Grundlagen der Mathematik - Foundations of mathematics

Grundlagen der Mathematik ist das Studium der philosophischen und logischen und/oder algorithmischen Grundlagen der Mathematik oder im weiteren Sinne die mathematische Untersuchung dessen, was den philosophischen Theorien über das Wesen der Mathematik zugrunde liegt. In diesem letzteren Sinne erweist sich die Unterscheidung zwischen Grundlagen der Mathematik und Philosophie der Mathematik als recht vage. Grundlagen der Mathematik können als das Studium der grundlegenden mathematischen Konzepte (Menge, Funktion, geometrische Figur, Zahl usw.) und wie sie Hierarchien komplexerer Strukturen und Konzepte bilden, insbesondere der grundlegend wichtigen Strukturen, die die Sprache der Mathematik bilden, verstanden werden (Formeln, Theorien und ihre Modelle , die Formeln, Definitionen, Beweisen, Algorithmen usw. eine Bedeutung verleihen) auch metamathematische Konzepte genannt , mit Blick auf die philosophischen Aspekte und die Einheit der Mathematik. Die Suche nach Grundlagen der Mathematik ist eine zentrale Frage der Mathematikphilosophie; der abstrakte Charakter mathematischer Objekte stellt besondere philosophische Herausforderungen.

Die Grundlagen der Mathematik als Ganzes zielt nicht darauf ab, die Grundlagen jedes mathematischen Themas zu enthalten. Im Allgemeinen beziehen sich die Grundlagen eines Studienfachs auf eine mehr oder weniger systematische Analyse seiner grundlegendsten oder grundlegendsten Konzepte, seiner konzeptuellen Einheit und seiner natürlichen Ordnung oder Hierarchie von Konzepten, die helfen können, es mit dem Rest der Menschheit zu verbinden Wissen. Die Entwicklung, Entstehung und Klärung der Grundlagen kann spät in der Geschichte eines Feldes erfolgen und wird möglicherweise nicht von allen als der interessanteste Teil angesehen.

Mathematik spielte immer eine besondere Rolle im wissenschaftlichen Denken, diente seit der Antike als Modell für Wahrheit und Strenge für rationale Untersuchungen und lieferte Werkzeuge oder sogar eine Grundlage für andere Wissenschaften (insbesondere Physik). Mathematik viele Entwicklungen in Richtung höherer Abstraktionen im 19. Jahrhundert brachten neue Herausforderungen und Paradoxa, für eine tiefere und systematische Prüfung der Art und Kriterien des Drängen mathematischer Wahrheit , sowie eine Vereinheitlichung der verschiedenen Zweige der Mathematik zu einem stimmigen Ganzen.

Die systematische Suche nach den Grundlagen der Mathematik begann Ende des 19. Jahrhunderts und bildete eine neue mathematische Disziplin namens Mathematische Logik , die später starke Verbindungen zur theoretischen Informatik aufwies . Es ging durch eine Reihe von Krisen mit paradoxen Ergebnissen, bis die Entdeckungen im 20. Jahrhundert als ein großen und zusammenhängenden Körper des mathematischen Wissens mit verschiedenen Aspekten oder Komponenten (stabilisierten Mengenlehre , Modelltheorie , Beweistheorie , etc.), des detaillierten Eigenschaften und mögliche Varianten sind noch ein aktives Forschungsfeld. Seine hohe technische Raffinesse inspirierte viele Philosophen zu der Vermutung, dass es als Modell oder Muster für die Grundlagen anderer Wissenschaften dienen kann.

Historischer Zusammenhang

Antike griechische Mathematik

Während sich die Praxis der Mathematik zuvor in anderen Zivilisationen entwickelt hatte, zeigte sich bei den alten Griechen ein besonderes Interesse an ihren theoretischen und grundlegenden Aspekten deutlich.

Frühe griechische Philosophen stritten darüber, was grundlegender sei, Arithmetik oder Geometrie. Zenon von Elea (490 – ca. 430 v. Chr.) produzierte vier Paradoxien, die die Unmöglichkeit der Veränderung zu zeigen scheinen. Die pythagoräische Schule der Mathematik bestand ursprünglich darauf, dass nur natürliche und rationale Zahlen existieren. Die Entdeckung der Irrationalität von √ 2 , dem Verhältnis der Diagonale eines Quadrats zu seiner Seite (um das 5. Jahrhundert v. Chr.), war für sie ein Schock, den sie nur zögerlich hinnahmen. Die Diskrepanz zwischen rationals und Realen wurde schließlich durch aufgelöst Eudoxos von Knidos (408-355 BC), ein Schüler von Plato , der den Vergleich von zwei irrationalen Verhältnissen auf Vergleiche von Multiples der Größen beteiligt reduziert. Seine Methode nahm die des Dedekind-Schnitts in der modernen Definition der reellen Zahlen von Richard Dedekind (1831-1916) vorweg .

In der Analytik , Aristoteles (384-322 vor Christus) durch die vorge axiomatische Methode für ein Feld des Wissens logisch durch primitive Konzepte zu organisieren, Axiome, Postulate, Definitionen und Theoreme. Aristoteles hat dafür einen Großteil seiner Beispiele aus der Arithmetik und der Geometrie entnommen. Diese Methode erreichte ihren Höhepunkt mit Euklid ‚s Elements (300 vor Christus), eine Abhandlung über die Mathematik mit sehr hohen Standards der Strenge strukturiert: Euclid rechtfertigt jeden Satz durch eine Demonstration in Form von Ketten von Schlüssen (obwohl sie streng nicht immer konform nach aristotelischen Vorlagen). Die syllogistische Logik des Aristoteles, zusammen mit der axiomatischen Methode, die durch Euklids Elemente veranschaulicht wird , werden als wissenschaftliche Errungenschaften des antiken Griechenlands anerkannt.

Platonismus als traditionelle Philosophie der Mathematik

Ab Ende des 19. Jahrhunderts verbreitete sich unter praktizierenden Mathematikern eine platonistische Auffassung der Mathematik.

