Naive Mengenlehre - Naive set theory

Dieser Artikel behandelt das mathematische Thema. Für das gleichnamige Buch siehe Naive Mengenlehre (Buch) .

Die naive Mengentheorie ist eine von mehreren Mengentheorien, die in der Diskussion der Grundlagen der Mathematik verwendet werden . Im Gegensatz zu axiomatischen Mengentheorien , die mit formaler Logik definiert werden , wird die naive Mengentheorie informell in natürlicher Sprache definiert . Es beschreibt die Aspekte mathematischer Mengen, die in der diskreten Mathematik bekannt sind (zum Beispiel Venn-Diagramme und symbolische Argumentation über ihre Boolesche Algebra ) und reicht für den alltäglichen Gebrauch mengentheoretischer Konzepte in der zeitgenössischen Mathematik aus.

Mengen sind in der Mathematik von großer Bedeutung; in modernen formalen Behandlungen werden die meisten mathematischen Objekte ( Zahlen , Beziehungen , Funktionen usw.) in Form von Mengen definiert. Die naive Mengenlehre reicht für viele Zwecke aus und dient gleichzeitig als Sprungbrett zu formelleren Behandlungen.

Methode

Eine naive Theorie im Sinne der "naiven Mengentheorie" ist eine nicht formalisierte Theorie, dh eine Theorie, die eine natürliche Sprache verwendet , um Mengen und Operationen auf Mengen zu beschreiben. Die Wörter und , oder , wenn ... dann , nicht , für manche , für alle werden wie in der gewöhnlichen Mathematik behandelt. Der Einfachheit halber herrscht die Verwendung der naiven Mengenlehre und ihres Formalismus sogar in der höheren Mathematik vor – einschließlich in formaleren Umgebungen der Mengenlehre selbst.

Die erste Entwicklung der Mengenlehre war eine naive Mengenlehre. Es wurde Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor im Rahmen seines Studiums der unendlichen Mengen geschaffen und von Gottlob Frege in seinen Grundgesetzen der Arithmetik weiterentwickelt .

Die naive Mengentheorie kann sich auf mehrere sehr unterschiedliche Begriffe beziehen. Es kann sich beziehen auf

Paradoxe

Die Annahme, dass jede Eigenschaft ohne Einschränkung zur Bildung einer Menge verwendet werden kann, führt zu Paradoxien . Ein gängiges Beispiel ist Russells Paradox : Es gibt keine Menge, die aus "allen Mengen besteht, die sich selbst nicht enthalten". Daher müssen konsistente Systeme der naiven Mengenlehre einige Einschränkungen der Prinzipien enthalten, die zur Bildung von Mengen verwendet werden können.

Kantors Theorie

Einige glauben, dass die Mengenlehre von Georg Cantor nicht wirklich in die mengentheoretischen Paradoxien verwickelt war (siehe Frápolli 1991). Eine Schwierigkeit, dies mit Sicherheit zu bestimmen, besteht darin, dass Cantor keine Axiomatisierung seines Systems geliefert hat. Bis 1899 kannte Cantor einige der Paradoxien, die aus der uneingeschränkten Interpretation seiner Theorie folgten, zum Beispiel das Cantor-Paradoxon und das Burali-Forti-Paradoxon , und glaubte nicht, dass sie seine Theorie diskreditierten. Cantors Paradoxon kann tatsächlich aus der obigen (falschen) Annahme abgeleitet werden – dass jede Eigenschaft P ( x ) verwendet werden kann, um eine Menge zu bilden – indem für P ( x ) " x ist eine Kardinalzahl " verwendet wird. Frege axiomatisierte ausdrücklich eine Theorie, in der eine formalisierte Version der naiven Mengenlehre interpretiert werden kann, und es ist diese formale Theorie, die Bertrand Russell bei der Präsentation seines Paradoxons tatsächlich angesprochen hat, nicht unbedingt eine Theorie Cantors – der, wie erwähnt, mehrere kannte Paradoxien - vermutlich im Sinn gehabt.

Axiomatische Theorien

Als Reaktion auf diese frühen Versuche, Mengen zu verstehen, wurde die axiomatische Mengenlehre entwickelt, mit dem Ziel, genau zu bestimmen, welche Operationen wann erlaubt waren.

