Tensorprodukt - Tensor product

In der Mathematik ist das Tensorprodukt zweier Vektorräume V und W (über dem gleichen Körper ) ein Vektorraum, den man sich als den Raum aller Tensoren vorstellen kann, die aus Vektoren ihrer konstituierenden Räume mit einer zusätzlichen Operation gebildet werden können, die als Verallgemeinerung und Abstraktion des äußeren Produkts betrachtet werden . Aufgrund der Verbindung mit Tensoren, die die Elemente eines Tensorprodukts sind, finden Tensorprodukte in vielen Anwendungsbereichen Verwendung, einschließlich in der Physik und im Ingenieurwesen, obwohl die unten beschriebene vollständige theoretische Mechanik dort möglicherweise nicht allgemein zitiert wird. Zum Beispiel in${\displaystyle V\otimes W}$ Allgemeine Relativitätstheorie , das Gravitationsfeld wird durch den metrischen Tensor beschrieben , der ein Feld (im Sinne der Physik) von Tensoren ist, einer an jedem Punkt der Raumzeit- Mannigfaltigkeit , und jeder davon lebt im Tensor-Eigenprodukt von Tangentialräume an seinem Aufenthaltspunkt auf der Mannigfaltigkeit (eine solche Ansammlung von Tensorprodukten, die an einen anderen Raum gebunden sind, wird Tensorbündel genannt ). ${\displaystyle T_{x}M}$

Tensoren in endlichen Dimensionen und das äußere Produkt

Das Konzept des Tensorprodukts verallgemeinert die Idee der Bildung von Tensoren aus Vektoren unter Verwendung des äußeren Produkts, einer Operation, die in endlichdimensionalen Vektorräumen mit Matrizen definiert werden kann : zwei Vektoren gegeben und in Komponenten geschrieben, dh ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle\mathbf{w}\in W}$

und

ihr äußeres Produkt oder Kronecker-Produkt ist durch die Matrix gegeben ${\displaystyle n\mal m}$

oder, in Bezug auf die Elemente, ist die -te Komponente ${\displaystyle ij}$

Die Matrix so gebildete entspricht natürlich zu einem Tensor , wo , wie beispielsweise einen verstandenen multi funktionellen auf , indem sie es mit sandwichartig Matrizenmultiplikation zwischen einem Vektor und seinem dualen oder Transponieren: ${\displaystyle T}$${\displaystyle V^{*}\times W^{*},}$

Es ist wichtig zu beachten, dass der Tensor, wie geschrieben, zwei duale Vektoren verwendet – dies ist ein wichtiger Punkt, der später behandelt wird. Im Fall endlicher Dimensionen gibt es keinen starken Unterschied zwischen einem Raum und seinem Dual, aber in unendlichen Dimensionen ist dies von Bedeutung, und außerdem ist es wichtig, den regulären vs hier entwickelt zu werden, entspricht zu Recht anderen Sinnen, in denen sie betrachtet werden, etwa im Sinne von Transformationen, die in der Physik üblich sind.

Die so konstruierten Tensoren erzeugen selbst einen Vektorraum, wenn wir sie in natürlicher komponentenweiser Weise addieren und skalieren, und tatsächlich können alle multilinearen Funktionale des angegebenen Typs als eine Summe äußerer Produkte geschrieben werden, die wir reine Tensoren oder . nennen können einfache Tensoren . Dies reicht aus, um das Tensorprodukt zu definieren, wenn wir Vektoren und Transformationen in Form von Matrizen schreiben können. Um jedoch eine vollständig allgemeine Operation zu erhalten, ist ein abstrakterer Ansatz erforderlich. Insbesondere möchten wir die "wesentlichen Eigenschaften" des Tensorprodukts isolieren, ohne eine bestimmte Grundlage für seine Konstruktion angeben zu müssen, und dies werden wir in den folgenden Abschnitten tun.

Abstrahieren des Tensorprodukts

Um dieses Ziel zu erreichen, besteht der natürlichste Weg darin, eine wesentliche charakterisierende Eigenschaft zu isolieren, die aus allen möglichen Vektorräumen, die wir aus V und W bilden könnten, denjenigen beschreibt, der (bis auf Isomorphie ) ihr Tensor ist Produkt, und die ohne Berücksichtigung willkürlicher Entscheidungen wie der Wahl der Grundlage gelten. Und der Weg, dies zu tun, besteht darin, das Tensorkonzept "von innen nach außen" zu drehen - anstatt die Tensoren als Objekte zu betrachten, die auf Vektoren in der Art einer bilinearen Karte einwirken , werden wir sie stattdessen als Objekte betrachten, auf die eingewirkt wird , um a . zu erzeugen bilineare Karte. Der Trick besteht darin zu erkennen, dass das Kronecker-Produkt " alle Informationen erhält ", welche Vektoren in es eingehen: Die Verhältnisse der Vektorkomponenten lassen sich aus

und aus diesen Verhältnissen erholten sich die einzelnen Komponenten selbst (bis auf einen konstanten Faktor). Als Ergebnis kann ein einzelnes äußeres Kronecker-Produkt anstelle des Vektorpaares verwendet werden, aus dem es gebildet wurde, und umgekehrt. Am wichtigsten ist, dass wir jede bilineare Abbildung für jeden dritten Vektorraum Z als unilineare Abbildung schreiben können, wobei ${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle f:V\times W\to Z,}$${\displaystyle f_{\operatorname {T}}:V\otimes W\to Z}$

Die universelle Eigenschaft ist also , dass es genau eine solche gibt , die diese Anforderung erfüllt , wenn wir die Kombinationsoperation haben und eine bilineare Abbildung der erwähnten Form erhalten . Dies ist nicht schwer zu erkennen, wenn wir nach Basen expandieren, aber der wichtigere Punkt ist, dass es zur Charakterisierung des Tensorprodukts verwendet werden kann – das heißt, wir können es verwenden, um das Tensorprodukt axiomatisch mit . zu definieren kein Hinweis darauf. Bevor wir das tun können, müssen wir jedoch zunächst zeigen, dass das Tensorprodukt existiert und für alle Vektorräume V und W eindeutig ist, und dazu brauchen wir eine Konstruktion. ${\displaystyle \,\otimes ,\,}$${\displaystyle f_{\operatorname {T} }}$

