnitt beschrieben als Relation (Menge) implementiert wird. Das Prädikat wird also von der Menge implementiert . Eine Beziehung ist eine Funktion , wenn und nur wenn es daher möglich, den Wert Funktion zu definieren , wie das einzigartige Objekt derart , dass  - das heißt: wird auf -bezogene , so dass die Beziehung gilt zwischen und  - oder als das einzigartigen Objekt , so dass . Das Vorhandensein von funktionalen Prädikaten, die keine Mengen sind, in beiden Theorien macht es sinnvoll, die Notation sowohl für Mengen als auch für wichtige funktionale Prädikate zuzulassen . Solange man nicht über Funktionen im letztgenannten Sinne quantifiziert, sind alle derartigen Verwendungen grundsätzlich eliminierbar. ${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(xFy\keil xFz\to y=z\right).}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left\{\left(x,y\right):xFy\right\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right). }$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xFy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left(x,y\right)\in F}$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle F}$

Außerhalb der formalen Mengenlehre spezifizieren wir eine Funktion normalerweise in Bezug auf ihren Bereich und ihren Kobereich, wie in der Phrase "Lass eine Funktion sein". Der Definitionsbereich einer Funktion ist nur ihr Definitionsbereich als Relation, aber wir haben den Kobereich einer Funktion noch nicht definiert. Dazu führen wir die Terminologie ein, dass eine Funktion von bis ist , wenn ihr Bereich gleich ist und ihr Bereich in enthalten ist . Auf diese Weise ist jede Funktion eine Funktion von ihrem Bereich bis zu ihrem Bereich, und eine Funktion von bis ist auch eine Funktion von bis für jede Menge, die enthält . ${\displaystyle f:A\nach B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$

Unabhängig davon, welche Menge wir als Kodomäne einer Funktion betrachten, ändert sich die Funktion nicht als Menge, da sie per Definition nur eine Menge geordneter Paare ist. Das heißt, eine Funktion bestimmt nach unserer Definition nicht ihre Kodomäne. Wenn man dies unattraktiv findet, kann man stattdessen eine Funktion als das geordnete Paar definieren , wobei eine funktionale Beziehung und ihre Codomäne sind, aber wir verfolgen diesen Ansatz in diesem Artikel nicht (eleganter, wenn man zuerst geordnete Tripel definiert - zum Beispiel as - dann könnte man eine Funktion als geordnetes Tripel definieren , um auch den Bereich einzubeziehen). Beachten Sie, dass das gleiche Problem für Relationen besteht: Außerhalb der formalen Mengentheorie sagen wir normalerweise "Lass eine binäre Relation sein", aber formal ist eine Menge geordneter Paare, so dass und . ${\displaystyle (f,B)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (x,y,z)=(x,(y,z))}$${\displaystyle (f,A,B)}$${\displaystyle R\subseteq A\times B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{dom}}\,R\subseteq A}$${\displaystyle {\text{ran}}\,R\subseteq B}$

Hat in NFU den gleichen Typ wie und ist drei Typen höher als (ein Typ höher, wenn ein geordnetes Paar auf Typebene verwendet wird). Um dieses Problem zu lösen, könnte man as für jede Menge definieren , aber dies wird bequemer als geschrieben . Wenn dann eine Menge und eine funktionale Beziehung ist, stellt das Ersetzungsaxiom sicher, dass es sich um eine Menge in ZFC handelt . In NFU und haben jetzt den gleichen Typ und sind zwei Typen höher als (der gleiche Typ, wenn ein geordnetes Paar auf Typebene verwendet wird). ${\displaystyle x}$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle F\left[A\right]}$${\displaystyle \left\{y:\exists x\,\left(x\in A\keil y=F\!\left(x\right)\right)\right\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\left[A\right]}$${\displaystyle F\left[A\right]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\left[A\right]}$

Die Funktion ist in ZFC kein Set, da sie "zu groß" ist. ist jedoch ein Satz in NFU. Die Funktion (Prädikat) ist weder eine Funktion noch eine Menge in beiden Theorien; in ZFC trifft dies zu, weil eine solche Menge zu groß wäre, und in NFU ist dies wahr, weil ihre Definition nicht geschichtet wäre . Darüber hinaus kann nachgewiesen werden, dass er in NFU nicht existiert (siehe die Auflösung des Cantor-Paradoxons in New Foundations .) ${\displaystyle I\!\left(x\right)=x}$${\displaystyle I\!\left(x\right)}$${\displaystyle S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}}$${\displaystyle S\!\left(x\right)}$

Operationen auf Funktionen

Seien und beliebige Funktionen. Die Zusammensetzung von und , , wird als relatives Produkt definiert , aber nur wenn daraus eine Funktion resultiert, die auch eine Funktion ist, mit , wenn der Bereich von eine Teilmenge des Definitionsbereichs von ist . Die Umkehrung von , ist definiert als die Umkehrung von wenn dies eine Funktion ist. Bei einer gegebenen Menge ist die Identitätsfunktion die Menge , und dies ist aus verschiedenen Gründen sowohl in ZFC als auch in NFU eine Menge. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\,|\,g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle \left(g\circ f\right)\!\left(x\right)=g\!\left(f\!\left(x\right)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\left(-1\right)}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i_{A}}$${\displaystyle \left\{\left(x,x\right)\mid x\in A\right\}}$

Besondere Funktionsarten

Eine Funktion ist ein Injektiv (auch Eins-zu-Eins genannt ), wenn sie eine Umkehrfunktion hat.

Eine Funktion von bis ist: ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• Injektion vonbis,wenn die Bilder untervon verschiedenen Mitgliedern vonverschiedene Mitglieder von sind.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• Surjektion vonbis,wenn der Bereich vonist.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$
• Die Bijektion vonnachifist sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$

Die Definition von Funktionen als geordnete Paare oder geordnete Tripel hat den Vorteil, dass wir nicht die Terminologie einer Funktion "von bis " einführen müssen , und dass wir direkt von "surjektiv" sprechen können, anstatt nur von " surjektiv auf ". ${\displaystyle (f,B)}$${\displaystyle (f,A,B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Größe der Sets

Sowohl in ZFC als auch in NFU sind zwei Mengen A und B genau dann gleich groß (oder gleichzahlig ), wenn es eine Bijektion f von A nach B gibt . Dies kann als geschrieben werden , aber beachten Sie, dass dies (im Moment) eher eine Beziehung zwischen A und B als eine Beziehung zwischen noch undefinierten Objekten und ausdrückt . Bezeichnen Sie diese Beziehung mit in Kontexten wie der tatsächlichen Definition der Kardinäle, wo sogar der Anschein von voraussetzenden abstrakten Kardinälen vermieden werden sollte. ${\displaystyle |A|=|B|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle |B|}$${\displaystyle A\sim B}$