Konsistenz

Eine naive Mengenlehre ist nicht unbedingt inkonsistent, wenn sie die zu berücksichtigenden Mengen richtig angibt. Dies kann mit Hilfe von Definitionen geschehen, die implizite Axiome sind. Es ist möglich, alle Axiome explizit anzugeben, wie im Fall der Naiven Mengenlehre von Halmos , die eigentlich eine informelle Darstellung der üblichen axiomatischen Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ist . Es ist insofern "naiv", als die Sprache und die Notationen denen der gewöhnlichen informellen Mathematik entsprechen und sich nicht mit der Konsistenz oder Vollständigkeit des Axiomensystems befassen.

Ebenso ist eine axiomatische Mengenlehre nicht unbedingt konsistent: nicht unbedingt frei von Paradoxien. Aus Gödels Unvollständigkeitssätzen folgt, dass ein hinreichend kompliziertes logisches System erster Ordnung (das die meisten gängigen axiomatischen Mengentheorien umfasst) nicht innerhalb der Theorie selbst konsistent bewiesen werden kann – selbst wenn es tatsächlich konsistent ist. Es wird jedoch allgemein angenommen, dass die üblichen axiomatischen Systeme konsistent sind; durch ihre Axiome schließen sie einige Paradoxe aus, wie das Russellsche Paradox . Basierend auf dem Satz von Gödel ist es einfach nicht bekannt – und kann es nie sein – ob es in diesen Theorien oder in irgendeiner Mengentheorie erster Ordnung überhaupt keine Paradoxien gibt .

Der Begriff naive Mengenlehre wird auch heute noch in einiger Literatur verwendet, um sich auf die von Frege und Cantor untersuchten Mengentheorien zu beziehen, anstatt auf die informellen Gegenstücke der modernen axiomatischen Mengenlehre.

Dienstprogramm

Die Wahl zwischen einem axiomatischen Ansatz und anderen Ansätzen ist weitgehend eine Frage der Bequemlichkeit. In der alltäglichen Mathematik mag die informelle Verwendung der axiomatischen Mengenlehre die beste Wahl sein. Verweise auf bestimmte Axiome kommen dann typischerweise nur dann vor, wenn es von der Tradition verlangt wird, zB wird das Auswahlaxiom oft erwähnt, wenn es verwendet wird. Ebenso erfolgen formelle Nachweise nur, wenn dies durch außergewöhnliche Umstände gerechtfertigt ist. Diese informelle Verwendung der axiomatischen Mengenlehre kann (je nach Notation) genau das Aussehen einer naiven Mengenlehre haben, wie unten skizziert. Es ist erheblich einfacher zu lesen und zu schreiben (in der Formulierung der meisten Aussagen, Beweise und Diskussionslinien) und weniger fehleranfällig als ein streng formaler Ansatz.

Sets, Mitgliedschaft und Gleichberechtigung

In der naiven Mengenlehre wird eine Menge als eine wohldefinierte Ansammlung von Objekten beschrieben. Diese Objekte werden als Elemente oder Mitglieder der Menge bezeichnet. Objekte können alles sein: Zahlen, Personen, andere Mengen usw. Zum Beispiel ist 4 ein Mitglied der Menge aller geraden ganzen Zahlen . Offensichtlich ist die Menge der geraden Zahlen unendlich groß; es ist nicht erforderlich, dass eine Menge endlich ist.

Passage mit der originalen Satzdefinition von Georg Cantor

Die Definition von Mengen geht auf Georg Cantor zurück . Er schrieb in seinem Artikel Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre von 1915 :

“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor

„Eine Menge ist eine Zusammenfassung zu einem Ganzen von bestimmten, unterschiedlichen Objekten unserer Wahrnehmung oder unseres Denkens – die Elemente der Menge genannt werden.“ – Georg Cantor

Erste Verwendung des Symbols ϵ in der Arbeit Arithmetices principia nova methodo exposita von Giuseppe Peano .

Hinweis zur Konsistenz

Aus dieser Definition folgt nicht , wie Mengen gebildet werden können und welche Operationen auf Mengen wieder eine Menge erzeugen. Der Begriff "wohldefiniert" in "wohldefinierte Sammlung von Objekten" kann an sich nicht die Konsistenz und Eindeutigkeit dessen garantieren, was genau eine Menge ausmacht und was nicht. Der Versuch, dies zu erreichen, wäre der Bereich der axiomatischen Mengenlehre oder der axiomatischen Klassentheorie .