Das konstruktive Tensorprodukt

Der freie Vektorraum

Um eine solche Konstruktion durchzuführen, betrachten wir als ersten Schritt die Einführung eines sogenannten „ freien Vektorraums “ über eine gegebene Menge. Die Stoßrichtung hinter dieser Idee besteht im Wesentlichen aus dem, was wir im ersten Abschnitt oben gesagt haben: Da ein generischer Tensor durch die Doppelsumme geschrieben werden kann ${\displaystyle T}$

der natürlichste Weg , um dieses Problem zu nähern ist irgendwie herauszufinden , wie wir „vergessen“ über die spezifische Wahl von Basen können und die verwendet werden , hier. In der Mathematik "vergessen" wir Repräsentationsdetails von etwas, indem wir eine Identifizierung herstellen, die uns sagt, dass zwei verschiedene Dinge, die als Repräsentationen derselben Sache betrachtet werden sollen, tatsächlich solche sind, dh die, wenn diese entweder "ja" , sie sind" oder "nein, sie sind nicht", und dann "zusammenfassen" alle Darstellungen als das "dargestellte Ding", ohne sich auf eine bestimmte zu beziehen, indem man sie alle zu einem einzigen Satz zusammenfasst. Formal betrachtet bauen wir zunächst eine Äquivalenzrelation auf und nehmen dann den Quotienten dieser Relation. ${\displaystyle\mathbf{e}}$${\displaystyle\mathbf{f}}$

Aber bevor wir das tun können, müssen wir zuerst entwickeln, was wir für die Äquivalenzrelation übernehmen werden. Wir gehen das umgekehrt von "unten nach oben" an: Da wir keine zumindest konstruierbare Basis garantiert haben, wenn wir von beliebigen Vektorräumen ausgehen, könnten wir stattdessen versuchen, mit der Garantie zu beginnen, dass wir haben eins - das heißt, wir beginnen zunächst damit, eine "Basis" für sich allein als gegeben zu betrachten und dann den Vektorraum darauf aufzubauen. Dazu führen wir folgendes aus: Nehmen wir an, das ist eine Menge, die wir abstrakte Basismenge nennen könnten . Betrachten Sie nun alle formalen Ausdrücke der Form ${\displaystyle B}$

von beliebiger, aber endlicher Länge und für die Skalare sind und Mitglieder von Intuitiv ist dies eine Linearkombination der Basisvektoren im üblichen Sinne der Erweiterung eines Elements eines Vektorraums. Wir nennen dies einen "formalen Ausdruck", weil es technisch gesehen illegal ist, zu multiplizieren, da es standardmäßig keine definierte Multiplikationsoperation für eine beliebige Menge und ein beliebiges Feld von Skalaren gibt. Stattdessen werden wir "so tun" (ähnlich wie bei der Definition der imaginären Zahlen ), dass sich dies auf etwas bezieht, und es dann gemäß den Regeln manipulieren, die wir für einen Vektorraum erwarten, z. B. die Summe zweier solcher Strings mit derselben Sequenz der Mitglieder von is ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle \beta_{j}}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle a_{j}\beta_{j}}$${\displaystyle B}$

wobei wir die assoziativen , kommutativen und distributiven Gesetze verwendet haben, um die erste Summe in die zweite umzuordnen. Wenn wir diesen Weg für skalare Vielfache und alle Kombinationen von Vektoren unterschiedlicher Länge fortsetzen, können wir eine Vektoraddition und skalare Multiplikation auf diesem Satz formaler Ausdrücke aufbauen, und wir nennen es den freien Vektorraum über dem Schreiben Beachten Sie, dass die Elemente von als Länge betrachtet werden -ein formaler Ausdruck mit Koeffizient 1 vorne, bilden eine Hamel-Basis für diesen Raum. ${\displaystyle B,}$${\displaystyle F(B).}$${\displaystyle B,}$

Der Tensorproduktausdruck wird dann abstrahiert, indem berücksichtigt wird, dass wenn und darstellen "abstrakte Basisvektoren" aus zwei Mengen und dh dass " " und " ", dann Paare davon im kartesischen Produkt dh als stehen für die Tensorprodukte genommen werden (Beachten Sie, dass die Tensorprodukte im Ausdruck sind in gewisser Weise "atomar", dh Additionen und Skalarmultiplikationen zerlegen sie nicht in etwas anderes, sodass wir sie durch etwas anderes ersetzen können, ohne die mathematische Struktur zu ändern.) Mit einer solchen Identifizierung können wir definiere also das Tensorprodukt zweier freier Vektorräume und als etwas (noch zu entscheiden), das isomorph zu${\displaystyle \beta_{j}}$${\displaystyle \gamma_{j}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle \beta_{j}=\mathbf{e}_{j}}$${\displaystyle \gamma_{j}=\mathbf{f}_{j}}$${\displaystyle B\times G,}$${\displaystyle (\beta_{i},\gamma_{j})}$${\displaystyle\mathbf{e}_{i}\otimes\mathbf{f}_{j}.}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle F(G)}$${\displaystyle F(B\times G).}$

Die Äquivalenzrelation

Die obige Definition funktioniert für jeden Vektorraum, in dem wir eine Basis angeben können , da wir ihn einfach als freien Vektorraum über dieser Basis neu aufbauen können: Die obige Konstruktion spiegelt genau wider, wie Sie Vektoren durch die Konstruktion der Hamel-Basis darstellen. Tatsächlich haben wir nichts gewonnen ... bis wir dies tun.