In ähnlicher Weise als halten definieren , wenn und nur wenn eine Injektion von A nach B erfolgt . ${\displaystyle |A|\leq |B|}$

Es ist leicht zu zeigen, dass die Gleichzahligkeitsrelation eine Äquivalenzrelation ist : Die Gleichzahligkeit von A mit A wird bezeugt durch ; wenn f Zeugen , dann Zeugen ; und wenn f Zeugen und g Zeugen , dann Zeugen . ${\displaystyle i_{A}}$${\displaystyle |A|=|B|}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle |B|=|A|}$${\displaystyle |A|=|B|}$${\displaystyle |B|=|C|}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle |A|=|C|}$

Es kann gezeigt werden, dass es sich bei abstrakten Kardinälen um eine lineare Ordnung handelt , aber nicht bei Mengen. Reflexivität ist offensichtlich und Transitivität ist ebenso wie die Gleichzahligkeit bewiesen. Das Schröder-Bernstein-Theorem , das in ZFC und NFU auf völlig standardisierte Weise beweisbar ist , stellt dies fest ${\displaystyle |A|\leq |B|}$

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\keil |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|}$

(dies stellt Antisymmetrie auf Kardinälen her) und

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|}$

folgt in beiden Theorien standardmäßig aus dem Auswahlaxiom .

Endliche Mengen und natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen können entweder als endliche Ordinalzahlen oder als endliche Kardinalzahlen betrachtet werden. Betrachten Sie sie hier als endliche Kardinalzahlen. Dies ist der erste Ort, an dem ein wesentlicher Unterschied zwischen den Implementierungen in ZFC und NFU offensichtlich wird.

Das Axiom der Unendlichkeit von ZFC sagt uns, dass es eine Menge A gibt, die für jede enthält und enthält . Diese Menge A ist nicht eindeutig bestimmt (sie kann unter Beibehaltung dieser Abschlusseigenschaft vergrößert werden): Die Menge N der natürlichen Zahlen ist ${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle y\cup \{y\}}$${\displaystyle y\in A}$

• ${\displaystyle \{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}}$

das ist die Schnittmenge aller Mengen, die die leere Menge enthalten und unter der Operation "Nachfolger" abgeschlossen sind . ${\displaystyle y\mapsto y\cup \{y\}}$

In ZFC ist eine Menge genau dann endlich, wenn es eine solche gibt, dass : weiter definiert als dieses n für endliches A . (Es kann bewiesen werden, dass keine zwei verschiedenen natürlichen Zahlen gleich groß sind). ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle |n|=|A|}$${\displaystyle |A|}$

Die üblichen Rechenoperationen können rekursiv und in einem Stil definiert werden, der dem der Menge der natürlichen Zahlen selbst sehr ähnlich ist. Zum Beispiel kann + (die Additionsoperation für natürliche Zahlen) als die kleinste Menge definiert werden, die für jede natürliche Zahl enthält und enthält, wann immer sie enthält . ${\displaystyle ((x,\leermenge),x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})}$${\displaystyle ((x,y),z)}$

In NFU ist es nicht offensichtlich, dass dieser Ansatz verwendet werden kann, da die Nachfolgeoperation nicht stratifiziert ist und daher die oben definierte Menge N in NFU nicht nachgewiesen werden kann (es ist konsistent, dass die Menge der endlichen von-Neumann-Ordinalzahlen in NFU, aber dies stärkt die Theorie, da die Existenz dieser Menge das Axiom des Zählens impliziert (für das siehe unten oder den New Foundations- Artikel)). ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

Die Standarddefinition der natürlichen Zahlen, die eigentlich die älteste mengentheoretische Definition natürlicher Zahlen ist , lautet als Äquivalenzklassen endlicher Mengen unter Gleichzahligkeit. Im Wesentlichen ist die gleiche Definition für NFU angemessen (dies ist nicht die übliche Definition, aber die Ergebnisse sind die gleichen): definiere Fin , die Menge endlicher Mengen, als

${\displaystyle \{A\mid \forall F\,(\emptyset\in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A \in F)\}}$

Definieren Sie für jeden Satz als . Definiere N als Menge . ${\displaystyle A\in Fin}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle \{B\mid A\sim B\}}$${\displaystyle \{|A|\mid A\in Fin\}}$

Das Axiom der Unendlichkeit von NFU kann ausgedrückt werden als : Dies ist genug , um festzustellen , dass jede natürliche Zahl einen nichtleere Nachfolger hat (den Nachfolger ist , für jede ) , das ist der schwierige Teil des zeigt , dass die Peano Axiome der Arithmetik erfüllt sind. ${\displaystyle V\not\in Fin}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle |A\cup \{x\}|}$${\displaystyle x\not\in A}$

Die Operationen der Arithmetik können in einem ähnlichen Stil wie oben angegeben definiert werden (unter Verwendung der eben angegebenen Nachfolgerdefinition). Sie können auch mengentheoretisch definiert werden: Wenn A und B disjunkte endliche Mengen sind, definiere |A|+|B| als . Formaler definieren Sie m+n für m und n in N als ${\displaystyle |A\cup B|}$

${\displaystyle \{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset\wedge A=B\cup C)\}}$

(Aber beachten Sie, dass dieser Definitionsstil auch für die ZFC-Zahlen machbar ist, aber umständlicher: Die Form der NFU- Definition erleichtert die Manipulation von Mengen, während die Form der ZFC-Definition rekursive Definitionen erleichtert, aber beide Theorien unterstützen beide Definitionsstile) .

Die beiden Implementierungen sind ziemlich unterschiedlich. Wählen Sie in ZFC einen Vertreter jeder endlichen Kardinalität (die Äquivalenzklassen selbst sind zu groß, um Mengen zu sein); in NFU sind die Äquivalenzklassen selbst Mengen und daher eine naheliegende Wahl für Objekte, um die Kardinalitäten zu vertreten. Die Arithmetik der beiden Theorien ist jedoch identisch: Die gleiche Abstraktion wird durch diese beiden oberflächlich unterschiedlichen Ansätze realisiert.