Die Begriffe oder, wie Platoniker sagen , die Gegenstände der Mathematik sind abstrakt und der alltäglichen Wahrnehmungserfahrung fern: Geometrische Figuren werden als Idealitäten verstanden, die sich von effektiven Zeichnungen und Formen von Gegenständen unterscheiden lassen, und Zahlen werden nicht mit dem Zählen von Konkretem verwechselt Objekte. Ihre Existenz und Natur stellen besondere philosophische Herausforderungen: Wie unterscheiden sich mathematische Objekte von ihrer konkreten Darstellung? Befinden sie sich in ihrer Repräsentation oder in unseren Köpfen oder woanders? Wie können wir sie kennen?

Die antiken griechischen Philosophen nahmen solche Fragen sehr ernst. In der Tat wurden viele ihrer allgemeinen philosophischen Diskussionen unter umfassender Bezugnahme auf Geometrie und Arithmetik geführt. Plato (424/423 BC - 348/347 BC) besteht darauf , dass mathematische Objekte, wie andere platonische Ideen (Formen oder Essenzen), muss vollkommen abstrakt sein und eine separate, nicht-materielle Art von Existenz haben, in einer Welt der mathematischen Objekte unabhängig des Menschen. Er glaubte, dass die Wahrheiten über diese Objekte auch unabhängig vom menschlichen Verstand existieren, aber von Menschen entdeckt werden. Im Meno Platon behauptet der Lehrer Sokrates, dass es möglich ist, diese Wahrheit durch einen Prozess zu erfahren, der dem Abrufen von Erinnerungen ähnelt.

Über dem Tor zu Platons Akademie erschien eine berühmte Inschrift: "Niemand, der die Geometrie nicht kennt, soll hier eintreten". Auf diese Weise zeigte Platon seine hohe Meinung von der Geometrie. Er betrachtete die Geometrie wegen ihres abstrakten Charakters als "das erste Wesentliche in der Ausbildung der Philosophen".

Diese Philosophie des platonistischen mathematischen Realismus wird von vielen Mathematikern geteilt. Es kann argumentiert werden, dass der Platonismus irgendwie eine notwendige Annahme ist, die jeder mathematischen Arbeit zugrunde liegt.

Aus dieser Sicht haben die Naturgesetze und die Gesetze der Mathematik einen ähnlichen Status, und die Wirksamkeit ist nicht mehr zumutbar. Nicht unsere Axiome, sondern die ganz reale Welt der mathematischen Objekte bildet die Grundlage.

Aristoteles hat diese Ansicht in seiner Metaphysik seziert und verworfen . Diese Fragen liefern viel Treibstoff für philosophische Analysen und Debatten.

Mittelalter und Renaissance

Euklids Elemente waren über 2000 Jahre lang eine vollkommen solide Grundlage für die Mathematik, da ihre Methodik der rationalen Erforschung Mathematiker, Philosophen und Wissenschaftler bis weit ins 19. Jahrhundert hinein leitete.

Im Mittelalter gab es einen Streit um den ontologischen Status der Universalien (platonische Ideen): Der Realismus behauptete ihre Existenz unabhängig von der Wahrnehmung; Konzeptualismus behauptete ihre Existenz nur innerhalb des Verstandes; Nominalismus verneinte auch, Universalien nur als Namen von Sammlungen einzelner Objekte zu sehen (nach älteren Spekulationen, dass es sich um Wörter, „ logoi “) handelt.

René Descartes veröffentlichte La Géométrie (1637), das darauf abzielte, Geometrie mittels Koordinatensystemen auf Algebra zu reduzieren und der Algebra eine grundlegendere Rolle zu geben (während die Griechen die Arithmetik in die Geometrie einbetteten, indem sie ganze Zahlen mit gleichmäßig verteilten Punkten auf einer Linie identifizierten). Descartes' Buch wurde nach 1649 berühmt und ebnete den Weg zur Infinitesimalrechnung.

Isaac Newton (1642–1727) in England und Leibniz (1646–1716) in Deutschland haben unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung auf der Grundlage heuristischer Methoden entwickelt, die sehr effizient, aber rigoros ohne strenge Begründungen sind. Leibniz beschrieb Infinitesimale sogar explizit als tatsächlich unendlich kleine Zahlen (nahe Null). Leibniz arbeitete auch an der formalen Logik, aber die meisten seiner Schriften dazu blieben bis 1903 unveröffentlicht.

Der protestantische Philosoph George Berkeley (1685–1753) schrieb in seiner Kampagne gegen die religiösen Implikationen der Newtonschen Mechanik eine Broschüre über den Mangel an rationalen Rechtfertigungen der Infinitesimalrechnung: „Sie sind weder endliche Größen noch unendlich kleine Größen, noch nichts“ ... Dürfen wir sie nicht die Geister der abgeschiedenen Quanten nennen?"

Dann entwickelte sich die Mathematik sehr schnell und erfolgreich in physikalischen Anwendungen, aber mit wenig Aufmerksamkeit für logische Grundlagen.

19. Jahrhundert

Im 19. Jahrhundert wurde die Mathematik zunehmend abstrakt. Bedenken hinsichtlich logischer Lücken und Inkonsistenzen in verschiedenen Bereichen führten zur Entwicklung axiomatischer Systeme.

Echte Analyse

Cauchy (1789–1857) begann das Projekt, die Theoreme der Infinitesimalrechnung auf rigorose Weise zu formulieren und zu beweisen , und lehnte das von früheren Autoren ausgenutzte heuristische Prinzip der Allgemeinheit der Algebra ab . In seinem Werk Cours d'Analyse von 1821 definiert er unendlich kleine Mengen als abnehmende Folgen, die gegen 0 konvergieren, die er dann zur Definition der Stetigkeit verwendet. Aber er hat seinen Begriff der Konvergenz nicht formalisiert.

Die moderne (ε, δ)-Definition von Grenz- und stetigen Funktionen wurde erstmals 1817 von Bozen entwickelt , blieb aber relativ unbekannt. Es liefert eine rigorose Grundlage der Infinitesimalrechnung basierend auf der Menge der reellen Zahlen, die wohl die Zeno-Paradoxe und Berkeleys Argumente auflöst.