Wir gehen nun nicht davon aus, dass wir für Vektorräume Zugang zu Basen haben und von denen wir das Tensorprodukt bilden wollen . Stattdessen nehmen wir alles von und als "Basis", um die Tensoren aufzubauen. Das ist das Nächstbeste und das Einzige, was wir garantiert tun können, unabhängig von Bedenken, eine bestimmte Grundlage zu finden; dies entspricht der Addition beliebiger äußerer Produkte beliebiger Vektoren. Der einzige Unterschied besteht darin, dass, wenn wir die Konstruktion des freien Vektorraums verwenden und das Offensichtliche bilden, es viele redundante Versionen des gleichen Tensors gibt; Zurück zu unserem Basisfall, wenn wir das Beispiel betrachten, in dem wir in der Standardbasis betrachten können, dass der durch die Vektoren gebildete Tensor und dh ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle\mathbf{v}\otimes\mathbf{w}}$${\displaystyle F(V)\otimes F(W)=F(V\times W),}$${\displaystyle V=W=\mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0&3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf{y} ={\begin{bmatrix}5&-3\end{bmatrix}}^{\mathsf{T}},}$

könnte auch durch andere Summen dargestellt werden, wie die Summe mit einzelnen Grundtensoren zB ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j},}$

Diese, während im konkreten Fall gleiche Ausdrücke, würden verschiedenen Elementen des freien Vektorraums entsprechen, nämlich ${\displaystyle F(V\times W),}$

im ersten Fall und

im zweiten Fall. Also müssen wir sie verdichten – hier kommt die Äquivalenzrelation ins Spiel. Der Trick beim Erstellen besteht darin, zu beachten, dass es immer möglich ist, einen beliebigen Vektor in einem Vektorraum als Summe zweier anderer Vektoren und nicht gleich dem Original darzustellen . Wenn nichts anderes, sei ein beliebiger Vektor und dann nehmen Sie —was auch zeigt, dass wir, wenn wir einen Vektor und dann einen zweiten Vektor erhalten, den ersten Vektor in Bezug auf den zweiten zusammen mit einem geeigneten dritten Vektor schreiben können (und zwar in vielerlei Hinsicht — Betrachten Sie einfach skalare Vielfache des zweiten Vektors in derselben Subtraktion.). ${\displaystyle\mathbf{x}}$${\displaystyle\mathbf{a}}$${\displaystyle\mathbf{b}}$${\displaystyle\mathbf{a}}$${\displaystyle\mathbf{b} :=\mathbf{x} -\mathbf{a}}$

Dies ist für uns nützlich, da das äußere Produkt die folgenden Linearitätseigenschaften erfüllt, die durch einfache Algebra an den entsprechenden Matrixausdrücken bewiesen werden können:

Wenn wir das äußere Produkt beispielsweise in Beziehung setzen wollen , können wir die erste Relation oben zusammen mit einem geeigneten Ausdruck von als Summe eines Vektors und eines skalaren Vielfachen von verwenden${\displaystyle\mathbf{v}\otimes\mathbf{w}}$${\displaystyle \mathbf {e_{1}} \otimes \mathbf {w} ,}$${\displaystyle\mathbf{v}}$${\displaystyle \mathbf {e_{1}} .}$

Gleichheit zwischen zwei konkreten Tensoren wird dann erreicht, wenn es uns unter Verwendung der obigen Regeln ermöglicht, eine Summe äußerer Produkte durch geeignetes Zerlegen von Vektoren in die andere umzuordnen – unabhängig davon, ob wir eine Menge von tatsächlichen Basisvektoren haben. Wenden wir das auf unser obiges Beispiel an, sehen wir, dass wir natürlich haben

für welche Substitution in

gibt uns

und eine umsichtige Verwendung der Distributivitätseigenschaften lässt uns die gewünschte Form neu anordnen. Ebenso gibt es eine entsprechende „Spiegel“ Manipulation in Bezug auf die freien Vektorraum Elemente und usw., und dies führt uns schließlich auf die formale Definition des Tensorproduktes. ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (e_{1},e_{1}),}$ ${\displaystyle (e_{1},e_{2}),}$

Zusammenbau der gesamten Konstruktion

Das abstrakte Tensorprodukt zweier Vektorräume und über einem gemeinsamen Basiskörper ist der Quotientenvektorraum${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$

wobei die Äquivalenzrelation der formalen Gleichheit erzeugt wird, indem angenommen wird, dass für jede und als formale Ausdrücke im freien Vektorraum gilt: ${\displaystyle\sim}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle (v',w')}$${\displaystyle F(V\times W),}$

Identität

${\displaystyle (v,w)\sim (v,w).}$

Symmetrie

${\displaystyle (v,w)\sim (v',w')}$ impliziert ${\displaystyle (v',w')\sim (v,w).}$

Transitivität

${\displaystyle (v,w)\sim (v',w')}$und impliziert${\displaystyle (v',w')\sim (v'',w'')}$${\displaystyle (v,w)\sim (v'',w'').}$

Verteilung

${\displaystyle (v,w)+(v',w)\sim (v+v',w)}$ und ${\displaystyle (v,w)+(v,w')\sim (v,w+w').}$

Skalare Vielfache

${\displaystyle c(v,w)\sim(v,cw)}$ und ${\displaystyle c(v,w)\sim(cv,w).}$

und dann Testen der Äquivalenz von generischen formalen Ausdrücken durch geeignete darauf basierende Manipulationen. Arithmetik wird auf dem Tensorprodukt definiert, indem repräsentative Elemente ausgewählt, die arithmetischen Regeln angewendet und schließlich die Äquivalenzklasse genommen wird. Außerdem sind zwei beliebige Vektoren gegeben und die Äquivalenzklasse heißt${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w\in W,}$${\displaystyle [(v,w)]}$${\displaystyle v\otimes w.}$