Äquivalenzrelationen und Partitionen

Eine allgemeine Technik zur Implementierung von Abstraktionen in der Mengenlehre ist die Verwendung von Äquivalenzklassen. Wenn uns eine Äquivalenzrelation R sagt, dass Elemente ihres Körpers A in einer bestimmten Hinsicht gleich sind, dann betrachte für jede Menge x die Menge als eine Abstraktion von der Menge x, die nur diese Merkmale respektiert (identifiziere Elemente von A bis R ). . ${\displaystyle [x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}}$

Für jede Menge A ist eine Menge eine Partition von A, wenn alle Elemente von P nicht leer sind, zwei beliebige Elemente von P disjunkt sind und . ${\displaystyle P}$${\displaystyle A=\bigcup P}$

Für jede Äquivalenzrelation R mit Feld A , ist eine Partition von A . Außerdem bestimmt jede Partition P von A eine Äquivalenzrelation . ${\displaystyle \{[x]_{R}\mid x\in A\}}$${\displaystyle \{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\keil y\in A)\}}$

Diese Technik hat sowohl bei ZFC als auch bei NFU Einschränkungen . Da das Universum in ZFC keine Menge ist, scheint es möglich zu sein, Merkmale nur von Elementen kleiner Domänen zu abstrahieren. Dies kann mit einem Trick von Dana Scott umgangen werden : Wenn R eine Äquivalenzrelation im Universum ist, definieren Sie als die Menge aller y, so dass und der Rang von y kleiner oder gleich dem Rang von any ist . Dies funktioniert, weil die Ränge Mengen sind. Natürlich kann es immer noch eine richtige Klasse von 's geben. In NFU besteht die Hauptschwierigkeit darin, dass ein Typ höher als x ist, so dass beispielsweise die "Karte" im Allgemeinen keine (Mengen-)Funktion ist (obwohl sie eine Menge ist). Dies kann umgangen werden, indem das Auswahlaxiom verwendet wird, um einen Repräsentanten aus jeder zu ersetzenden Äquivalenzklasse auszuwählen , der vom gleichen Typ wie x ist , oder indem man einen kanonischen Repräsentanten wählt, wenn dies ohne Aufruf von Choice möglich ist (die Verwendung von Repräsentanten ist auch im ZFC kaum unbekannt). In NFU ist die Verwendung von Äquivalenzklassenkonstruktionen zur Abstraktion von Eigenschaften allgemeiner Mengen üblicher, wie zum Beispiel in den Definitionen von Kardinal- und Ordnungszahlen unten. ${\displaystyle [x]_{R}}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle zRx}$${\displaystyle [x]_{R}}$${\displaystyle [x]_{R}}$${\displaystyle x\mapsto [x]_{R}}$${\displaystyle \{x\}\mapsto [x]_{R}}$${\displaystyle [x]_{R}}$

Ordnungszahlen

Zwei Wohlordnungen und sind ähnlich und schreiben nur für den Fall, dass es eine Bijektion f vom Körper von in den Körper von gibt, so dass für alle x und y gilt . ${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle W_{1}\sim W_{2}}$${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)}$

Ähnlichkeit wird als Äquivalenzrelation gezeigt, ähnlich wie oben gezeigt wurde, dass Gleichzahligkeit eine Äquivalenzrelation ist.

In New Foundations (NFU), die Auftragsart einer Wohlordnung W ist die Menge aller Wohlordnungen, die ähnlich W . Die Menge der Ordnungszahlen ist die Menge aller Ordnungsarten von Wohlordnungen.

Dies funktioniert in ZFC nicht , da die Äquivalenzklassen zu groß sind. Es wäre formal möglich, Scotts Trick zu verwenden, um die Ordinalzahlen im Wesentlichen auf die gleiche Weise zu definieren, aber ein Gerät von Neumann wird häufiger verwendet.

Für jede Teilordnung ist die entsprechende strikte Teilordnung < definiert als . Strenge lineare Ordnungen und strenge Well-Ordnungen werden ähnlich definiert. ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \{(x,y)\mid x\leq y\keil x\neq y\}}$

Eine Menge A heißt transitiv, wenn : jedes Element eines Elements von A auch ein Element von A ist . Eine (von Neumann) Ordinalzahl ist eine transitive Menge, bei der die Zugehörigkeit eine strenge Wohlordnung ist. ${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$

In ZFC wird der Ordnungstyp einer wohlordnenden W dann als die eindeutige von Neumann-Ordinalzahl definiert, die äquinumerisch mit dem Körper von W ist und deren Zugehörigkeit isomorph zu der mit W verbundenen strengen Wohlordnung ist . (die Äquizahligkeitsbedingung unterscheidet zwischen Wohlordnungen mit Feldern der Größe 0 und 1, deren zugehörige strenge Wohlordnungen nicht unterscheidbar sind).

In ZFC kann es nicht alle Ordnungszahlen geben. Tatsächlich sind die von-Neumann-Ordinalzahlen in jeder Mengenlehre eine inkonsistente Gesamtheit: Mit bescheidenen mengentheoretischen Annahmen kann gezeigt werden, dass jedes Element einer von-Neumann-Ordinalzahl eine von-Neumann-Ordinalzahl ist und die von Neumann-Ordinalzahlen streng nach Zugehörigkeit geordnet sind . Daraus folgt, dass die Klasse der von-Neumann-Ordinalzahlen eine von-Neumann-Ordinalzahl wäre, wenn sie eine Menge wäre: sie wäre dann aber ein Element ihrer selbst, was der Tatsache widerspricht, dass die Zugehörigkeit eine strenge Wohlordnung der von-Neumann-Ordinalzahlen ist.

Die Existenz von Ordnungstypen für alle Brunnenordnungen ist kein Satz der Zermelo-Mengentheorie : Sie erfordert das Ersetzungsaxiom . Selbst Scotts Trick kann in der Zermelo-Mengentheorie nicht ohne eine zusätzliche Annahme verwendet werden (wie die Annahme, dass jede Menge zu einem Rang gehört, der eine Menge ist, was die Zermelo-Mengentheorie nicht wesentlich stärkt, aber kein Satz dieser Theorie ist).