Mathematiker wie Karl Weierstrass (1815–1897) entdeckten pathologische Funktionen wie stetige, nirgendwo differenzierbare Funktionen . Bisherige Vorstellungen von einer Funktion als Rechenregel oder einem glatten Graphen waren nicht mehr ausreichend. Weierstrass begann, die Arithmetisierung der Analysis zu befürworten , um die Analysis unter Verwendung der Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu axiomatisieren.

1858 schlug Dedekind eine Definition der reellen Zahlen als Schnitte rationaler Zahlen vor. Diese Reduktion reeller Zahlen und stetiger Funktionen auf rationale Zahlen und damit auf natürliche Zahlen wurde später von Cantor in seine Mengenlehre integriert und von Hilbert und Bernays in der Arithmetik zweiter Ordnung axiomatisiert .

Gruppentheorie

Zum ersten Mal wurden die Grenzen der Mathematik ausgelotet. Niels Henrik Abel (1802–1829), ein Norweger, und Évariste Galois , (1811–1832), ein Franzose, untersuchten die Lösungen verschiedener Polynomgleichungen und bewiesen, dass es keine allgemeine algebraische Lösung für Gleichungen mit einem höheren Grad als vier gibt ( Abel –Ruffini-Satz ). Mit diesen Konzepten bewies Pierre Wantzel (1837), dass Lineal und Zirkel allein keinen beliebigen Winkel dreiteilen oder einen Würfel nicht verdoppeln können . Im Jahr 1882 zeigte Lindemann aufbauend auf der Arbeit von Hermite , dass eine Quadratur des Kreises mit Lineal und Zirkel (Konstruktion eines Quadrats mit der gleichen Fläche wie ein gegebener Kreis) ebenfalls unmöglich war, indem er bewies, dass π eine transzendente Zahl ist . Mathematiker hatten seit der Zeit der alten Griechen vergeblich versucht, all diese Probleme zu lösen.

Die Arbeiten von Abel und Galois ebneten den Weg für die Entwicklungen der Gruppentheorie (die später zum Studium der Symmetrie in der Physik und anderen Gebieten verwendet werden sollte) und der abstrakten Algebra . Konzepte von Vektorräumen entstanden aus der Konzeption der baryzentrischen Koordinaten von Möbius im Jahr 1827 bis zur modernen Definition von Vektorräumen und linearen Karten von Peano im Jahr 1888. Geometrie war nicht mehr auf drei Dimensionen beschränkt. Diese Konzepte verallgemeinerten keine Zahlen, sondern kombinierten Begriffe von Funktionen und Mengen, die noch nicht formalisiert waren, und brachen damit von vertrauten mathematischen Objekten ab.

Nichteuklidische Geometrien

Nach vielen gescheiterten Versuchen, das Parallelpostulat aus anderen Axiomen abzuleiten , führte ihn das Studium der noch hypothetischen hyperbolischen Geometrie durch Johann Heinrich Lambert (1728–1777) dazu, die hyperbolischen Funktionen einzuführen und die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks zu berechnen (wobei die Summe von Winkel kleiner als 180°). Dann stellte der russische Mathematiker Nikolai Lobatschewski (1792–1856) 1826 (und veröffentlichte 1829) die Kohärenz dieser Geometrie (also die Unabhängigkeit des Parallelpostulats ) fest, parallel mit dem ungarischen Mathematiker János Bolyai (1802–1860) 1832 und mit Gauss . Später im 19. Jahrhundert entwickelte der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann die elliptische Geometrie , eine weitere nichteuklidische Geometrie, bei der keine Parallele gefunden werden kann und die Winkelsumme in einem Dreieck mehr als 180 ° beträgt. Es erwies sich als konsistent, indem man Punkt als ein Paar antipodischer Punkte auf einer festen Kugel und Linie als einen Großkreis auf der Kugel definierte. Zu dieser Zeit bestand die Hauptmethode zum Beweis der Konsistenz einer Menge von Axiomen darin, ein Modell dafür bereitzustellen .

Projektive Geometrie

Eine der Fallen in einem deduktiven System ist das zirkuläre Denken , ein Problem, das der projektiven Geometrie zu begegnen schien, bis es von Karl von Staudt gelöst wurde . Wie von russischen Historikern erklärt:

In der Mitte des 19. Jahrhunderts gab es eine erbitterte Kontroverse zwischen den Befürwortern synthetischer und analytischer Methoden in der projektiven Geometrie, wobei beide Seiten einander vorwarfen, projektive und metrische Konzepte zu vermischen. Tatsächlich wurde der Grundbegriff der synthetischen Darstellung der projektiven Geometrie, das Kreuzverhältnis von vier Punkten einer Linie, durch die Betrachtung der Intervalllängen eingeführt.

Der rein geometrische Ansatz von Staudt basierte auf dem vollständigen Viereck , um die Beziehung der projektiven harmonischen Konjugierten auszudrücken . Dann schuf er mit seiner Algebra der Würfe ein Mittel, um die vertrauten numerischen Eigenschaften auszudrücken . Englisch Sprachfassungen dieses Verfahren der Eigenschaften eines von herzuleiten Feld können entweder in dem Buch von zu finden Oswald Veblen und John Young, projektive Geometrie (1938), oder in jüngerer Zeit in John Stillwell ‚s vier Säulen der Geometrie (2005). Stillwell schreibt auf Seite 120

... projektive Geometrie ist in gewissem Sinne einfacher als Algebra, weil wir nur fünf geometrische Axiome verwenden, um die neun Feld-Axiome abzuleiten.

Die Algebra der Würfe wird allgemein als ein Merkmal von Kreuzverhältnissen angesehen, da sich die Schüler normalerweise auf Zahlen verlassen, ohne sich um deren Grundlage zu kümmern. Kreuzverhältnisberechnungen verwenden jedoch metrische Merkmale der Geometrie, Merkmale, die von Puristen nicht zugelassen werden. Zum Beispiel schrieb Coxeter 1961 eine Einführung in die Geometrie, ohne das Kreuzverhältnis zu erwähnen.