Eigenschaften

Notation

Elemente von werden oft als Tensoren bezeichnet , obwohl sich dieser Begriff auch auf viele andere verwandte Konzepte bezieht. Wenn v zu V gehört und w zu W gehört , dann bezeichnet man die Äquivalenzklasse von ( v , w ) mit der man das Tensorprodukt von v mit w bezeichnet . In Physik und Technik bezieht sich diese Verwendung des Symbols speziell auf die äußere Produktbedienung ; das Ergebnis des äußeren Produkts ist eine der Standardmethoden zur Darstellung der Äquivalenzklasse. Ein Element davon , das in der Form geschrieben werden kann, wird als reiner oder einfacher Tensor bezeichnet . Im Allgemeinen ist ein Element des Tensorproduktraums kein reiner Tensor, sondern eine endliche Linearkombination reiner Tensoren. Wenn zum Beispiel und sind linear unabhängig , und und ist auch linear unabhängig, dann kann nicht als reinen Tensor geschrieben werden. Die Anzahl der einfachen Tensoren, die erforderlich sind, um ein Element eines Tensorprodukts auszudrücken, wird als Tensorrang bezeichnet (nicht zu verwechseln mit der Tensorordnung , das ist die Anzahl der Stellen, von denen man das Produkt genommen hat, in diesem Fall 2; in der Notation die Anzahl der Indizes) und für lineare Operatoren oder Matrizen, die man sich als (1, 1) -Tensoren (Elemente des Raums ) vorstellen kann, stimmt sie mit dem Matrixrang überein . ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle v\otimes w,}$${\displaystyle \,\otimes\,}$${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle v\otimes w.}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle v_{1}\otimes w_{1}+v_{2}\otimes w_{2}}$${\displaystyle V\otimes V^{*}}$

Abmessungen

Bei gegebenen Basen und für V bzw. W bilden die Tensoren eine Basis für Wenn V und W endlichdimensional sind, ist die Dimension des Tensorprodukts das Produkt der Dimensionen der ursprünglichen Räume; ist zum Beispiel isomorph zu${\displaystyle \left\{v_{i}\right\}}$${\displaystyle \left\{w_{j}\right\}}$${\displaystyle \left\{v_{i}\otimes w_{j}\right\}}$${\displaystyle V\otimes W.}$${\displaystyle\mathbb{R}^{m}\otimes\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{mn}.}$

Tensorprodukt linearer Abbildungen

Das Tensorprodukt operiert auch auf linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen. Insbesondere bei zwei linearen Abbildungen und zwischen Vektorräumen ist das Tensorprodukt der beiden linearen Abbildungen S und T eine lineare Abbildung ${\displaystyle S:V\to X}$${\displaystyle T:W\to Y}$

definiert von

Auf diese Weise wird das Tensorprodukt zu einem Bifunktor aus der Kategorie der Vektorräume zu sich selbst, kovariant in beiden Argumenten.

Wenn S und T sind beide injektiv , surjektiv oder (im Fall , daß V , X , W und Y sind normierter Vektorräume oder topologische Vektorräume ) kontinuierliche , dann injektiv, surjektiv oder kontinuierlich, respectively. ${\displaystyle S\otimes T}$

Durch Wahl der Basen aller beteiligten Vektorräume können die linearen Abbildungen S und T durch Matrizen dargestellt werden . Je nachdem, wie der Tensor vektorisiert ist, ist die das Tensorprodukt beschreibende Matrix dann das Kronecker-Produkt der beiden Matrizen. Zum Beispiel, wenn V , X , W und Y oben alle zweidimensional sind und die Basen für alle festgelegt wurden und S und T durch die Matrizen gegeben sind ${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle S\otimes T}$

bzw. dann ist das Tensorprodukt dieser beiden Matrizen

Der resultierende Rang ist höchstens 4 und somit die resultierende Dimension 4. Beachten Sie, dass Rang hier den Tensorrang bezeichnet, dh die Anzahl der erforderlichen Indizes (während der Matrixrang die Anzahl der Freiheitsgrade im resultierenden Array zählt). Notiz${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B.}$

Ein dyadisches Produkt ist der Spezialfall des Tensorprodukts zwischen zwei Vektoren gleicher Dimension.

Universelles Eigentum

Im Kontext von Vektorräumen sind das Tensorprodukt und die zugehörige bilineare Abbildung bis auf Isomorphie durch eine universelle Eigenschaft bezüglich bilinearer Abbildungen charakterisiert . (Erinnern Sie sich daran, dass eine bilineare Abbildung eine Funktion ist, die in jedem ihrer Argumente separat linear ist.) Informell ist dies die allgemeinste bilineare Abbildung von${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle V\times W.}$

Der Vektorraum und die damit verbunden bilineare Abbildung hat die Eigenschaft , dass jede bilineare Abbildung von etwaigem Vektorraum Faktoren durch eindeutig. Mit " Faktoren durch eindeutig" meinen wir, dass es eine eindeutige lineare Abbildung gibt, so dass${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$${\displaystyle h:V\times W\to Z}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle h}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$${\displaystyle h={\tilde{h}}\circ \varphi .}$

Diese Charakterisierung kann Beweise über das Tensorprodukt vereinfachen. Zum Beispiel ist das Tensorprodukt symmetrisch, was bedeutet, dass es einen kanonischen Isomorphismus gibt :

Zur Konstruktion von , sagen wir, eine Karte aus zu genügt es , eine bilineare Abbildung zu geben , dass die Karten zu Dann wird die universelle Eigenschaft Mittel Faktoren in einer Karte eine Karte in der entgegengesetzten Richtung in ähnlicher Weise definiert wird, und eine überprüft , dass die beiden linearen Karten und sind inverse miteinander, indem sie ihre universellen Eigenschaften wieder nutzen. ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle W\otimes V,}$${\displaystyle h:V\times W\to W\otimes V}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle w\otimes v.}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to W\otimes V.}$${\displaystyle {\tilde {g}}:W\otimes V\to V\otimes W}$${\displaystyle {\tilde{h}}}$${\displaystyle {\tilde {g}}}$

Die universelle Eigenschaft ist äußerst nützlich, um zu zeigen, dass eine Abbildung auf ein Tensorprodukt injektiv ist. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen zeigen, dass isomorph zu Da alle einfachen Tensoren von der Form sind und daher alle Elemente des Tensorprodukts von der Form durch Additivität in der ersten Koordinate sind, haben wir einen natürlichen Kandidaten für einen Isomorphismus , der durch Abbildung . gegeben ist zu und diese Abbildung ist trivial surjektiv. ${\displaystyle\mathbb{R}\otimes\mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$${\displaystyle a\otimes b=(ab)\otimes 1,}$${\displaystyle x\otimes 1}$${\displaystyle\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\otimes\mathbb{R}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\otimes 1,}$