In NFU ist die Sammlung aller Ordnungszahlen ein Satz durch geschichtetes Verständnis. Das Burali-Forti-Paradoxon wird auf unerwartete Weise umgangen. Es gibt eine natürliche Ordnung der Ordinalzahlen, die definiert wird durch if and only if some (und so any) ist einem Anfangssegment von some (und so any) ähnlich . Weiterhin kann gezeigt werden, dass diese natürliche Ordnung eine Wohlordnung der Ordinalzahlen ist und daher einen Ordnungstyp haben muss . Es scheint, dass der Ordnungstyp der Ordinalzahlen weniger als bei der natürlichen Ordnung wäre , was der Tatsache widerspricht, dass dies der Ordnungstyp der gesamten natürlichen Ordnung auf den Ordinalzahlen ist (und damit nicht eines ihrer eigentlichen Anfangssegmente). Aber das beruht auf einer Intuition (richtig in ZFC) , dass die Auftragsart der natürlichen Ordnung auf dem ordinals weniger als ist für jede Ordnungs . Diese Behauptung ist nicht stratifiziert, da der Typ des zweiten um vier höher ist als der Typ des ersten (zwei höher, wenn ein Typstufenpaar verwendet wird). Die Behauptung , die in NFU wahr und belegbar ist, dass die Auftragsart der natürlichen Ordnung auf dem ordinals weniger als ist für jede Ordnungs , wo ist die Auftragsart des für jede (es ist leicht zu zeigen , dass dies nicht von der Wahl abhängt von W; beachten Sie, dass T den Typ um eins erhöht). Damit ist der Ordnungstyp der Ordinalzahlen kleiner als bei der natürlichen Ordnung , und . Alle Verwendungen von hier können durch ersetzt werden, wenn ein Typ-Level-Paar verwendet wird. ${\displaystyle\alpha\leq\beta}$${\displaystyle W_{1}\in\alpha}$${\displaystyle W_{2}\in\beta}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle T^{4}(\alpha)}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle T(\alpha)}$${\displaystyle W^{\iota}=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$${\displaystyle W\in\alpha}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle T^{4}(\Omega)}$${\displaystyle T^{4}(\Omega)<\Omega}$${\displaystyle T^{4}}$${\displaystyle T^{2}}$

Dies zeigt, dass die T-Operation nichttrivial ist, was eine Reihe von Konsequenzen hat. Daraus folgt sofort, dass die Singleton-Abbildung keine Menge ist, da andernfalls Einschränkungen dieser Abbildung die Ähnlichkeit von W und für jedes wohlgeordnete W begründen würden . T ist (äußerlich) bijektiv und ordnungserhaltend. Aus diesem Grund stellt die Tatsache fest, dass es sich bei den Ordinalzahlen um eine "absteigende Folge" handelt, die keine Menge sein kann. ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$${\displaystyle W^{\iota}}$${\displaystyle T^{4}(\Omega)<\Omega}$${\displaystyle \Omega >T(\Omega)>T^{2}(\Omega)\ldots}$

Ordinalzahlen, die durch T festgelegt werden, werden kantorische Ordinalzahlen genannt, und Ordinalzahlen, die nur kantorische Ordinalzahlen dominieren (von denen leicht gezeigt werden kann, dass sie selbst kantorisch sind), werden als stark kantorisch bezeichnet . Es kann keine Menge von kantorischen Ordnungszahlen oder eine Menge von stark kantorischen Ordnungszahlen geben.

Exkurs: von Neumann-Ordinalzahlen in NFU

Es ist möglich, über von Neumann-Ordinalzahlen in NFU nachzudenken . Denken Sie daran, dass eine von Neumann-Ordinalzahl eine transitive Menge A ist, so dass die Beschränkung der Zugehörigkeit zu A eine strenge Wohlordnung ist. Dies ist eine ziemlich starke Bedingung im NFU-Kontext, da die Mitgliedschaftsbeziehung einen Unterschied in der Art beinhaltet. Ein von Neumann-Ordinal A ist kein Ordinal im Sinne von NFU, sondern gehört zu einem Ordinal, das als Ordnungstyp von (Mitgliedschaft auf) A bezeichnet werden kann . Es ist leicht zu zeigen, dass der Ordnungstyp einer von-Neumann-Ordinalzahl A kantorisch ist: Für jede Wohlordnung W vom Ordnungstyp hat die durch Inklusion induzierte Wohlordnung der Anfangssegmente von W Ordnungstyp (es ist eine Art höher, also die Anwendung von T): aber die Ordnungstypen der Wohlordnung einer von-Neumann-Ordinalzahl A nach Zugehörigkeit und der Wohlordnung ihrer Anfangssegmente durch Inklusion sind eindeutig die gleichen, weil die beiden Wohlordnungen eigentlich die gleiche Relation sind , also ist der Ordnungstyp von A unter T festgelegt. Darüber hinaus gilt das gleiche Argument für jede kleinere Ordinalzahl (die der Ordnungstyp eines Anfangssegments von A ist , auch eine von Neumann-Ordinalzahl), also der Ordnungstyp einer beliebigen von Neumann ordinal ist stark kantorisch. ${\displaystyle \in \lceil A}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle T(\alpha)}$

Die einzigen von Neumann-Ordinalzahlen, die in NFU ohne zusätzliche Annahmen nachgewiesen werden können, sind die konkreten endlichen. Die Anwendung einer Permutationsmethode kann jedoch jedes NFU-Modell in ein Modell umwandeln, in dem jede stark kantorische Ordinalzahl den Ordnungstyp einer von-Neumann-Ordinalzahl hat. Dies deutet darauf hin, dass das Konzept "stark kantorische Ordinalzahl von NFU" ein besseres Analogon zu "Ordinalzahl von ZFC" sein könnte als das scheinbare Analogon "Ordinalzahl von NFU".

Kardinalzahlen

Kardinalzahlen werden in NFU auf eine Weise definiert , die die Definition der natürlichen Zahl verallgemeinert: für jede Menge A , . ${\displaystyle |A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}}$

In ZFC sind diese Äquivalenzklassen wie üblich zu groß. Scotts Trick könnte verwendet werden (und wird tatsächlich in ZF verwendet ), ist normalerweise definiert als der kleinste Ordnungstyp (hier eine von Neumann-Ordinalzahl) einer Wohlordnung von A (dass jede Menge wohlgeordnet sein kann folgt aus dem Axiom von Wahl auf die in beiden Theorien übliche Weise). ${\displaystyle |A|}$

Die natürliche Ordnung auf Kardinalzahlen wird als wohlgeordnet angesehen: dass sie reflexiv, antisymmetrisch (auf abstrakten Kardinälen, die jetzt verfügbar sind) und transitiv ist, wurde oben gezeigt. Dass es sich um eine lineare Ordnung handelt, folgt aus dem Auswahlaxiom: Zwei wohlgeordnete Mengen und ein Anfangssegment einer Wohlordnung sind zur anderen isomorph, sodass eine Menge eine kleinere Kardinalität als die andere hat. Dass es sich um eine Wohlordnung handelt, folgt in ähnlicher Weise aus dem Auswahlaxiom.