Boolesche Algebra und Logik

Versuche einer formalen Behandlung der Mathematik begannen mit Leibniz und Lambert (1728–1777) und setzten sich mit Werken von Algebraisten wie George Peacock (1791–1858) fort. Systematische mathematische Behandlungen der Logik kamen mit dem britischen Mathematiker George Boole (1847), der eine Algebra entwickelte, die sich bald zu der heutigen Booleschen Algebra entwickelte , in der die einzigen Zahlen 0 und 1 und logische Kombinationen (Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Negation) waren ) sind Operationen ähnlich der Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen. Außerdem veröffentlichte De Morgan 1847 seine Gesetze. Damit wurde die Logik zu einem Zweig der Mathematik. Die Boolesche Algebra ist der Ausgangspunkt der mathematischen Logik und hat wichtige Anwendungen in der Informatik .

Charles Sanders Peirce baute auf der Arbeit von Boole auf, um ein logisches System für Beziehungen und Quantoren zu entwickeln , das er von 1870 bis 1885 in mehreren Aufsätzen veröffentlichte.

Eine eigenständige Entwicklung der Logik mit Quantoren präsentierte der deutsche Mathematiker Gottlob Frege (1848–1925) in seiner 1879 erschienenen Begriffsschrift , einem Werk, das allgemein als Wendepunkt in der Geschichte der Logik gilt. Er deckte Mängel in der Logik des Aristoteles auf und wies auf die drei erwarteten Eigenschaften einer mathematischen Theorie hin

1. Konsistenz : Unmöglichkeit, widersprüchliche Aussagen zu beweisen.
2. Vollständigkeit : Jede Aussage ist entweder beweisbar oder widerlegbar (dh ihre Negation ist beweisbar).
3. Entscheidbarkeit : Es gibt ein Entscheidungsverfahren, um jede Aussage in der Theorie zu überprüfen.

Anschließend zeigte er in den Grundgesetzen der Arithmetik, wie die Arithmetik in seiner neuen Logik formalisiert werden kann.

Freges Werk wurde um die Jahrhundertwende von Bertrand Russell populär gemacht . Aber Freges zweidimensionale Notation hatte keinen Erfolg. Beliebte Notationen waren (x) für universelle und (∃x) für existenzielle Quantoren, die von Giuseppe Peano und William Ernest Johnson stammen, bis das ∀-Symbol 1935 von Gerhard Gentzen eingeführt und in den 1960er Jahren kanonisch wurde.

Von 1890 bis 1905 Ernst Schröder veröffentlichte Vorlesungen über Algebra der Logik sterben in drei Bänden. Dieses Werk fasste das Werk von Boole, De Morgan und Peirce zusammen und erweiterte es und war ein umfassender Hinweis auf die symbolische Logik, wie sie am Ende des 19. Jahrhunderts verstanden wurde.

Peano-Arithmetik

Die Formalisierung der Arithmetik (die Theorie der natürlichen Zahlen ) als Axiomatik mit Peirce 1881 und setzte sich mit begann Richard Dedekind und Giuseppe Peano in 1888. Das war noch ein zweiter Ordnung axiomatization (Induktion in Bezug auf beliebige Teilmengen ausdrücken, also mit eine implizite Verwendung der Mengenlehre ) als Anliegen, Theorien in der Logik erster Ordnung auszudrücken, wurden noch nicht verstanden. In Dedekinds Arbeit erscheint dieser Ansatz als vollständige Charakterisierung natürlicher Zahlen und Bereitstellung rekursiver Definitionen von Addition und Multiplikation aus der Nachfolgefunktion und der mathematischen Induktion .

Gründungskrise

Die Grundlagenkrise der Mathematik (zu Deutsch Grundlagenkrise der Mathematik ) war der Begriff des frühen 20. Jahrhunderts für die Suche nach den richtigen Grundlagen der Mathematik.

Mehrere Schulen der Philosophie der Mathematik lief in Schwierigkeiten einer nach dem anderen im 20. Jahrhundert, als die Annahme , dass die Mathematik jeder Grundlage hatte, der konnte konsequent innerhalb der Mathematik erklärt sich stark durch die Entdeckung der verschiedenen in Frage gestellt wurde Paradoxien (wie Russells Paradoxon ) .

Der Name „Paradox“ darf nicht mit Widerspruch verwechselt werden . Ein Widerspruch in einer formalen Theorie ist ein formaler Beweis einer Absurdität innerhalb der Theorie (z. B. 2 + 2 = 5 ), der zeigt, dass diese Theorie inkonsistent ist und abgelehnt werden muss. Aber ein Paradox kann entweder ein überraschendes, aber wahres Ergebnis in einer gegebenen formalen Theorie sein oder ein informelles Argument, das zu einem Widerspruch führt, so dass eine Kandidatentheorie, wenn sie formalisiert werden soll, mindestens einen ihrer Schritte verbieten muss; In diesem Fall besteht das Problem darin, eine zufriedenstellende Theorie ohne Widerspruch zu finden. Beide Bedeutungen können zutreffen, wenn die formalisierte Version des Arguments den Beweis einer überraschenden Wahrheit darstellt. Zum Beispiel kann Russells Paradox ausgedrückt werden als "es gibt keine Menge aller Mengen" (außer in einigen marginalen axiomatischen Mengentheorien).

Verschiedene Denkschulen standen sich gegenüber. Die führende Schule war die des formalistischen Ansatzes, von dem David Hilbert der wichtigste Befürworter war, der in dem sogenannten Hilbert-Programm gipfelte , das der Meinung war, die Mathematik auf einer kleinen Basis eines logischen Systems zu begründen, das sich mit metamathematischen finitistischen Mitteln als solide erwiesen hat . Hauptgegner war die intuitionistische Schule unter der Leitung von LEJ Brouwer , die den Formalismus als bedeutungsloses Spiel mit Symbolen entschieden verwarf. Der Kampf war erbittert. 1920 gelang es Hilbert, Brouwer, den er als Bedrohung für die Mathematik ansah, aus der Redaktion der Mathematischen Annalen , der damals führenden mathematischen Zeitschrift , zu entfernen .

Philosophische Ansichten

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts standen sich drei mathematisch-philosophische Schulen gegenüber: Formalismus, Intuitionismus und Logik. Die Zweite Konferenz zur Erkenntnistheorie der exakten Wissenschaften, die 1930 in Königsberg stattfand, gab diesen drei Schulen Raum.