Injektivität direkt zu zeigen würde bedeuten, irgendwie zu zeigen, dass es keine nicht-trivialen Beziehungen zwischen und für die erschreckend erscheint. Wir wissen jedoch, dass es eine bilineare Abbildung gibt, die durch die Multiplikation der Koordinaten gegeben ist, und die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts liefert dann eine Abbildung von Vektorräumen, die auf den zuvor konstruierten Homomorphismus abbildet und daher eine Umkehrung davon ist, was sofort den gewünschten Ergebnis. Beachten Sie, dass a priori nicht einmal klar ist, dass diese inverse Abbildung wohldefiniert ist, aber die universelle Eigenschaft und die zugehörige bilineare Abbildung zusammen implizieren, dass dies der Fall ist. ${\displaystyle x\otimes 1}$${\displaystyle y\otimes 1}$${\displaystyle x\neq y,}$${\displaystyle\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{R}\otimes\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$${\displaystyle x\otimes 1}$${\displaystyle x,}$

Eine ähnliche Argumentation kann verwendet werden, um zu zeigen, dass das Tensorprodukt assoziativ ist, d. h. es gibt natürliche Isomorphismen

$${\displaystyle V_{1}\otimes \left(V_{2}\otimes V_{3}\right)\cong \left(V_{1}\otimes V_{2}\right)\otimes V_{3}. }$$

Daher ist es üblich, die Klammern wegzulassen und zu schreiben , also ist die ijk-te Komponente von is ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}}$${\displaystyle U\otimes V\otimes W}$

$${\displaystyle(\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{w})_{ijk}=u_{i}v_{j}w_{k},}$$

ähnlich dem ersten Beispiel auf dieser Seite.

Die Kategorie der Vektorräume mit Tensorprodukt ist ein Beispiel für eine symmetrische monoide Kategorie .

Die universelle Definition eines Tensorprodukts gilt in mehr Kategorien als nur in der Kategorie der Vektorräume. Anstatt multilineare (bilineare) Abbildungen zu verwenden, verwendet die allgemeine Tensorproduktdefinition Multimorphismen.

Tensorkräfte und Geflecht

Sei n eine nicht negative ganze Zahl. Die n- te Tensorpotenz des Vektorraums V ist das n- fache Tensorprodukt von V mit sich selbst. Das ist

$${\displaystyle V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.}$$

Eine Permutation der Menge bestimmt eine Abbildung der

n- ten kartesischen Potenz von V wie folgt: ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :V^{n}\to V^{n}\\\sigma \left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right )=\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (n)}\right)\end{cases}}}$$

Lassen

$${\displaystyle \varphi :V^{n}\to V^{\otimes n}}$$

sei die natürliche multilineare Einbettung der kartesischen Potenz von V in die Tensorpotenz von V . Dann gibt es nach der universellen Eigenschaft einen eindeutigen Isomorphismus

$${\displaystyle \tau_{\sigma}:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$$

so dass

$${\displaystyle \varphi\circ\sigma =\tau_{\sigma}\circ\varphi.}$$

Der Isomorphismus wird als

Flechtkarte bezeichnet , die der Permutation zugeordnet ist${\displaystyle \tau_{\sigma}}$${\displaystyle \sigma.}$

Produkt von Tensoren

Siehe auch: Klassische Behandlung von Tensoren

Für nicht negative ganze Zahlen r und s ist ein

Typtensor auf einem Vektorraum V ein Element von ${\displaystyle (r,s)}$

$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{ *}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$

Hier ist der

duale Vektorraum (der aus allen linearen Abbildungen f von V bis zum Bodenfeld K besteht ). ${\displaystyle V^{*}}$

Es gibt eine Produktabbildung, das (Tensor-)Produkt von Tensoren

$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes_{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}( V).}$$

Sie wird definiert, indem alle vorkommenden "Faktoren" V zusammengefaßt werden: Schreiben für ein Element von

V und für ein Element des Dualraums, ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

Die Auswahl einer Basis von V und der entsprechenden dualen Basis von induziert natürlich eine Basis für (diese Basis wird im

Artikel über Kronecker-Produkte beschrieben ). Anhand dieser Basen können die Komponenten eines (Tensor-)Produkts von zwei (oder mehr) Tensoren berechnet werden. Sind beispielsweise F und G zwei kovariante Tensoren der Ordnung m bzw. n (dh und ), dann sind die Komponenten ihres Tensorprodukts gegeben durch ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$

$${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{ m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

Somit sind die Komponenten des Tensorprodukts zweier Tensoren das gewöhnliche Produkt der Komponenten jedes Tensors. Ein weiteres Beispiel: Sei U ein Tensor vom Typ (1, 1) mit Komponenten und sei

V ein Tensor vom Typ mit Komponenten Dann ${\displaystyle U_{\beta}^{\alpha},}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle V^{\gamma}.}$

$${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha}{}_{\beta}{}^{\gamma}=U^{\alpha}{}_{\beta}V^{\ Gamma }}$$

und

$${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu\nu }{}_{\sigma}=V^{\mu}U^{\nu }{}_{\sigma}.}$$

Tensoren, die mit ihrer Produktoperation ausgestattet sind, bilden eine Algebra , die als Tensoralgebra bezeichnet wird .