Das Problem in diesem Zusammenhang mit informell formulierten Mengentheorien, die nicht von einer bestimmten axiomatischen Theorie abgeleitet sind (und impliziert), besteht darin, dass es mehrere sehr unterschiedliche formalisierte Versionen geben kann, die sowohl unterschiedliche Mengen als auch unterschiedliche Regeln dafür haben, wie neue Mengen sein können gebildet, die alle der ursprünglichen informellen Definition entsprechen. Die wörtliche Definition von Cantor lässt beispielsweise eine beträchtliche Freiheit bei der Definition einer Menge zu. Andererseits ist es unwahrscheinlich, dass Cantor sich besonders für Mengen mit Katzen und Hunden interessiert hat, sondern nur für Mengen mit rein mathematischen Objekten. Ein Beispiel für eine solche Klasse von Mengen könnte das von Neumann-Universum sein . Aber auch bei der Festlegung der betrachteten Mengenklasse ist nicht immer klar, welche Regeln zur Mengenbildung erlaubt sind, ohne Paradoxien einzuführen.

Um die Diskussion unten zu fixieren, sollte der Begriff "wohldefiniert" stattdessen als Absicht interpretiert werden , entweder mit impliziten oder expliziten Regeln (Axiome oder Definitionen), um Inkonsistenzen auszuschließen. Der Zweck besteht darin, die oft tiefgreifenden und schwierigen Fragen der Konsistenz aus dem normalerweise einfacheren Kontext herauszuhalten. Ein explizites Ausschließen aller denkbaren Inkonsistenzen (Paradoxien) kann für eine axiomatische Mengenlehre aufgrund des zweiten Unvollständigkeitssatzes von Gödel ohnehin nicht erreicht werden, so dass dies den Nutzen der naiven Mengenlehre gegenüber der axiomatischen Mengenlehre im Einfachen überhaupt nicht beeinträchtigt unten betrachteten Kontexte. Es vereinfacht lediglich die Diskussion. Konsistenz gilt fortan als selbstverständlich, sofern nicht ausdrücklich erwähnt.

Mitgliedschaft

Wenn x Mitglied einer Menge A ist , dann heißt es auch, dass x zu A gehört oder dass x in A ist . Dies wird mit x  ∈  A bezeichnet . Das Symbol ∈ ist eine Ableitung vom griechischen Kleinbuchstaben epsilon , "ε", der 1889 von Giuseppe Peano eingeführt wurde und ist der erste Buchstabe des Wortes ἐστί (bedeutet "ist"). Das Symbol ∉ wird oft verwendet, um x  ∉  A zu schreiben , was bedeutet "x ist nicht in A".

Gleichberechtigung

Zwei Mengen A und B werden als gleich definiert, wenn sie genau die gleichen Elemente haben, dh wenn jedes Element von A ein Element von B und jedes Element von B ein Element von A ist . (Siehe Extensionalitätsaxiom .) Somit ist eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt; die Beschreibung ist unerheblich. Zum Beispiel ist die Menge mit den Elementen 2, 3 und 5 gleich der Menge aller Primzahlen kleiner 6. Sind die Mengen A und B gleich, wird dies symbolisch als A  =  B bezeichnet (wie üblich).

Leeres Set

Die leere Menge , oft als Ø und manchmal bezeichnet , ist eine Menge ohne Mitglieder. Da eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt wird, kann es nur eine leere Menge geben. (Siehe Axiom der leeren Menge .) Obwohl die leere Menge keine Mitglieder hat, kann sie Mitglied anderer Mengen sein. Also Ø ≠ {Ø}, weil erstere keine Glieder hat und letztere ein Glied. In der Mathematik können die einzigen Mengen, mit denen man sich zu befassen braucht, allein aus der leeren Menge gebildet werden.

Sets angeben

Der einfachste Weg , um einen Satz zu beschreiben , ist seine Elemente zwischen geschweiften Klammern zur Liste (bekannt als einen Satz definiert , extensions ). Somit bezeichnet {1, 2} die Menge, deren einzige Elemente 1 und 2 sind . (Siehe Axiom der Paarung .) Beachten Sie die folgenden Punkte:

  • Die Reihenfolge der Elemente ist unerheblich; zum Beispiel {1, 2} = {2, 1} .
  • Wiederholung ( Multiplizität ) von Elementen ist irrelevant; zum Beispiel {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} .