Formalismus

Es wurde behauptet, dass Formalisten wie David Hilbert (1862–1943) der Meinung sind, dass Mathematik nur eine Sprache und eine Reihe von Spielen ist. Tatsächlich benutzte er 1927 in seiner Antwort auf die Kritik von LEJ Brouwer die Worte "Formelspiel" :

Und inwiefern war das so ermöglichte Formelspiel erfolgreich? Dieses Formelspiel ermöglicht es uns, den gesamten Gedankeninhalt der Wissenschaft der Mathematik einheitlich auszudrücken und so zu entwickeln, dass gleichzeitig die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Aussagen und Tatsachen deutlich werden ... Die Formel Das Spiel, das Brouwer so missbilligt, hat neben seinem mathematischen Wert eine wichtige allgemeine philosophische Bedeutung. Denn dieses Formelspiel wird nach bestimmten Regeln durchgeführt, in denen sich die Technik unseres Denkens ausdrückt. Diese Regeln bilden ein geschlossenes System, das entdeckt und definitiv festgelegt werden kann.

So besteht Hilbert darauf, dass Mathematik kein willkürliches Spiel mit willkürlichen Regeln ist; vielmehr muss es damit übereinstimmen, wie unser Denken und dann unser Sprechen und Schreiben vor sich gehen.

Wir sprechen hier in keiner Weise von Willkür. Mathematik ist nicht wie ein Spiel, dessen Aufgaben durch willkürlich festgelegte Regeln bestimmt werden. Es ist vielmehr ein Begriffssystem mit innerer Notwendigkeit, das nur so und keineswegs anders sein kann.

Die grundlegende Philosophie des Formalismus, wie sie von David Hilbert veranschaulicht wurde , ist eine Antwort auf die Paradoxien der Mengenlehre und basiert auf formaler Logik . Nahezu alle mathematischen Sätze lassen sich heute als Sätze der Mengenlehre formulieren. Die Wahrheit einer mathematischen Aussage wird in dieser Sicht dadurch repräsentiert, dass die Aussage mit den Regeln der formalen Logik aus den Axiomen der Mengenlehre abgeleitet werden kann .

Die bloße Verwendung des Formalismus allein erklärt einige Fragen nicht: warum wir die von uns verwendeten Axiome und nicht einige andere verwenden sollten, warum wir die logischen Regeln anwenden sollten, die wir verwenden und nicht einige andere, warum "wahre" mathematische Aussagen (z Gesetze der Arithmetik ) scheinen wahr zu sein, und so weiter. Hermann Weyl würde Hilbert genau diese Fragen stellen:

Welche "Wahrheit" oder Objektivität dieser theoretischen Konstruktion der Welt, die weit über das Gegebene hinausdrängt, zugeschrieben werden kann, ist ein tiefgreifendes philosophisches Problem. Sie ist eng verbunden mit der weiteren Frage: Was treibt uns an, gerade das von Hilbert entwickelte besondere Axiomensystem zugrunde zu legen? Konsistenz ist zwar eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Diese Frage können wir vorerst wohl nicht beantworten...

In einigen Fällen können diese Fragen durch das Studium formaler Theorien in Disziplinen wie Reverse Mathematics und Computational Complexity Theory ausreichend beantwortet werden . Wie Weyl bemerkte, laufen auch formale logische Systeme Gefahr der Inkonsistenz ; in der Peano-Arithmetik ist dies wohl bereits mit mehreren Konsistenzbeweisen geklärt , aber es gibt Diskussionen darüber, ob sie ausreichend endlich sind , um sinnvoll zu sein. Der zweite Unvollständigkeitssatz von Gödel stellt fest, dass logische Systeme der Arithmetik niemals einen gültigen Beweis ihrer eigenen Konsistenz enthalten können . Hilbert wollte beweisen, dass ein logisches System S konsistent ist, basierend auf Prinzipien P , die nur einen kleinen Teil von S ausmachen . Aber Gödel hat bewiesen, dass die Prinzipien P nicht einmal beweisen können, dass P konsistent ist, geschweige denn S .

Intuitionismus

Intuitionisten wie LEJ Brouwer (1882–1966) glauben , dass die Mathematik eine Schöpfung des menschlichen Geistes ist. Zahlen sind wie Märchenfiguren nur mentale Wesen, die nicht existieren würden, wenn es nie einen menschlichen Verstand gäbe, der über sie nachdenkt.

Die grundlegende Philosophie des Intuitionismus oder Konstruktivismus , wie sie im Extremfall von Brouwer und Stephen Kleene veranschaulicht wird , erfordert, dass Beweise "konstruktiv" sind – die Existenz eines Objekts muss nachgewiesen werden, anstatt aus einer Demonstration der Unmöglichkeit seiner Nicht- Existenz. Als Folge davon ist beispielsweise die als reductio ad absurdum bekannte Beweisform suspekt.

Einige moderne Theorien der Mathematikphilosophie bestreiten die Existenz von Grundlagen im ursprünglichen Sinne. Einige Theorien konzentrieren sich tendenziell auf die mathematische Praxis und zielen darauf ab, die tatsächliche Arbeitsweise von Mathematikern als soziale Gruppe zu beschreiben und zu analysieren . Andere versuchen, eine Kognitionswissenschaft der Mathematik zu schaffen , die sich auf die menschliche Kognition als Ursprung der Zuverlässigkeit der Mathematik bei der Anwendung auf die reale Welt konzentriert. Diese Theorien würden vorschlagen, Fundamente nur im menschlichen Denken zu finden, nicht in einem objektiven äußeren Konstrukt. Die Angelegenheit bleibt umstritten.

Logik

Logik ist eine Denkschule und ein Forschungsprogramm in der Philosophie der Mathematik, die auf der These basiert, dass die Mathematik eine Erweiterung einer Logik ist oder dass ein Teil oder die gesamte Mathematik in einem geeigneten formalen System abgeleitet werden kann, dessen Axiome und Inferenzregeln sind "logischer" Natur. Bertrand Russell und Alfred North Whitehead vertraten diese von Gottlob Frege initiierte und von Richard Dedekind beeinflusste Theorie .