Bewertungskarte und Tensorkontraktion

Für Tensoren vom Typ (1, 1) gibt es eine kanonische Bewertungskarte

$${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$

definiert durch seine Wirkung auf reine Tensoren:

$${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

Allgemeiner ausgedrückt gibt es für Tensoren vom Typ mit

r , s > 0 eine Abbildung, die als Tensorkontraktion bezeichnet wird. ${\displaystyle (r,s),}$

$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$

(Die Kopien von und auf die diese Karte aufgebracht werden soll, müssen angegeben werden.) ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

Auf der anderen Seite, wenn es

endlich-dimensional ist , gibt es eine kanonische Karte in die andere Richtung (sogenannte Co-Evaluation-Karte ). ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end {Fälle}}}$$

wo ist jede Basis von und ist ihre

duale Basis . Diese Karte hängt nicht von der Wahl der Basis ab. ${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle v_{i}^{*}}$

Das Zusammenspiel von Evaluation und Co-Evaluation kann genutzt werden, um endlichdimensionale Vektorräume ohne Bezug auf Basen zu charakterisieren.

Adjungierte Darstellung

Das Tensorprodukt kann natürlich durch die Diagonalwirkung als Modul für die

Lie-Algebra angesehen werden: Nehmen wir dann der Einfachheit halber für jede${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ende} (V)}$${\displaystyle r=s=1,}$${\displaystyle u\in\mathrm {End} (V),}$

$${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes ba\otimes u^{*}(b),}$$

wo ist die

Transponierte von u , d. h. in Bezug auf die offensichtliche Paarung auf${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {Ende} \left(V^{*}\right)}$${\displaystyle V\otimes V^{*},}$

$${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

Es gibt einen kanonischen Isomorphismus, der gegeben ist durch ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$

$${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

Unter diesem Isomorphismus kann jedes u in zuerst als ein Endomorphismus von und dann als ein Endomorphismus von angesehen werden Tatsächlich ist es die

adjungierte Darstellung ad( u ) von${\displaystyle \mathrm {Ende} (V)}$${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$${\displaystyle \mathrm {Ende} (V).}$ ${\displaystyle \mathrm {Ende} (V).}$

Beziehung des Tensorprodukts zu Hom

Gegeben seien zwei endlichdimensionale Vektorräume U , V über dem gleichen Körper K , bezeichne den dualen Raum von U als U* und den K- Vektorraum aller linearen Abbildungen von U nach V als Hom( U , V ) . Es gibt einen Isomorphismus,

$${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong\mathrm {Hom} (U,V),}$$

definiert durch eine Wirkung des reinen Tensors auf ein Element von${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$${\displaystyle U,}$

$${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

Seine "Inverse" kann mit einer Basis und seiner dualen Basis wie im Abschnitt "

Auswertungskarte und Tensorkontraktion " oben definiert werden: ${\displaystyle \{u_{i}\}}$${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

Dieses Ergebnis impliziert

$${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$

was automatisch die wichtige Tatsache ergibt, die eine Basis dafür bildet, wo Basen von

U und V sind . ${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$${\displaystyle U\otimes V}$${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

Außerdem ist bei gegebenen drei Vektorräumen U , V , W das Tensorprodukt wie folgt mit dem Vektorraum aller linearen Abbildungen verknüpft :

$${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

Dies ist ein Beispiel für adjungierte Funktoren : Das Tensorprodukt ist "linksadjungiert" zu Hom.

Tensorprodukte von Modulen über einem Ring

Hauptartikel: Tensorprodukt von Modulen

Das Tensorprodukt zweier Module A und B über einem kommutativen Ring R ist genauso definiert wie das Tensorprodukt von Vektorräumen über einem Körper:

$${\displaystyle A\otimes_{R}B:=F(A\times B)/G}$$

wobei now der freie R- Modul ist , der durch das kartesische Produkt erzeugt wird und G der R- Modul ist, der durch die gleichen Beziehungen wie oben erzeugt wird . ${\displaystyle F(A\times B)}$

Allgemeiner kann das Tensorprodukt auch dann definiert werden, wenn der Ring nicht kommutativ ist . In diesem Fall muss A ein Rechts- R- Modul und B ein Links- R- Modul sein, und anstelle der letzten beiden obigen Relationen gilt die Relation

$${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

wird auferlegt. Wenn R nicht kommutativ ist, ist dies kein R- Modul mehr, sondern nur noch eine abelsche Gruppe .

Die universelle Eigenschaft überträgt sich auch leicht modifiziert: Die durch definierte Karte ist eine

mittlere lineare Karte (als "die kanonische mittlere lineare Karte" bezeichnet); das heißt, es erfüllt: ${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes_{R}B}$${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\phi (a+a',b)&=\phi (a,b)+\phi (a',b)\\\phi (a,b+b')& =\phi (a,b)+\phi (a,b')\\phi (ar,b)&=\phi (a,rb)\end{ausgerichtet}}}$$

Die ersten beiden Eigenschaften machen φ eine bilineare Abbildung der abelschen Gruppe Für mittlere lineare Abbildung von einem einzigartigen Gruppenhomomorphismus

f von erfüllt und diese Eigenschaft bestimmt , innerhalb Gruppenisomorphismus. Details finden Sie im Hauptartikel . ${\displaystyle A\times B.}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle A\times B,}$${\displaystyle A\otimes_{R}B}$${\displaystyle \psi =f\circ\varphi,}$${\displaystyle \phi}$

Tensorprodukt von Modulen über einem nichtkommutativen Ring

Sei A ein rechter R- Modul und B ein linker R- Modul. Dann ist das Tensorprodukt von A und B eine abelsche Gruppe definiert durch

$${\displaystyle A\otimes_{R}B:=F(A\times B)/G}$$

wo ist eine freie abelsche Gruppe über und G ist die Untergruppe von erzeugt durch Beziehungen ${\displaystyle F(A\times B)}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle F(A\times B)}$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ für alle }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{ 1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{ausgerichtet}} }$$

Die universelle Eigenschaft kann wie folgt angegeben werden. Sei G eine abelsche Gruppe mit einer bilinearen Abbildung in dem Sinne, dass ${\displaystyle q:A\times B\to G}$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a ,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb). \end{ausgerichtet}}}$$

Dann gibt es eine einzigartige Karte, so dass für alle und${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B.}$

Darüber hinaus können wir unter einigen zusätzlichen Bedingungen eine Modulstruktur angeben: ${\displaystyle A\otimes_{R}B}$

1. Ist A ein ( S , R )-Bimodul, dann ist ein linker

S- Modul mit${\displaystyle A\otimes_{R}B}$${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b.}$