(Dies sind Konsequenzen aus der Definition von Gleichheit im vorherigen Abschnitt.)

Diese Notation kann informell missbraucht werden, indem man etwas wie {dogs} sagt, um die Menge aller Hunde anzugeben, aber dieses Beispiel würde von Mathematikern normalerweise als "die Menge mit dem einzelnen Element Hunde " gelesen .

Ein extremes (aber korrektes) Beispiel für diese Notation ist {} , was die leere Menge bezeichnet.

Die Notation { x  : P ( x )} oder manchmal { x | P ( x )} , wird verwendet, um die Menge zu bezeichnen, die alle Objekte enthält, für die die Bedingung P gilt (bekannt als eine Menge intensional definieren ). Zum Beispiel bezeichnet { x  : x ∈ R } die Menge der reellen Zahlen , { x  : x hat blonde Haare} bezeichnet die Menge von allem mit blonden Haaren.

Diese Notation wird Set-Builder-Notation (oder „ Mengenverständnis “, insbesondere im Kontext der funktionalen Programmierung ) genannt. Einige Varianten der Set-Builder-Notation sind:

  • { x ∈ A  : P ( x )} bezeichnet die Menge aller x , die bereits Mitglieder von A sind, so dass die Bedingung P für x gilt . Wenn beispielsweise Z die Menge der ganzen Zahlen ist , dann ist { x ∈ Z  : x ist gerade} die Menge aller geraden ganzen Zahlen. (Siehe Axiom der Spezifikation .)
  • { F ( x ) : x ∈ A } bezeichnet die Menge aller Objekte , die man erhält , indem man Mitglieder der Menge A in die Formel F einsetzt . Zum Beispiel ist {2 x  : x ∈ Z } wieder die Menge aller geraden ganzen Zahlen. (Siehe Ersetzungsaxiom .)
  • { F ( x ) : P ( x )} ist die allgemeinste Form der Set-Builder-Notation. Zum Beispiel ist { x 's owner : x is a dog} die Menge aller Hundebesitzer.

Teilmengen

Gegeben zwei Mengen A und B ist A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist . Insbesondere ist jede Menge B eine Teilmenge ihrer selbst; eine Teilmenge von B , die nicht gleich B ist, heißt echte Teilmenge .

Wenn A eine Teilmenge von ist B , dann kann man auch sagen , dass B a Superset von A , daß A ist in enthalten B , oder daß B enthält A . In Symbolen A  ⊆  B bedeutet , daß A eine Teilmenge von B und B  ⊇  A bedeutet , dass B eine Obermenge ist A . Einige Autoren verwenden die Symbole ⊂ und ⊃ für Teilmengen, andere verwenden diese Symbole nur für richtige Teilmengen. Der Übersichtlichkeit halber kann man die Symbole ⊊ und ⊋ explizit verwenden, um Ungleichheit anzuzeigen.

Zur Veranschaulichung sei R die Menge der reellen Zahlen, sei Z die Menge der ganzen Zahlen, sei O die Menge der ungeraden ganzen Zahlen und sei P die Menge der aktuellen oder ehemaligen US-Präsidenten . Dann ist O eine Teilmenge von Z , Z ist eine Teilmenge von R und (daher) ist O eine Teilmenge von R , wobei in allen Fällen die Teilmenge sogar als echte Teilmenge gelesen werden kann . Nicht alle Sets sind auf diese Weise vergleichbar. Zum Beispiel ist es weder der Fall, dass R eine Teilmenge von P ist, noch dass P eine Teilmenge von R ist .

Daraus folgt unmittelbar aus der Definition der Gleichheit von Sätzen oben dass bei zwei Gruppen A und B , A  =  B , wenn und nur wenn A  ⊆  B und B  ⊆  A . Tatsächlich wird dies oft als Definition von Gleichheit angegeben. Wenn man versucht zu beweisen, dass zwei Mengen gleich sind, versucht man normalerweise , diese beiden Inklusionen zu zeigen. Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge (die Aussage, dass alle Elemente der leeren Menge auch Mitglieder einer beliebigen Menge A sind, ist völlig wahr ).

Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge A heißt Potenzmenge von A und wird mit oder bezeichnet ; die „ P “ ist manchmal in einer Skript - Schriftart. Wenn der Satz A hat n Elemente, dann müssen Elemente.

Universelle Sets und absolute Ergänzungen

In bestimmten Kontexten kann man alle betrachteten Mengen als Teilmengen einer gegebenen universellen Menge betrachten . Wenn man zum Beispiel Eigenschaften der reellen Zahlen R (und Teilmengen von R ) untersucht, kann R als die universelle Menge genommen werden. Eine echte universelle Menge ist in der Standard-Mengentheorie nicht enthalten (siehe Paradoxe unten), aber in einigen Nicht-Standard-Mengentheorien.

Gegeben eine universelle Menge U und eine Teilmenge A von U ist das Komplement von A (in U ) definiert als

A C  : = { x  ∈  U  : x  ∉  A }.

Mit anderen Worten, A C (" A-Komplement "; manchmal einfach A' , " A-Prime ") ist die Menge aller Mitglieder von U, die nicht Mitglieder von A sind . Wenn also R , Z und O wie im Abschnitt über Teilmengen definiert sind, wenn Z die universelle Menge ist, dann ist O C die Menge der geraden ganzen Zahlen, während wenn R die universelle Menge ist, dann ist O C die Menge aller reellen Zahlen die entweder gerade ganze Zahlen oder gar keine ganzen Zahlen sind.

Vereinigungen, Schnittmengen und relative Komplemente

Gegeben zwei Mengen A und B ist ihre Vereinigung die Menge, die aus allen Objekten besteht, die Elemente von A oder von B oder von beiden sind (siehe Vereinigungsaxiom ). Es wird mit A  ∪  B bezeichnet .

Der Durchschnitt von A und B ist die Menge aller Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen . Es wird mit A  ∩  B bezeichnet .

Schließlich ist das relative Komplement von B relativ zu A , auch bekannt als mengentheoretische Differenz von A und B , die Menge aller Objekte, die zu A gehören, aber nicht zu B . Es wird als A  \  B oder A  −  B geschrieben .

Symbolisch sind dies jeweils

A  ∪ B: = { x  : ( x  ∈  A )  oder ( x  ∈  B )};
A  ∩  B  : = { x  : ( x  ∈  A )  und ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : x  ∈  B } = { x  ∈  B  : x  ∈  A };
A  \  B  : = { x  : ( x  ∈  A ) und  nicht ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : not ( x  ∈  B )}.

Die Menge B muss keine Teilmenge von A sein, damit A  \  B sinnvoll ist; dies ist die Differenz zwischen dem relativen Komplement und dem absoluten Komplement ( A C = U  \  A ) aus dem vorherigen Abschnitt.

Um diese Ideen zu veranschaulichen, sei A die Gruppe der Linkshänder und B die Gruppe der Personen mit blonden Haaren. Dann ist A  ∩  B die Menge aller linkshändigen blonden Menschen, während A  ∪  B die Menge aller Menschen ist, die linkshändig oder blond oder beides sind. A  \  B hingegen ist die Menge aller Menschen, die Linkshänder, aber nicht blond sind, während B  \  A die Menge aller Menschen ist, die blondes Haar haben, aber keine Linkshänder sind.

Nun sei E die Menge aller Menschen und sei F die Menge aller Lebewesen, die über 1000 Jahre alt sind. Was ist E  ∩  F in diesem Fall? Kein lebender Mensch ist über 1000 Jahre alt , also muss E  ∩  F die leere Menge {} sein.

Für jede Menge A ist die Potenzmenge eine Boolesche Algebra unter den Operationen Vereinigung und Schnitt.

Bestellte Paare und kartesische Produkte

Intuitiv ist ein geordnetes Paar einfach eine Sammlung von zwei Objekten, von denen eines als erstes Element und das andere als zweites Element unterschieden werden kann , und mit der grundlegenden Eigenschaft, dass zwei geordnete Paare genau dann gleich sind, wenn ihre ersten Elemente . sind gleich und ihre zweiten Elemente sind gleich.

Formal kann ein geordnetes Paar mit der ersten Koordinate a und der zweiten Koordinate b , normalerweise mit ( a , b ) bezeichnet, als Menge {{ a }, { a , b }} definiert werden.

