Lineare fraktionelle Transformation - Linear fractional transformation

In der Mathematik ist eine lineare gebrochene Transformation grob gesagt eine Transformation der Form

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}},}

das hat eine Umkehrung . Die genaue Definition hängt von der Art von $a, b, c, d$ und $z ab$ . Mit anderen Worten, eine lineare gebrochene Transformation ist eine Transformation , die durch einen Bruch dargestellt wird, dessen Zähler und Nenner linear sind .

In der meisten Grundeinstellung $a, b, c, d$ und $z$ sind komplexe Zahlen (in diesem Fall die Transformation auch genannt wird Möbius - Transformation , oder allgemeine Elemente eines) Feldes . Die Invertierbarkeitsbedingung ist dann $ad - bc \neq 0$ . Über einem Feld ist eine lineare gebrochene Transformation die Beschränkung auf das Feld einer projektiven Transformation oder Homographie der projektiven Linie .

Wenn $a, b, c, d$ eine ganze Zahl sind (oder allgemeiner zu einer integralen Domäne gehören ), soll $z$ eine rationale Zahl sein (oder zum Feld der Brüche der integralen Domäne gehören. In diesem Fall ist die Die Umkehrbarkeitsbedingung ist, dass $ad - bc$ eine Einheit der Domäne sein muss (d. h 1 oder −1 bei ganzen Zahlen).

Im allgemeinsten Einstellung der $a, b, c, d$ und $z$ sind quadratische Matrizen , oder, allgemeiner, Elemente eines Ring . Ein Beispiel für eine solche lineare fraktionierte Transformation ist die Cayley-Transformation , die ursprünglich auf dem 3 x 3- Realmatrixring definiert wurde .

Lineare fraktionelle Transformationen werden häufig in verschiedenen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendung auf das Ingenieurwesen verwendet, wie beispielsweise in der klassischen Geometrie , der Zahlentheorie (sie werden beispielsweise in Wiles 'Beweis von Fermats letztem Satz verwendet ), der Gruppentheorie und der Steuerungstheorie .

Allgemeine Definition

Im allgemeinen wird eine lineare fraktionierte Transformation eine Homographie von P ( A ), die projektive Linie über einen Ring A . Wenn A ein kommutativer Ring ist , hat eine lineare gebrochene Transformation die bekannte Form

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}},}

wobei $a, b, c, d$ Elemente von A sind, so dass $ad - bc$ eine Einheit von A ist (das heißt, $ad - bc$ hat eine multiplikative Inverse in A )

In einem nicht kommutativen Ring A mit ( z, t ) in A ² bestimmen die Einheiten u eine Äquivalenzbeziehung. Eine Äquivalenzklasse in der Projektionslinie über A wird U [ z, t ] geschrieben, wobei die Klammern Projektionskoordinaten bezeichnen . Dann wirken lineare fraktionierte Transformationen rechts von einem Element von P ( A ): ${\ displaystyle (z, t) \ sim (uz, ut).}$

{\ displaystyle U [z, t] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} = U [za + tb, \ zc + td] \ sim U [(zc + td) ^ {- 1 } (za + tb), \ 1].}

Der Ring ist durch z → U [ z , 1] in seine Projektionslinie eingebettet , sodass t = 1 den üblichen Ausdruck wiedererlangt. Diese lineare fraktionelle Transformation ist gut definiert, da U [ za + tb , zc + td ] nicht davon abhängt, welches Element aus seiner Äquivalenzklasse für die Operation ausgewählt wird.

Die linearen fraktionierten Transformationen bilden eine Gruppe , bezeichnet , ${\ displaystyle \ operatorname {PGL} _ {1} (A).}$

Die Gruppe der linearen fraktionellen Transformationen wird als modulare Gruppe bezeichnet . Es wurde aufgrund seiner zahlreichen Anwendungen auf die Zahlentheorie , zu denen insbesondere Wiles 'Beweis von Fermats letztem Satz gehört, umfassend untersucht . ${\ displaystyle \ operatorname {PGL} _ {1} (\ mathbb {Z})}$

Verwendung in hyperbolischer Geometrie

In der komplexen Ebene ist ein verallgemeinerter Kreis entweder eine Linie oder ein Kreis. Wenn der Punkt im Unendlichen abgeschlossen ist, entsprechen die verallgemeinerten Kreise in der Ebene Kreisen auf der Oberfläche der Riemannschen Kugel , einem Ausdruck der komplexen Projektionslinie. Lineare gebrochene Transformationen permutieren diese Kreise auf der Kugel und die entsprechenden endlichen Punkte der verallgemeinerten Kreise in der komplexen Ebene.