Ist B ein ( R , S )-Bimodul, dann ist ein rechter

S -Modul mit${\displaystyle A\otimes_{R}B}$${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs).}$

Wenn A ein ( S , R )-Bimodul und B ein ( R , T )-Bimodul ist, dann ist ein (

S , T )-Bimodul, wobei die linke und rechte Aktion genauso definiert sind wie die vorherigen beiden Beispiele.${\displaystyle A\otimes_{R}B}$

Wenn R ein kommutativer Ring ist, dann sind A und B ( R , R )-Bimodule, wobei und Durch 3) können wir schließen, dass es sich um einen (

R , R )-Bimodul handelt.${\displaystyle ra:=ar}$${\displaystyle br:=rb.}$${\displaystyle A\otimes_{R}B}$

Berechnung des Tensorprodukts

Für Vektorräume wird das Tensorprodukt schnell berechnet, da die Basen von

V von W sofort eine Basis von bestimmen, wie oben erwähnt wurde. Bei Modulen über einem allgemeinen (kommutativen) Ring ist nicht jedes Modul frei. Zum Beispiel ist Z / n Z keine freie abelsche Gruppe ( Z -Modul). Das Tensorprodukt mit Z / n Z ist gegeben durch ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V\otimes W,}$

$${\displaystyle M\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Z} /n\mathbf{Z} =M/nM.}$$

Allgemeiner ausgedrückt , bei einer Präsentation eines R -Moduls M , d. h. einer Anzahl von Generatoren zusammen mit Relationen ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$

$${\displaystyle \sum_{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$

das Tensorprodukt kann wie folgt berechnet werden :

$${\displaystyle M\otimes_{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

Hier und die Karte wird bestimmt, indem einige in der

j- ten Kopie von an (in ) gesendet werden . Umgangssprachlich kann dies sagen , von umformuliert wird , dass eine Präsentation von M zu einer Präsentation gibt bezeichnet wird , indem er sagte dies , dass das Tensorprodukt a Recht genauer Funktors . Es ist im Allgemeinen nicht linksexakt , d. h. bei einer injektiven Abbildung von R -Modulen ist das Tensorprodukt ${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N,}$${\displaystyle N^{J}\nach N^{I}}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle N^{J}}$${\displaystyle a_{ij}n}$${\displaystyle N^{I}}$${\displaystyle M\oplus_{R}N.}$${\displaystyle M_{1}\to M_{2},}$

$${\displaystyle M_{1}\otimes_{R}N\to M_{2}\otimes_{R}N}$$

ist normalerweise nicht injektiv. Zum Beispiel ergibt die Tensorisierung der (injektiven) Abbildung, die durch Multiplikation mit n , n  : Z → Z mit Z / n Z gegeben ist, die Nullabbildung 0 : Z / n Z → Z / n Z , die nicht injektiv ist. Höhere Tor-Funktoren messen den Fehler des Tensorprodukts, das nicht exakt verlassen wird. Alle höheren Tor-Funktoren werden im abgeleiteten Tensorprodukt zusammengefasst .

Tensorprodukt von Algebren

Hauptartikel: Tensorprodukt von Algebren

Sei R ein kommutativer Ring. Der Tensorprodukt von R -Moduln gilt insbesondere dann , wenn A und B ist R -Algebren . In diesem Fall ist das Tensorprodukt selbst eine

R -Algebra durch Setzen ${\displaystyle A\otimes_{R}B}$

$${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\ cdot b_{2}).}$$

Zum Beispiel,

$${\displaystyle R[x]\otimes_{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

Ein besonderes Beispiel ist, wenn A und B Felder sind, die ein gemeinsames Unterfeld R enthalten . Das Tensorprodukt von Feldern ist eng mit der Galois-Theorie verwandt : Wenn beispielsweise A = R [ x ] / f ( x ) , wobei f ein irreduzibles Polynom mit Koeffizienten in R ist , kann das Tensorprodukt berechnet werden als

$${\displaystyle A\otimes_{R}B\cong B[x]/f(x)}$$

wobei nun f als dasselbe Polynom interpretiert wird, dessen Koeffizienten jedoch als Elemente von B betrachtet werden . Im größeren Körper B kann das Polynom reduzierbar werden, was die Galois-Theorie einbringt. Wenn beispielsweise A = B eine Galois-Erweiterung von R ist , dann

$${\displaystyle A\otimes_{R}A\cong A[x]/f(x)}$$

isomorph (als A- Algebra) zu${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}.}$

Eigenkonfigurationen von Tensoren

Quadratische Matrizen mit Einträgen in einem

Feld stellen lineare Abbildungen von Vektorräumen dar , sagen wir, und damit lineare Abbildungen von projektiven Räumen über Wenn ist nichtsingulär, dann ist überall wohldefiniert , und die Eigenvektoren von entsprechen den Fixpunkten von Die Eigenkonfiguration von besteht aus Punkten in versehen ist generisch und ist algebraisch abgeschlossen . Die Fixpunkte nichtlinearer Abbildungen sind die Eigenvektoren von Tensoren. Sei ein -dimensionaler Formattensor mit Einträgen, die in einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null liegen. Ein solcher Tensor definiert Polynomabbildungen und mit Koordinaten ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{n}\to K^{n},}$${\displaystyle \psi:\mathbb{P}^{n-1}\to\mathbb{P}^{n-1}}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb{P}^{n-1},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n\mal n\mal\cdots\mal n}$${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\in(K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$${\displaystyle \mathbb{P}^{n-1}\to\mathbb{P}^{n-1}}$

$${\displaystyle \psi_{i}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{j_{2}=1}^{n}\sum_{j_{3}=1} ^{n}\cdots \sum_{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3 }}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

Somit ist jede der Koordinaten von ein

homogenes Polynom vom Grad in Die Eigenvektoren von sind die Lösungen der Nebenbedingung ${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi_{i}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle \mathbf{x} =\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right).}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi_{1}(\mathbf{x})&\psi_ {2}(\mathbf{x})&\cdots &\psi_{n}(\mathbf{x})\end{pmatrix}}\leq 1}$$

und die eigenconfiguration wird durch die gegebene Vielfalt der

Minderjährigen dieser Matrix. ${\displaystyle 2\times 2}$

Weitere Beispiele für Tensorprodukte

Tensorprodukt von Hilberträumen

Hauptartikel: Tensorprodukt von Hilberträumen

Hilberträume verallgemeinern endlichdimensionale Vektorräume auf abzählbar-unendliche Dimensionen. Das Tensorprodukt ist noch definiert; es ist das Tensorprodukt von Hilberträumen .