Daraus folgt, dass zwei geordnete Paare ( a , b ) und ( c , d ) genau dann gleich sind, wenn a  =  c und b  =  d .

Alternativ kann man sich ein geordnetes Paar formal als Menge {a,b} mit einer Gesamtordnung vorstellen .

(Die Notation ( a , b ) wird auch verwendet, um ein offenes Intervall auf dem reellen Zahlenstrahl zu bezeichnen , aber der Kontext sollte klar machen, welche Bedeutung gemeint ist. Andernfalls kann die Notation ] a , b [ verwendet werden, um das offene . zu bezeichnen Intervall, wohingegen ( a , b ) für das geordnete Paar verwendet wird).

Wenn A und B Mengen sind, dann ist das kartesische Produkt (oder einfach Produkt ) definiert als:

A  × B  = {( a , b ): a ist in A und b ist in B }.

Das heißt, A  ×  B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erste Koordinate ein Element von A und deren zweite Koordinate ein Element von B ist .

Diese Definition kann auf eine Menge A  ×  B  ×  C geordneter Tripel und allgemeiner auf Mengen geordneter n-Tupel für jede positive ganze Zahl n erweitert werden . Es ist sogar möglich, unendliche kartesische Produkte zu definieren , dies erfordert jedoch eine genauere Definition des Produkts.

Kartesische Produkte wurden zuerst von René Descartes im Kontext der analytischen Geometrie entwickelt . Wenn R die Menge aller reellen Zahlen bezeichnet , dann repräsentiert R 2  :=  R  ×  R die euklidische Ebene und R 3  :=  R  ×  R  ×  R repräsentiert den dreidimensionalen euklidischen Raum .

Einige wichtige Sets

Es gibt einige allgegenwärtige Mengen, für die die Notation fast universell ist. Einige davon sind unten aufgeführt. In der Liste beziehen sich a , b und c auf natürliche Zahlen und r und s sind reelle Zahlen .

  1. Zum Zählen werden natürliche Zahlen verwendet. Eine Tafel fett Hauptstadt N ( ) stellt oft diesen Satz.
  2. Ganze Zahlen erscheinen als Lösungen für x in Gleichungen wie x + a = b . Ein fettgedrucktes Z ( ) an der Tafel steht oft für diese Menge (von den deutschen Zahlen , was Zahlen bedeutet ).
  3. Rationale Zahlen erscheinen als Lösungen von Gleichungen wie a + bx = c . Ein fettgedrucktes Q ( ) an der Tafel repräsentiert oft diese Menge (für Quotient , weil R für die Menge der reellen Zahlen verwendet wird).
  4. Algebraische Zahlen erscheinen als Lösungen von Polynomgleichungen (mit ganzzahligen Koeffizienten) und können Radikale (einschließlich ) und bestimmte andere irrationale Zahlen beinhalten . Ein Q mit einem Überstrich ( ) steht oft für diese Menge. Der Überstrich bezeichnet die Operation der algebraischen Schließung .
  5. Reelle Zahlen stellen die "reelle Linie" dar und umfassen alle Zahlen, die durch rationale Zahlen angenähert werden können. Diese Zahlen können rational oder algebraisch sein, können aber auch transzendente Zahlen sein , die nicht als Lösungen von Polynomgleichungen mit rationalen Koeffizienten auftreten können. Ein fettgedrucktes R ( ) an der Tafel steht oft für diese Menge.
  6. Komplexe Zahlen sind Summen einer reellen und einer imaginären Zahl: . Hier kann entweder oder (oder beide) Null sein; somit sind die Menge der reellen Zahlen und die Menge der streng imaginären Zahlen Teilmengen der Menge der komplexen Zahlen, die einen algebraischen Abschluss für die Menge der reellen Zahlen bilden, was bedeutet, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in mindestens eine Wurzel in dieser Menge hat . Ein fettgedrucktes C ( ) an der Tafel steht oft für diese Menge. Beachten Sie, dass, da eine Zahl mit einem Punkt in der Ebene identifiziert werden kann, im Grunde "das Gleiche" wie das kartesische Produkt ("das Gleiche") ist, was bedeutet, dass jeder Punkt in einem einen eindeutigen Punkt in dem anderen bestimmt und für das Ergebnis von Berechnungen, Es spielt keine Rolle, welche für die Berechnung verwendet wird, solange die Multiplikationsregel für geeignet ist ).