Mit jedem unendlichen Kardinal sind aus den üblichen Gründen (in beiden Mengentheorien) viele Ordnungstypen verbunden.

Der Satz von Cantor zeigt (in beiden Theorien), dass es nichttriviale Unterschiede zwischen unendlichen Kardinalzahlen gibt. In ZFC beweist man In NFU , dass die übliche Form des Satzes von Cantor falsch ist (betrachten Sie den Fall A=V), aber der Satz von Cantor ist eine falsch typisierte Aussage. Die korrekte Form des Satzes in NFU ist , wobei die Menge der einelementigen Teilmengen von A ist. zeigt, dass es "weniger" Singletons als Mengen gibt (die offensichtliche Bijektion von nach V wurde bereits als keine Menge gesehen). In NFU + Choice ist dies tatsächlich nachweisbar (wo die Existenz vieler intervenierender Kardinäle signalisiert wird; es gibt viele, viele Urelemente!). Definieren Sie eine typerhöhende T-Operation auf Kardinalzahlen analog zur T-Operation auf Ordinalzahlen: ; dies ist ein externer Endomorphismus der Kardinalzahlen, genauso wie die T-Operation auf Ordinalzahlen ein externer Endomorphismus der Ordinalzahlen ist. ${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$${\displaystyle P_{1}(A)}$${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$${\displaystyle P_{1}(V)}$${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$${\displaystyle \ll}$${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$

Eine Menge A heißt für alle Fälle kantorisch ; der Kardinal soll auch ein kantorischer Kardinal sein. Eine Menge A heißt stark kantorisch (und ihr Kardinal ebenfalls stark kantorisch), falls die Beschränkung der Singletonabbildung auf A ( ) eine Menge ist. Wohlordnungen stark kantorischer Mengen sind immer stark kantorische Ordnungszahlen; dies gilt nicht immer für Wohlordnungen kantorischer Mengen (obwohl die kürzeste Wohlordnung einer kantorischen Menge kantorisch sein wird). Eine kantorische Menge ist eine Menge, die die übliche Form des Satzes von Cantor erfüllt. ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

Die Operationen der Kardinalarithmetik sind in beiden Theorien mengentheoretisch motiviert definiert. . Man möchte definieren als , und man tut dies in ZFC , aber es gibt ein Hindernis in NFU, wenn man das Kuratowski-Paar verwendet: man definiert als wegen der Typverschiebung von 2 zwischen dem Paar und seinen Projektionen, was eine Typverschiebung von impliziert zwei zwischen einem kartesischen Produkt und seinen Faktoren. Es ist einfach zu beweisen, dass das Produkt immer existiert (erfordert jedoch Aufmerksamkeit, da die Inverse von T nicht total ist). ${\displaystyle |A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset\}}$${\displaystyle |A|\cdot |B|}$${\displaystyle |A\times B|}$${\displaystyle |A|\cdot |B|}$${\displaystyle T^{-2}(|A\times B|)}$

Definieren die Exponentialoperation auf Kardinäle erfordern T in wesentlicher Weise: wenn wie die Sammlung von Funktionen definiert wurde A zu B , diese drei Typen höher ist als A oder B , so dass es sinnvoll ist zu definieren , wie so dass es die gleiche Art ist wie A oder B ( ersetzt mit Typ-Level - Paaren). Dies hat zur Folge, dass die Exponentialoperation partiell ist: zum Beispiel undefiniert ist. In ZFC definiert man da ohne Schwierigkeiten. ${\displaystyle B^{A}}$${\displaystyle |B|^{|A|}}$${\displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle T^{-3}}$${\displaystyle 2^{|V|}}$${\displaystyle |B|^{|A|}}$${\displaystyle |B^{A}|}$

Die Exponentialoperation ist total und verhält sich auf kantorischen Kardinälen genau wie erwartet, da T solche Kardinäle festlegt und es leicht zu zeigen ist, dass ein Funktionsraum zwischen kantorischen Mengen kantorisch ist (wie auch Potenzmengen, kartesische Produkte und andere übliche Typkonstruktoren). Dies ermutigt weiter zu der Ansicht, dass die "Standard"-Kardinalitäten in NFU die kantorischen (in der Tat die stark kantorischen) Kardinalitäten sind, so wie die "Standard"-Ordinalitäten die stark kantorischen Ordnungen zu sein scheinen.

Nun können die üblichen Sätze der Kardinalarithmetik mit dem Auswahlaxiom bewiesen werden, einschließlich . Von dem Fall der Existenz einer Typebene geordnetes Paar abgeleitet werden kann: ist gleich für alle Fälle , der von einer Eins-zu-Eins - Entsprechung zwischen Kuratowski Paaren beobachtet werden würde , und doppelten singletons : Umdefinieren als C , so daß verknüpft ist der Kuratowski : Dies ist ein Begriff des geordneten Paares auf Typebene. ${\displaystyle \kappa\cdot \kappa =\kappa}$${\displaystyle |V|\cdot |V|=|V|}$${\displaystyle |V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \{\{c\}\}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \{\{c\}\}}$${\displaystyle (a,b)}$

Das Axiom des Zählens und die Subversion der Schichtung

Es gibt also zwei verschiedene Implementierungen der natürlichen Zahlen in NFU (obwohl sie in ZFC gleich sind ): endliche Ordinalzahlen und endliche Kardinalzahlen. Jeder von diesen unterstützt eine T-Operation in NFU (im Grunde die gleiche Operation). Es ist leicht zu beweisen, dass es sich um eine natürliche Zahl handelt, wenn n eine natürliche Zahl in NFU + Infinity + Choice ist (also und die erste unendliche Ordinalzahl kantorisch sind), aber es ist in dieser Theorie nicht möglich zu beweisen, dass . Der gesunde Menschenverstand weist jedoch darauf hin, dass dies wahr sein sollte, und kann daher als Axiom übernommen werden: ${\displaystyle T(n)}$${\displaystyle |N|}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle T(n)=n}$

• Rossers Axiom des Zählens : Für jede natürliche Zahl n , .${\displaystyle T(n)=n}$

Eine natürliche Konsequenz dieses Axioms (und seiner ursprünglichen Formulierung) ist

• ${\displaystyle |\{1,\ldots,n\}|=n}$für jede natürliche Zahl n .

Alles, was in NFU ohne Zählen bewiesen werden kann, ist . ${\displaystyle |\{1,\ldots,n\}|=T^{2}(n)}$

Eine Folge des Zählens ist, dass N eine stark kantorische Menge ist (auch dies ist eine äquivalente Behauptung).