Mengentheoretischer Platonismus

Viele Forscher der axiomatischen Mengenlehre haben sich dem sogenannten mengentheoretischen Platonismus verschrieben, der von Kurt Gödel veranschaulicht wird .

Mehrere Mengentheoretiker folgten diesem Ansatz und suchten aktiv nach Axiomen, die aus heuristischen Gründen als wahr angesehen werden können und die die Kontinuumshypothese entscheiden würden . Viele große Kardinalaxiome wurden untersucht, aber die Hypothese blieb immer unabhängig von ihnen, und es gilt heute als unwahrscheinlich, dass CH durch ein neues großes Kardinalaxiom gelöst werden kann. Andere Arten von Axiomen wurden in Betracht gezogen, aber keiner von ihnen hat bisher einen Konsens über die Kontinuumshypothese erreicht. Neuere Arbeiten von Hamkins schlagen eine flexiblere Alternative vor: ein mengentheoretisches Multiversum, das einen freien Durchgang zwischen mengentheoretischen Universen ermöglicht, die die Kontinuumshypothese erfüllen, und anderen Universen, die dies nicht tun.

Unentbehrliches Argument für Realismus

Dieses Argument von Willard Quine und Hilary Putnam sagt (in Putnams kürzeren Worten):

... die Quantifizierung über mathematische Einheiten ist für die Wissenschaft unverzichtbar ... daher sollten wir eine solche Quantifizierung akzeptieren; aber dies verpflichtet uns, die Existenz der fraglichen mathematischen Entitäten zu akzeptieren.

Putnam war jedoch kein Platoniker.

Grober Realismus

Nur wenige Mathematiker beschäftigen sich in der Regel täglich auf Arbeitsbasis mit Logikismus, Formalismus oder einer anderen philosophischen Position. Ihr Hauptanliegen ist vielmehr, dass das mathematische Unternehmen als Ganzes immer produktiv bleibt. Typischerweise sehen sie dies dadurch sichergestellt, dass sie aufgeschlossen, praktisch und beschäftigt bleiben; als potenziell bedroht, zu ideologisch, fanatisch reduktionistisch oder faul zu werden.

Eine solche Ansicht wurde auch von einigen bekannten Physikern geäußert.

Zum Beispiel sagte der Physik-Nobelpreisträger Richard Feynman

Die Leute sagen zu mir: "Suchen Sie nach den ultimativen Gesetzen der Physik?" Nein, bin ich nicht ... Wenn sich herausstellt, dass es ein einfaches ultimatives Gesetz gibt, das alles erklärt, sei es so – das wäre sehr schön zu entdecken. Wenn sich herausstellt, dass es wie eine Zwiebel mit Millionen von Schichten ist ... dann ist es so. Aber so oder so gibt es die Natur und sie wird so herauskommen, wie sie ist. Wenn wir also nachforschen, sollten wir nicht vorher entscheiden, wonach wir suchen, nur um mehr darüber herauszufinden.

Und Steven Weinberg :

Die Einsichten der Philosophen haben Physikern gelegentlich zugutegekommen, aber im Allgemeinen in negativer Weise – indem sie sie vor den Vorurteilen anderer Philosophen geschützt haben. ... ohne eine Anleitung von unseren Vorurteilen könnte man gar nichts tun. Nur haben uns philosophische Prinzipien im Allgemeinen nicht die richtigen Vorurteile geliefert.

Weinberg glaubte, dass jede Unentscheidbarkeit in der Mathematik, wie die Kontinuumshypothese, trotz des Unvollständigkeitssatzes möglicherweise gelöst werden könnte, indem geeignete weitere Axiome gefunden werden, die der Mengenlehre hinzugefügt werden können.

Philosophische Konsequenzen des Gödelschen Vollständigkeitssatzes

Der Vollständigkeitssatz von Gödel stellt in der Logik erster Ordnung eine Äquivalenz zwischen der formalen Beweisbarkeit einer Formel und ihrer Wahrheit in allen möglichen Modellen her. Genau genommen liefert sie für jede konsistente Theorie erster Ordnung eine "explizite Konstruktion" eines durch die Theorie beschriebenen Modells; dieses Modell wird abzählbar sein, wenn die Sprache der Theorie abzählbar ist. Diese "explizite Konstruktion" ist jedoch nicht algorithmisch. Es basiert auf einem iterativen Prozess der Vervollständigung der Theorie, wobei jeder Schritt der Iteration darin besteht, den Axiomen eine Formel hinzuzufügen, wenn die Theorie dadurch konsistent bleibt; aber diese Konsistenzfrage ist nur halbentscheidbar (ein Algorithmus ist verfügbar, um jeden Widerspruch zu finden, aber wenn es keinen gibt, kann diese Konsistenztatsache unbeweisbar bleiben).

Dies kann als eine Art Rechtfertigung für die platonistische Ansicht angesehen werden, dass die Objekte unserer mathematischen Theorien real sind. Genauer gesagt zeigt es, dass die bloße Annahme der Existenz der Menge der natürlichen Zahlen als Gesamtheit (eine tatsächliche Unendlichkeit) ausreicht, um die Existenz eines Modells (einer Welt von Objekten) jeder konsistenten Theorie zu implizieren. Es bleiben jedoch einige Schwierigkeiten:

• Für jede konsistente Theorie ergibt dies normalerweise nicht nur eine Welt von Objekten, sondern eine Unendlichkeit möglicher Welten, die die Theorie gleichermaßen beschreiben könnte, mit einer möglichen Vielfalt von Wahrheiten dazwischen.
• Im Fall der Mengenlehre ähnelt keines der durch diese Konstruktion erhaltenen Modelle dem beabsichtigten Modell, da sie abzählbar sind, während die Mengenlehre beabsichtigt, unzählbare Unendlichkeiten zu beschreiben. Ähnliche Bemerkungen können in vielen anderen Fällen gemacht werden. Zum Beispiel liefern solche Konstruktionen bei Theorien, die Arithmetik beinhalten, im Allgemeinen Modelle, die nicht standardmäßige Zahlen enthalten, es sei denn, die Konstruktionsmethode wurde speziell entwickelt, um sie zu vermeiden.
• Da es allen konsistenten Theorien ohne Unterschied Modelle gibt, gibt es keinen Grund, ein Axiom zu akzeptieren oder abzulehnen, solange die Theorie konsistent bleibt, sondern betrachtet alle konsistenten axiomatischen Theorien als sich auf gleichbestehende Welten beziehend. Sie gibt keinen Hinweis darauf, welches axiomatische System als Grundlage der Mathematik bevorzugt werden sollte.
• Da Konsistenzansprüche in der Regel nicht beweisbar sind, bleiben sie Glaubenssache oder nicht strenge Begründungen. Daher erfordert die Existenz von Modellen, wie sie durch den Vollständigkeitssatz gegeben ist, in der Tat zwei philosophische Annahmen: die tatsächliche Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und die Konsistenz der Theorie.