Um Modelle der hyperbolischen Ebene zu konstruieren, werden die Punkte durch die Einheitsscheibe und die obere Halbebene dargestellt. Diese Teilmengen der komplexen Ebene erhalten eine Metrik mit der Cayley-Klein-Metrik . Dann wird der Abstand zwischen zwei Punkten unter Verwendung des verallgemeinerten Kreises durch die Punkte und senkrecht zur Grenze der für das Modell verwendeten Teilmenge berechnet. Dieser verallgemeinerte Kreis schneidet die Grenze an zwei anderen Punkten. Alle vier Punkte werden im Kreuzverhältnis verwendet, das die Cayley-Klein-Metrik definiert. Lineare fraktionelle Transformationen lassen das Kreuzverhältnis unveränderlich, so dass jede lineare fraktionierte Transformation, die die Einheitsscheibe oder die oberen Halbebenen stabil lässt, eine Isometrie des metrischen Raums der hyperbolischen Ebene ist . Seit Henri Poincaré diese Modelle erklärt hat, wurden sie nach ihm benannt: das Poincaré-Scheibenmodell und das Poincaré-Halbebenenmodell . Jedes Modell hat eine Gruppe von Isometrien, die eine Untergruppe der Mobius-Gruppe ist : Die Isometriegruppe für das Scheibenmodell ist SU (1, 1), wobei die linearen fraktionellen Transformationen "speziell einheitlich" sind, und für die obere Halbebene die Isometrie Gruppe ist PSL (2, R), eine projektive lineare Gruppe linearer fraktioneller Transformationen mit realen Einträgen und einer Determinante gleich eins.

Verwendung in der höheren Mathematik

Möbius-Transformationen treten häufig in der Theorie der fortgesetzten Brüche und in der analytischen Zahlentheorie der elliptischen Kurven und modularen Formen auf , da sie die Automorphismen der oberen Halbebene unter der Wirkung der modularen Gruppe beschreibt . Es liefert auch ein kanonisches Beispiel für die Hopf-Fibration , bei der der durch die lineare fraktionierte Transformation induzierte geodätische Fluss den komplexen Projektionsraum in stabile und instabile Mannigfaltigkeiten zerlegt , wobei die Horozyklen senkrecht zur Geodäsie erscheinen. Ein Beispiel für die Fibration finden Sie unter Anosov-Fluss : In diesem Beispiel wird die Geodäten durch die fraktionierte lineare Transformation angegeben

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot i \ exp (t) = {\ frac {ai \ exp (t) + b} {ci \ exp (t) + d }}}

mit a , b , c und d real, mit . Grob gesagt wird die zentrale Mannigfaltigkeit durch die parabolischen Transformationen erzeugt , die instabile Mannigfaltigkeit durch die hyperbolischen Transformationen und die stabile Mannigfaltigkeit durch die elliptischen Transformationen. ${\ displaystyle ad-bc = 1}$

Verwendung in der Steuerungstheorie

Lineare fraktionierte Transformationen werden in der Steuerungstheorie häufig verwendet , um Beziehungsprobleme zwischen Anlage und Steuerung in der Maschinen- und Elektrotechnik zu lösen . Das allgemeine Verfahren zur Kombination linearer fraktioneller Transformationen mit dem Redheffer-Sternprodukt ermöglicht die Anwendung auf die Streutheorie allgemeiner Differentialgleichungen, einschließlich des S-Matrix- Ansatzes in der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie, der Streuung akustischer Wellen in Medien (z Thermokline und U-Boote in Ozeanen usw.) und die allgemeine Analyse von Streu- und gebundenen Zuständen in Differentialgleichungen. Hier beziehen sich die 3x3-Matrixkomponenten auf die eingehenden, gebundenen und ausgehenden Zustände. Die vielleicht einfachste beispielhafte Anwendung linearer fraktioneller Transformationen findet sich in der Analyse des gedämpften harmonischen Oszillators . Eine andere elementare Anwendung ist das Erhalten der Frobenius-Normalform , dh der Begleitmatrix eines Polynoms.

Konformes Eigentum

Die kommutativen Ringe aus geteilten komplexen Zahlen und doppelten Zahlen verbinden die gewöhnlichen komplexen Zahlen als Ringe, die Winkel und "Drehung" ausdrücken. In jedem Fall erzeugt die auf die imaginäre Achse angewendete Exponentialkarte einen Isomorphismus zwischen Ein-Parameter-Gruppen in ( A , +) und in der Gruppe von Einheiten ( U , ×):

{\ displaystyle \ exp (yj) = \ cosh y + j \ sinh y, \ quad j ^ {2} = + 1,}

{\ displaystyle \ exp (y \ epsilon) = 1 + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}

{\ displaystyle \ exp (yi) = \ cos y + i \ sin y, \ quad i ^ {2} = - 1.}

Der "Winkel" y ist ein hyperbolischer Winkel , eine Steigung oder ein Kreiswinkel gemäß dem Wirtsring.

Es wird gezeigt, dass lineare fraktionierte Transformationen unter Berücksichtigung ihrer Generatoren konforme Karten sind : multiplikative Inversion z → 1 / z und affine Transformationen z → az + b . Die Konformität kann bestätigt werden, indem gezeigt wird, dass alle Generatoren konform sind. Die Übersetzung z → z + b ist eine Änderung des Ursprungs und macht keinen Unterschied zum Winkel. Um zu sehen, dass z → az konform ist, betrachten Sie die polare Zerlegung von a und z . In jedem Fall wird der Winkel von a zu dem von z addiert, was zu einer konformen Karte führt. Schließlich ist die Inversion konform, da z → 1 / z sendet ${\ displaystyle \ exp (yb) \ mapsto \ exp (-yb), \ quad b ^ {2} = 1,0, -1.}$

Siehe auch

Verweise

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Tsurusaburo Takasu (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen Konformen, hyperbolischen Konformen und parabolischen Konformen Differentialgeometrie, 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, Link aus Project Euclid , MR 14282
Isaak Yaglom (1968) Komplexe Zahlen in der Geometrie , Seite 130 & 157, Academic Press

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