Eigenschaften stark kantorischer Mengen

Der Typ jeder Variablen, die auf eine stark kantorische Menge A beschränkt ist, kann beliebig erhöht oder gesenkt werden, indem Verweise auf durch Verweise auf ersetzt werden (Typ einer erhobenen; dies setzt voraus, dass bekannt ist, dass a eine Menge ist; andernfalls muss man sagen "the Element von ", um diesen Effekt zu erzielen) oder (Typ eines gesenkten) wobei für alle , daher ist es nicht erforderlich, solchen Variablen zum Zwecke der Schichtung Typen zuzuweisen. ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \bigcup f(a)}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle f(a)=\{a\}}$${\displaystyle a\in A}$

Jede Teilmenge einer stark kantorischen Menge ist stark kantorisch. Die Potenzmenge einer stark kantorischen Menge ist stark kantorisch. Das kartesische Produkt zweier stark kantorischer Mengen ist stark kantorisch.

Die Einführung des Axioms des Zählens bedeutet, dass Typen nicht Variablen zugewiesen werden müssen, die auf N oder auf P ( N ), R (die Menge der reellen Zahlen) beschränkt sind, oder tatsächlich irgendeine Menge, die jemals in der klassischen Mathematik außerhalb der Mengenlehre in Betracht gezogen wurde.

Bei ZFC gibt es keine analogen Phänomene . Im Hauptartikel der New Foundations finden Sie stärkere Axiome, die an NFU angehängt werden können, um das „Standard“-Verhalten bekannter mathematischer Objekte zu erzwingen.

Vertraute Zahlensysteme: positive rationale Zahlen, Größen und reelle Zahlen

Stellen Sie positive Brüche als Paare positiver natürlicher Zahlen dar (0 ist ausgeschlossen): wird durch das Paar dargestellt . Um zu machen , führen Sie die durch definierte Beziehung ein . Es ist beweisbar, dass dies eine Äquivalenzrelation ist: Definiere positive rationale Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren positiver natürlicher Zahlen unter dieser Relation. Arithmetische Operationen auf positive rationale Zahlen und die Ordnungsrelation auf positive rationale Zahlen werden wie in der Grundschule definiert und haben (mit einigem Aufwand) die erwarteten Eigenschaften. ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle (p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr}$

Stellen Sie Größen (positive reelle Zahlen) als nichtleere echte Anfangssegmente der positiven rationalen Zahlen ohne größtes Element dar. Die Operationen der Addition und Multiplikation von Größen werden durch elementweise Addition der positiven rationalen Elemente der Größen implementiert. Ordnung wird als Set-Inklusion implementiert.

Stellen Sie reelle Zahlen als Größenunterschiede dar: Formal gesprochen ist eine reelle Zahl eine Äquivalenzklasse von Größenpaaren unter der Äquivalenzrelation, die durch definiert wird . Die Operationen der Addition und Multiplikation von reellen Zahlen sind so definiert, wie man es von den algebraischen Regeln zum Addieren und Multiplizieren von Differenzen erwarten würde. Die Ordnungsbehandlung erfolgt ebenfalls wie in der elementaren Algebra. ${\displaystyle mn}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle (m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r}$

Dies ist die kürzeste Skizze der Konstruktionen. Beachten Sie, dass die Konstruktionen in ZFC und in NFU genau gleich sind , mit Ausnahme des Unterschieds in der Konstruktion der natürlichen Zahlen: Da alle Variablen auf stark kantorische Mengen beschränkt sind, müssen Sie sich nicht um Schichtungsbeschränkungen kümmern. Ohne das Axiom des Zählens könnte es notwendig sein, einige Anwendungen von T in einer vollständigen Diskussion dieser Konstruktionen einzuführen.

Operationen an indizierten Familien von Mengen

In dieser Klasse von Konstruktionen scheint ZFC gegenüber NFU im Vorteil zu sein : Die Konstruktionen sind zwar in NFU eindeutig machbar , aber aus Gründen der Schichtung komplizierter als in ZFC.

In diesem Abschnitt wird von einem geordneten Paar auf Typebene ausgegangen. Definiere als . Die Definition des allgemeinen n- Tupels mit dem Kuratowski-Paar ist schwieriger, da die Typen aller Projektionen gleich bleiben müssen und die Typverschiebung zwischen dem n- Tupel und seinen Projektionen mit zunehmendem n zunimmt. Hier hat das n- Tupel den gleichen Typ wie jede seiner Projektionen. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots,x_{n}))}$

Allgemeine kartesische Produkte werden ähnlich definiert: ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})}$

Die Definitionen sind in ZFC die gleichen, aber ohne Bedenken hinsichtlich der Schichtung (die hier angegebene Gruppierung ist der üblicherweise verwendeten Gruppierung entgegengesetzt, aber dies kann leicht korrigiert werden).

Betrachten Sie nun das unendliche kartesische Produkt . In ZFC ist dies als die Menge aller Funktionen f mit Domäne I definiert, so dass (wobei A implizit als eine Funktion verstanden wird, die jedes i bis aufnimmt ). ${\displaystyle \Pi_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

In NFU erfordert dies Aufmerksamkeit auf den Typ. Gegeben eine Menge I und eine mengenwertige Funktion A, deren Wert bei in geschrieben ist , Definiere als die Menge aller Funktionen f mit Domäne I, so dass : Beachten Sie, dass aufgrund unserer Konvention, dass A eine Funktion mit Werten bei Singletons der Indizes ist, geschichtet ist . Beachten Sie, dass die allergrößten Familien von Mengen (die nicht durch Mengen von Singletons indiziert werden können) gemäß dieser Definition keine kartesischen Produkte haben. Beachten Sie außerdem, dass die Mengen vom gleichen Typ sind wie die Indexmenge I (da ein Typ höher ist als seine Elemente); das Produkt als Menge von Funktionen mit Domäne I (also vom gleichen Typ wie I ) ist einen Typ höher (vorausgesetzt, ein geordnetes Paar auf Typebene). ${\displaystyle \{i\}}$${\displaystyle P_{1}(I)}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \Pi_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$${\displaystyle f(i)\in A_{i}=A(\{i\})}$${\displaystyle A_{i}}$

Betrachten Sie nun das Produkt der Kardinäle dieser Mengen. Die Kardinalität | | ist ein Typ höher als die Kardinäle , also ist die korrekte Definition des unendlichen Produkts von Kardinälen (da die Inverse von T nicht total ist, ist es möglich, dass diese nicht existiert). ${\displaystyle \Pi_{i\in I}|A_{i}|}$${\displaystyle \Pi_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle |A_{i}|}$${\displaystyle T^{-1}(|\Pi_{i\in I}A_{i}|)}$