Eine weitere Konsequenz des Vollständigkeitssatzes ist, dass er die Vorstellung von Infinitesimalen als tatsächlich unendlich kleine von Null verschiedene Größen rechtfertigt, basierend auf der Existenz von Nicht-Standardmodellen, die genauso legitim sind wie Standardmodelle. Diese Idee wurde von Abraham Robinson in die Theorie der Nichtstandardanalyse formalisiert .

Mehr Paradoxe

Im Folgenden sind einige bemerkenswerte Ergebnisse in der Metamathematik aufgeführt. Die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ist die am häufigsten untersuchte Axiomatisierung der Mengenlehre. Es wird mit ZFC abgekürzt, wenn es das Auswahlaxiom enthält, und ZF, wenn das Auswahlaxiom ausgeschlossen ist.

• 1920: Thoralf Skolem korrigiert Leopold Löwenheims Beweis des sogenannten abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Theorems , was zu Skolems 1922 diskutiertem Paradox führt , nämlich der Existenz abzählbarer Modelle von ZF, die unendliche Kardinalitäten zu einer relativen Eigenschaft macht.
• 1922: Beweis von Abraham Fraenkel, dass das Auswahlaxiom nicht aus den Axiomen der Zermelo-Mengenlehre mit Urelementen bewiesen werden kann .
• 1931: Veröffentlichung von Gödels Unvollständigkeitssätzen , die zeigt, dass wesentliche Aspekte von Hilberts Programm nicht erreicht werden konnten. Es zeigte, wie man für jedes hinreichend mächtige und konsistente rekursiv axiomatisierbare System – wie es notwendig ist, um die elementare Theorie der Arithmetik über die (unendliche) Menge der natürlichen Zahlen zu axiomatisieren – eine Aussage konstruieren, die formal ihre eigene Unbeweisbarkeit ausdrückt, die er dann als äquivalent bewies zum Anspruch auf Konsistenz der Theorie; so dass (angenommen, dass die Konsistenz wahr ist) das System nicht leistungsfähig genug ist, um seine eigene Konsistenz zu beweisen, geschweige denn, dass ein einfacheres System die Aufgabe erledigen könnte. Damit wurde deutlich, dass der Begriff der mathematischen Wahrheit nicht vollständig bestimmt und auf ein rein formales System reduziert werden kann, wie es in Hilberts Programm vorgesehen ist. Dies versetzte dem Herzen von Hilberts Programm einen endgültigen Schlag, der Hoffnung, dass Konsistenz mit finitistischen Mitteln hergestellt werden könnte (es wurde nie genau klargestellt, welche Axiome die "finitistischen" waren, aber auf welches axiomatische System auch immer Bezug genommen wurde, es war ein "schwächeres" System als das System, dessen Konsistenz es beweisen sollte).
• 1936: Alfred Tarski bewies sein Wahrheits- undefinierbarkeitstheorem .
• 1936: Alan Turing bewies, dass ein allgemeiner Algorithmus zur Lösung des Halteproblems für alle möglichen Programm-Eingabe-Paare nicht existieren kann.
• 1938: Gödel bewies die Konsistenz des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese .
• 1936–1937: Alonzo Church bzw. Alan Turing veröffentlichten unabhängige Artikel, die zeigen, dass eine allgemeine Lösung des Entscheidungsproblems unmöglich ist: Die universelle Gültigkeit von Aussagen in der Logik erster Ordnung ist nicht entscheidbar (sie ist nur halbentscheidbar, wie durch die Vollständigkeitssatz ).
• 1955: Pjotr ​​Novikov zeigte, dass es eine endlich präsentierte Gruppe G gibt, so dass das Wortproblem für G unentscheidbar ist.
• 1963: Paul Cohen zeigte, dass die Kontinuumshypothese von ZFC nicht beweisbar ist . Cohens Beweis entwickelte die Methode des Erzwingens , die heute ein wichtiges Werkzeug zur Feststellung von Unabhängigkeitsergebnissen in der Mengenlehre ist.
• 1964: Inspiriert von der fundamentalen Zufälligkeit in der Physik beginnt Gregory Chaitin mit der Veröffentlichung von Ergebnissen zur algorithmischen Informationstheorie (Messung von Unvollständigkeit und Zufälligkeit in der Mathematik).
• 1966: Paul Cohen zeigte, dass das Auswahlaxiom bei ZF auch ohne Urelemente unbeweisbar ist .
• 1970: Hilberts zehntes Problem erweist sich als unlösbar: Es gibt keine rekursive Lösung, um zu entscheiden, ob eine diophantische Gleichung (multivariable polynomiale Gleichung) eine Lösung in ganzen Zahlen hat.
• 1971: Suslins Problem erweist sich als unabhängig von ZFC.

Zur Lösung der Krise

Ab 1935 begann die Bourbaki- Gruppe französischer Mathematiker mit der Veröffentlichung einer Reihe von Büchern, um viele Bereiche der Mathematik auf der neuen Grundlage der Mengenlehre zu formalisieren.

Die intuitive Schule zog nicht viele Anhänger an, und erst mit Bishops Werk 1967 wurde die konstruktive Mathematik auf eine solidere Grundlage gestellt.