Paradoxe in der frühen Mengenlehre

Hauptartikel: Paradox

Das uneingeschränkte Bildungsprinzip von Mengen, das als Axiomenschema des uneingeschränkten Verständnisses bezeichnet wird ,

Wenn P eine Eigenschaft ist, dann existiert eine Menge Y = { x  : P ( x )} ( false ),

ist die Quelle mehrerer früh auftretender Paradoxien:

  • Y = { x  : x ist eine Ordinalzahl} führte im Jahr 1897 zum Burali-Forti-Paradox , der ersten veröffentlichten Antinomie .
  • Y = { x  : x ist ein Kardinal} produzierte1897 Cantors Paradox .
  • Y = { x  : {} = {}} ergab Cantors zweite Antinomie im Jahr 1899. Hier gilt die Eigenschaft P für alle x , was auch immer x sein mag, alsowäre Y eine universelle Menge , die alles enthält.
  • Y = { x  : x ∉ x } , dh die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Elemente enthalten, gab1902 Russells Paradox .

Wenn das Axiomenschema des uneingeschränkten Verstehens zum Axiomenschema der Spezifikation oder des Axiomenschemas der Trennung abgeschwächt wird ,

Ist P eine Eigenschaft, dann existiert für jede Menge X eine Menge Y = { x ∈ X  : P ( x )} ,

dann verschwinden alle oben genannten Paradoxe. Es gibt eine Folgerung. Mit dem Axiomschema der Trennung als Axiom der Theorie folgt als Theorem der Theorie:

Die Menge aller Mengen existiert nicht .

Oder, spektakulärer (Halmos' Phrasierung): Es gibt kein Universum . Beweis : Angenommen, es existiert und nennen es U . Jetzt gilt das Axiom - Schema der Trennung mit X = U und P ( x ) Verwendung x ∉ x . Dies führt wieder zu Russells Paradoxon. Daher kann U in dieser Theorie nicht existieren.

Zu den obigen Konstruktionen gehört die Bildung der Menge

  • Y = { x  : ( x ∈ x ) → {} ≠ {}} , wobei die der Implikation folgende Aussage sicherlich falsch ist. Aus der Definition von Y folgt unterVerwendung der üblichen Inferenzregeln (und einiger nachträglicher Überlegungen beim Lesen des Beweises im unten verlinkten Artikel), dass sowohl Y ∈ Y → {} ≠ {} als auch Y ∈ Y gilt, also {} ≠ { } . Das ist Currys Paradoxon .

Problematisch ist (vielleicht überraschend) nicht die Möglichkeit von x ∈ x . Es ist wieder das Axiom Schema des uneingeschränkten Verständnis erlaubt ( x ∈ x ) → {} ≠ {} für P ( x ) . Mit dem Aussonderungsaxiom statt uneingeschränkten Verständnis der Abschluss Y ∈ Y nicht halten und somit {} ≠ {} ist nicht eine logische Konsequenz.

Nichtsdestotrotz wird die Möglichkeit von x ∈ x oft explizit oder, zB in ZFC, implizit eliminiert, indem man verlangt, dass das Regularitätsaxiom gilt. Eine Folge davon ist

Es gibt keine Menge X für die X ∈ X ,

oder mit anderen Worten, keine Menge ist ein Element ihrer selbst.

Das Axiom-Schema der Trennung ist einfach zu schwach (während uneingeschränktes Verständnis ein sehr starkes Axiom ist – zu stark für die Mengenlehre), um die Mengentheorie mit ihren oben skizzierten üblichen Operationen und Konstruktionen zu entwickeln. Auch das Regelmäßigkeitsaxiom ist restriktiv. Daher wird man zur Formulierung anderer Axiome geführt, um die Existenz von genügend Mengen zu garantieren, um eine Mengentheorie zu bilden. Einige davon wurden oben informell beschrieben und viele andere sind möglich. Nicht alle denkbaren Axiome lassen sich frei zu konsistenten Theorien kombinieren. Zum Beispiel ist das Wahlaxiom von ZFC unvereinbar mit dem Vorstellbaren jede Menge von reellen Zahlen ist Lebesgue messbar . Ersteres impliziert, dass letzteres falsch ist.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links