Wiederholen Sie dies für disjunkte Vereinigungen von Familien von Mengen und Summen von Familien von Kardinälen. Sei A wiederum eine mengenwertige Funktion mit domain : write for . Die disjunkte Vereinigung ist die Menge . Dieses Set ist vom gleichen Typ wie die Sets . ${\displaystyle P_{1}(I)}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A(\{i\})}$${\displaystyle \Sigma_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$${\displaystyle A_{i}}$

Die korrekte Definition der Summe ist also , da es keine Typverschiebung gibt. ${\displaystyle \Sigma_{i\in I}|A_{i}|}$${\displaystyle |\Sigma_{i\in I}A_{i}|}$

Es ist möglich, diese Definitionen zu erweitern, um Indexmengen zu behandeln, die keine Mengen von Singletons sind, aber dies führt eine zusätzliche Typebene ein und wird für die meisten Zwecke nicht benötigt.

Definieren Sie in ZFC die disjunkte Vereinigung als , wobei abgekürzt wird . ${\displaystyle \Sigma_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A(i)}$

Permutationsmethoden können verwendet werden, um die relative Konsistenz der Behauptung mit der NFU zu zeigen, dass es für jede stark kantorische Menge A eine Menge I gleicher Größe gibt, deren Elemente Selbst-Singletons sind: für jedes i in I . ${\displaystyle i=\{i\}}$

Die kumulative Hierarchie

Definieren Sie in ZFC die kumulative Hierarchie als ordinalindexierte Folge von Mengen, die die folgenden Bedingungen erfüllen: ; ; für Grenzordnungen . Dies ist ein Beispiel für eine Konstruktion durch transfinite Rekursion . Der Rang einer Menge A heißt genau dann, wenn . Die Existenz der Ränge als Mengen hängt vom Ersetzungsaxiom bei jedem Grenzschritt ab (die Hierarchie kann in der Zermelo-Mengentheorie nicht konstruiert werden ); nach dem Gründungsaxiom gehört jede Menge einem Rang an. ${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$${\displaystyle V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha})}$${\displaystyle V_{\lambda}=\bigcup \{V_{\beta}\mid \beta <\lambda\}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha}}$

Der Kardinal heißt . ${\displaystyle |P(V_{\omega +\alpha})|}$${\displaystyle \beth_{\alpha}}$

Diese Konstruktion kann in NFU nicht ausgeführt werden, da die Leistungsset-Operation keine Set-Funktion in NFU ist ( ist eine Art höher als A für Schichtungszwecke). ${\displaystyle P(A)}$

Die Reihenfolge der Kardinäle kann in NFU implementiert werden. Denken Sie daran, dass definiert ist als , wobei ein praktischer Satz der Größe 2 ist und . Sei die kleinste Menge von Kardinalzahlen, die (die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen) enthält, die Kardinalzahl enthält , wann immer sie enthält , und die unter dem Suprema der Kardinalmengen abgeschlossen ist. ${\displaystyle \beth_{\alpha}}$${\displaystyle 2^{|A|}}$${\displaystyle T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|P(A)|}$${\displaystyle \beth}$${\displaystyle |N|}$${\displaystyle 2^{|A|}}$${\displaystyle |A|}$

Eine Konvention für die ordinale Indizierung jeder wohlgeordneten Ordnung wird als das Element x des Feldes von definiert, so dass der Ordnungstyp der Einschränkung von to ist ; definieren Sie dann als Element mit Index in der natürlichen Reihenfolge der Elemente von . Der Kardinal ist das Element mit Index in der natürlichen Ordnung auf allen unendlichen Kardinälen (was eine Wohlordnung ist, siehe oben). Beachten Sie, dass dies unmittelbar aus dieser Definition folgt. Beachten Sie bei all diesen Konstruktionen, dass der Indextyp zwei höher ist (mit einem geordneten Paar auf Typebene) als der Typ von . ${\displaystyle W_{\alpha}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{y\mid yWx\}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beth_{\alpha}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beth}$${\displaystyle \aleph _{\alpha}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \aleph _{0}=|N|}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle W_{\alpha}}$

Jede Menge A von ZFC hat einen transitiven Abschluss (die Schnittmenge aller transitiven Mengen, die A enthält ). Nach dem Gründungsaxiom ist die Beschränkung der Zugehörigkeitsrelation auf den transitiven Abschluss von A eine begründete Relation . Die Relation ist entweder leer oder hat A als oberstes Element, also ist diese Relation ein Mengenbild . In ZFC kann bewiesen werden, dass jedes Mengenbild zu einigen isomorph ist . ${\displaystyle TC(A)}$${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$

Dies legt nahe, dass (ein anfängliches Segment) der kumulativen Hierarchie untersucht werden kann, indem man die Isomorphismusklassen von Mengenbildern betrachtet. Diese Isomorphismusklassen sind Mengen und bilden in NFU eine Menge . Es gibt eine natürliche Mengenrelation analog der Zugehörigkeit zu Isomorphismusklassen von Mengenbildern: if ist ein Mengenbild, schreibe für seine Isomorphismusklasse und definiere als haltend if ist die Isomorphismusklasse der Beschränkung von y auf die nach unten gerichtete Schließung eines der Elemente des Urbildes unter y des obersten Elements von y . Die Relation E ist eine Mengenrelation, und es ist leicht zu beweisen, dass sie wohlbegründet und extensional ist. Wenn die Definition von E ist verwirrend, kann es aus der Beobachtung gefolgert wird , dass es genau um die Beziehung induziert wird , die mit zugehörigen zwischen dem eingestellten Bild hält A und das eingestellten Bild mit zugehörigem B , wenn in der üblichen Mengenlehre. ${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [x]E[y]}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle A\in B}$

Es gibt eine T-Operation auf Isomorphismusklassen von Mengenbildern analog der T-Operation auf Ordinalzahlen: Wenn x ein Mengenbild ist, ist es auch . Definiere als . Das sieht man leicht . ${\displaystyle x^{\iota}=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}}$${\displaystyle T([x])}$${\displaystyle [x^{\iota}]}$${\displaystyle [x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])}$