Man kann meinen, dass Hilberts Programm teilweise abgeschlossen ist , so dass die Krise im Wesentlichen gelöst ist und uns mit geringeren Anforderungen befriedigt als Hilberts ursprüngliche Ambitionen. Seine Ambitionen wurden in einer Zeit ausgedrückt, in der nichts klar war: Es war nicht klar, ob die Mathematik überhaupt eine rigorose Grundlage haben konnte.

Es gibt viele mögliche Varianten der Mengenlehre, die sich in der Konsistenzstärke unterscheiden, wobei stärkere Versionen (die höhere Arten von Unendlichkeiten postulieren) formale Beweise für die Konsistenz schwächerer Versionen enthalten, aber keine einen formalen Beweis für ihre eigene Konsistenz. Das einzige, was wir also nicht haben, ist ein formaler Konsistenzbeweis einer beliebigen Version der Mengenlehre, die wir bevorzugen, wie z. B. ZF.

In der Praxis arbeiten die meisten Mathematiker entweder nicht mit axiomatischen Systemen oder zweifeln nicht an der Konsistenz von ZFC , im Allgemeinen ihrem bevorzugten axiomatischen System. In den meisten mathematischen Verfahren, wie sie praktiziert werden, spielten die Unvollständigkeit und Paradoxien der zugrunde liegenden formalen Theorien ohnehin nie eine Rolle, und in den Zweigen, in denen sie dies tun oder deren Formalisierungsversuche Gefahr laufen, widersprüchliche Theorien zu bilden (wie Logik und Kategorie Theorie), können sie vorsichtig behandelt werden.

Die Entwicklung der Kategorientheorie in der Mitte des 20. Jahrhunderts zeigte die Nützlichkeit Satz Theorien die Existenz von größeren Klassen zu gewährleisten , als dies ZFC, wie von Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre oder Tarski-Grothen Mengenlehre , wenn auch , dass in sehr viele Fällen ist die Verwendung großer Kardinalsaxiome oder Grothendieck-Universen formal eliminierbar.

Ein Ziel des Reverse-Mathematik- Programms ist es, zu identifizieren, ob es Bereiche der „Kernmathematik“ gibt, in denen Grundlagenfragen erneut eine Krise provozieren können.

Siehe auch

• Mathematische Logik
• Brouwer-Hilbert-Kontroverse
• Kirche-Turing-These
• Kontroverse um Cantors Theorie
• Erkenntnistheorie
• Euklids Elemente
• Hilberts Probleme
• Implementierung der Mathematik in die Mengenlehre
• Lügner-Paradoxon
• Neue Stiftungen
• Philosophie der Mathematik
• Principia Mathematica
• Quasi-Empirismus in der Mathematik
• Mathematisches Denken von Charles Peirce

Anmerkungen

Verweise

• Avigad, Jeremy (2003) Zahlentheorie und elementare Arithmetik , Philosophia Mathematica Vol. 11, S. 257–284
• Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition , Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN  0-486-69609-X (pbk.) vgl. §9.5 Philosophies of Mathematics S. 266–271. Eves listet die drei mit kurzen Beschreibungen auf, denen eine kurze Einführung vorangestellt ist.
• Goodman, ND (1979), " Mathematik als objektive Wissenschaft ", in Tymoczko (Hrsg., 1986).
• Hart, WD (Hrsg., 1996), The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, Oxford, UK.
• Hersh, R. (1979), "Einige Vorschläge zur Wiederbelebung der Philosophie der Mathematik", in (Tymoczko 1986).
• Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Übersetzt, "The New Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis , DC Heath and Company.
• Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Einführung in die Meta-Mathematik (Zehnter Eindruck 1991 Hrsg.). Amsterdam NY: Nordholland-Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9.

In Kapitel III Eine Kritik des mathematischen Denkens, §11. Die Paradoxien , Kleene diskutiert Intuitionismus und Formalismus eingehend. Im weiteren Verlauf des Buches behandelt und vergleicht er sowohl formalistische (klassische) als auch intuitionistische Logiken, wobei der Schwerpunkt auf ersterem liegt. Außergewöhnliches Schreiben eines außergewöhnlichen Mathematikers.

• Mancosu, P. (Hrsg., 1998), Von Hilbert bis Brouwer. Die Debatte über die Grundlagen der Mathematik in den 1920er Jahren , Oxford University Press, Oxford, UK.
• Putnam, Hilary (1967), "Mathematik ohne Grundlagen", Journal of Philosophy 64/1, 5–22. Nachdruck, S. 168–184 in WD Hart (Hrsg., 1996).
• —, "Was ist mathematische Wahrheit?", in Tymoczko (Hrsg., 1986).
• Sudac, Olivier (April 2001). "Der Primzahlensatz ist PRA-beweisbar" . Theoretische Informatik . 257 (1–2): 185–239. doi : 10.1016/S0304-3975(00)00116-X .
• Troelstra, AS (ohne Datum, aber später als 1990), "Eine Geschichte des Konstruktivismus im 20. Jahrhundert" , Eine ausführliche Umfrage für Spezialisten: §1 Einführung, §2 Finitismus & §2.2 Aktualismus, §3 Prädikativismus und Semi-Intuitionismus, § 4 Brouwerscher Intuitionismus, §5 Intuitionistische Logik und Arithmetik, §6 Intuitionistische Analysis und stärkere Theorien, §7 Konstruktive rekursive Mathematik, §8 Bischofskonstruktivismus, §9 Schlussbemerkungen. Ungefähr 80 Referenzen.
• Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (Hrsg., 1986).
• —,(Hrsg., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics , 1986. Überarbeitete Auflage, 1998.
• van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL: http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
• Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Übersetzt, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
• Wilder, Raymond L. (1952), Einführung in die Grundlagen der Mathematik , John Wiley and Sons, New York, NY.

Externe Links

• Medien zu Grundlagen der Mathematik bei Wikimedia Commons
• "Philosophie der Mathematik" . Internet-Enzyklopädie der Philosophie .
• Logik und Mathematik
• Grundlagen der Mathematik: Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft , 31. Mai 2000, 8 Seiten.
• Ein Jahrhundert der Kontroverse über die Grundlagen der Mathematik von Gregory Chaitin. arXiv : chao-dyn/9909001