Ein Extensionalitätsaxiom für diese simulierte Mengenlehre folgt aus der Extensionalität von E. Aus seiner Fundiertheit folgt ein Fundamentalaxiom. Es bleibt die Frage, welches Verständnis Axiom E haben kann. Betrachten Sie eine beliebige Sammlung von Set-Bildern (Sammlung von Set-Bildern, deren Felder vollständig aus Singletons bestehen). Da jeder einen Typ höher als x ist (unter Verwendung eines geordneten Paares auf Typebene), führt das Ersetzen jedes Elements des Feldes von jedem in der Sammlung durch zu einer Sammlung von Mengenbildern, die zur ursprünglichen Sammlung isomorph sind, aber deren Felder disjunkt sind. Die Vereinigung dieser Mengenbilder mit einem neuen oberen Element ergibt ein Mengenbild, dessen Isomorphismustyp als Urbilder unter E genau die Elemente der ursprünglichen Sammlung hat. Das heißt, für jede Sammlung von Isomorphismustypen gibt es einen Isomorphismustyp, dessen Urbild unter E genau diese Sammlung ist. ${\displaystyle \{x^{\iota}\mid x\in S\}}$${\displaystyle x^{\iota}}$${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle x^{\iota}}$${\displaystyle (x,\{a\})}$${\displaystyle [x^{\iota}]=T([x])}$${\displaystyle [y]}$

Insbesondere wird es einen Isomorphismustyp [v] geben, dessen Urbild unter E die Sammlung aller T [ x ] (einschließlich T [ v ]) ist. Da T [ v ] E v und E wohlbegründet ist, . Dies ähnelt der Auflösung des Burali-Forti-Paradoxons, die oben und im Artikel von New Foundations diskutiert wurde , und ist tatsächlich die lokale Auflösung des Mirimanoff-Paradoxons der Menge aller wohlbegründeten Mengen. ${\displaystyle T[v]\neq v}$

Es gibt Reihen von Isomorphismusklassen von Mengenbildern, genauso wie es Reihen von Mengen in der üblichen Mengenlehre gibt. Definiere für jede Sammlung von Mengenbildern A S ( A ) als die Menge aller Isomorphismusklassen von Mengenbildern, deren Urbild unter E eine Teilmenge von A ist; nenne A eine "vollständige" Menge, wenn jede Teilmenge von A ein Urbild unter E ist. Die Sammlung von "Rängen" ist die kleinste Sammlung, die die leere Menge enthält und unter der S-Operation abgeschlossen ist (was eine Art Potenzmengenkonstruktion ist) und unter Vereinigungen seiner Untersammlungen. Es ist leicht zu beweisen (ähnlich wie in der üblichen Mengentheorie), dass die Ränge durch Inklusion wohlgeordnet sind, und daher haben die Ränge einen Index in dieser Wohlordnung: Beziehen Sie sich auf den Rang mit Index als . Es ist beweisbar, dass für vollständige Ränge . Die Vereinigung der vollständigen Ränge (die der erste unvollständige Rang sein wird) mit der Relation E sieht aus wie ein Anfangssegment des Universums der Mengenlehre im Zermelo-Stil (nicht unbedingt wie das vollständige Universum von ZFC, da es möglicherweise nicht groß genug ist). . Es ist beweisbar, dass wenn der erste unvollständige Rang ist, dann ein vollständiger Rang und somit . Es gibt also einen "Rang der kumulativen Hierarchie" mit einem "externen Automorphismus" T, der den Rang nach unten verschiebt, genau die Bedingung für ein nicht standardmäßiges Modell eines Rangs in der kumulativen Hierarchie, unter dem ein Modell der NFU im Artikel der New Foundations konstruiert wird . Es gibt technische Details zu überprüfen, aber es gibt eine Interpretation nicht nur eines Fragments von ZFC, sondern von NFU selbst in dieser Struktur, mit definiert als : Diese "Beziehung" ist keine festgelegte Beziehung, sondern hat die gleiche Typverschiebung zwischen ihren Argumenten wie das übliche Mitgliedschaftsverhältnis . ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle R_{\alpha}}$${\displaystyle |R_{\alpha}|=\beth_{\alpha}}$${\displaystyle R_{\alpha}}$${\displaystyle R_{\alpha}}$${\displaystyle R_{T(\alpha)}}$${\displaystyle T(\alpha)<\alpha}$${\displaystyle [x]\in_{NFU}[y]}$${\displaystyle T([x])E[y]\keil [y]\in R_{T(\alpha)+1}}$${\displaystyle E_{NFU}}$${\displaystyle\in}$

Es gibt also innerhalb der NFU eine natürliche Konstruktion der kumulativen Hierarchie von Mengen, die die natürliche Konstruktion eines Modells der NFU in der Mengentheorie im Zermelo-Stil verinnerlicht.

Unter dem im New Foundations- Artikel beschriebenen Axiom der kantorischen Mengen wird der stark kantorische Teil der Menge der Isomorphismusklassen von Mengenbildern mit der E-Beziehung als Zugehörigkeit zu einem (echten Klassen-)Modell der ZFC (in der es n - Mahlo-Kardinäle gibt für jedes  n ; diese Erweiterung von NFU ist strikt stärker als ZFC). Dies ist ein richtiges Klassenmodell, da die stark kantorischen Isomorphismusklassen keine Menge bilden.

Permutationsverfahren können verwendet werden, um aus jedem Modell der NFU ein Modell zu erstellen, in dem jeder stark kantorische Isomorphismus-Typ von Mengenbildern tatsächlich als Einschränkung der wahren Zugehörigkeitsrelation auf den transitiven Abschluss einer Menge realisiert wird.

Siehe auch

• Axiomatische Mengenlehre

Verweise

• Keith Devlin , 1994. The Joy of Sets , 2. Aufl. Springer-Verlag.
• Holmes, Randall, 1998. Elementare Mengenlehre mit einer universellen Menge . Wissenschaft – Bruylant. Der Herausgeber hat freundlicherweise zugestimmt, diese Einführung in NFU über das Internet zu verbreiten. Urheberrecht ist vorbehalten.
• Potter, Michael, 2004. Mengenlehre und ihre Philosophie , 2. Aufl. Oxford Univ. Drücken Sie.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatische Mengenlehre . Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Vorlesungen in Logik und Mengenlehre, Vol. 2, No. 2 . Cambridge-Uni. Drücken Sie.

Externe Links

• Metamath: Eine Website, die sich der fortlaufenden Ableitung der Mathematik aus den Axiomen der ZFC und der Logik erster Ordnung widmet .
• Stanford Encyclopedia of Philosophy :
  • Quines neue Grundlagen – von Thomas Forster.
  • Alternative axiomatische Mengentheorien — von Randall Holmes.
• Randall Holmes: Neue Stiftungen Homepage