Topologisches Tensorprodukt

Hauptartikel: Topologisches Tensorprodukt

Wenn die Basis für einen Vektorraum nicht mehr abzählbar ist, dann ist die geeignete axiomatische Formalisierung für den Vektorraum die eines topologischen Vektorraums . Das Tensorprodukt ist noch definiert, es ist das topologische Tensorprodukt .

Tensorprodukt abgestufter Vektorräume

Hauptartikel: Abgestufter Vektorraum § Operationen auf abgestuften Vektorräumen

Einige Vektorräume können in direkte Summen von Unterräumen zerlegt werden . In solchen Fällen kann das Tensorprodukt zweier Räume in Summen von Produkten der Unterräume zerlegt werden (analog der Verteilung der Multiplikation über die Addition).

Tensorprodukt von Darstellungen

Hauptartikel: Tensorprodukt von Darstellungen

Vektorräume mit einer zusätzlichen multiplikativen Struktur werden Algebren genannt . Das Tensorprodukt solcher Algebren wird durch die Littlewood-Richardson-Regel beschrieben .

Tensorprodukt quadratischer Formen

Hauptartikel: Tensorprodukt quadratischer Formen

Tensorprodukt multilinearer Formen

Gegeben zwei Multilinearformen und auf einem Vektorraum über dem Körper ist ihr Tensorprodukt die Multilinearform ${\displaystyle f(x_{1},\dots,x_{k})}$${\displaystyle g(x_{1},\dots,x_{m})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$

$${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots,x_{k+m})=f(x_{1},\dots,x_{k})g(x_{k+1}, \dots,x_{k+m}).}$$

Dies ist ein Spezialfall des Produkts von Tensoren, wenn diese als multilineare Abbildungen betrachtet werden (siehe auch Tensoren als multilineare Abbildungen ). Somit können die Komponenten des Tensorprodukts multilinearer Formen durch das Kronecker-Produkt berechnet werden .

Tensorprodukt von Modulscheiben

Hauptartikel: Bündel von Modulen

Tensorprodukt von Linienbündeln

Hauptartikel: Vektorbündel § Operationen auf Vektorbündeln

Siehe auch: Tensor-Produktpaket

Tensorprodukt von Feldern

Hauptartikel: Tensorprodukt von Feldern

Tensorprodukt von Graphen

Hauptartikel: Tensorprodukt von Graphen

Es sollte erwähnt werden, dass dies, obwohl es "Tensorprodukt" genannt wird, kein Tensorprodukt von Graphen im obigen Sinne ist; eigentlich ist es das kategorietheoretische Produkt in der Kategorie der Graphen und Graphenhomomorphismen . Tatsächlich handelt es sich jedoch um das Kronecker-Tensorprodukt der Adjazenzmatrizen der Graphen. Vergleiche auch den Abschnitt Tensorprodukt linearer Abbildungen oben.

Monoide Kategorien

Die allgemeinste Einstellung für das Tensorprodukt ist die monoide Kategorie . Es fängt die algebraische Essenz der Tensorierung ein, ohne einen spezifischen Bezug auf das zu machen, was tensoriert wird. Somit können alle Tensorprodukte als eine Anwendung der monoiden Kategorie auf eine bestimmte Umgebung ausgedrückt werden, die auf bestimmte Objekte wirkt.

Quotientenalgebren

Einige wichtige Unterräume der Tensoralgebra lassen sich als Quotienten konstruieren : Dazu gehören die äußere Algebra , die symmetrische Algebra , die Clifford-Algebra , die Weyl-Algebra und die universelle Hüllalgebra im Allgemeinen.

Die äußere Algebra wird aus dem äußeren Produkt konstruiert . Bei einem gegebenen Vektorraum V ist das äußere Produkt definiert als ${\displaystyle V\keil V}$

$${\displaystyle V\keil V:=V\otimes V/\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

Beachten Sie, dass, wenn das zugrunde liegende Feld von V keine Eigenschaft 2 hat, diese Definition äquivalent zu

$${\displaystyle V\keil V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2}) \in V^{2}\}.}$$

Das Bild von im Außenprodukt wird normalerweise bezeichnet und erfüllt, durch Konstruktion, Ähnliche Konstruktionen sind für ( n Faktoren) möglich, wodurch die n- te Außenleistung von V entsteht . Letzterer Begriff ist die Grundlage der differentiellen n- Formen . ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}.}$${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$${\displaystyle \Lambda^{n}V,}$

Die symmetrische Algebra wird auf ähnliche Weise konstruiert, aus dem symmetrischen Produkt

$${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2}) \in V^{2}\}.}$$

Allgemeiner

$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}/(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\ otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

Das heißt, in der symmetrischen Algebra können zwei benachbarte Vektoren (und damit alle) vertauscht werden. Die resultierenden Objekte werden symmetrische Tensoren genannt .

Tensorprodukt in der Programmierung

Array-Programmiersprachen

In Array-Programmiersprachen kann dieses Muster eingebaut sein. Zum Beispiel wird das Tensorprodukt in APL als ○.×(zum Beispiel A ○.× Boder A ○.× B ○.× C) ausgedrückt . In J ist das Tensorprodukt die dyadische Form von */(zum Beispiel a */ boder a */ b */ c).

Beachten Sie, dass die Behandlung von J auch die Darstellung einiger Tensorfelder ermöglicht, da aund bkann es sich um Funktionen anstelle von Konstanten handeln. Dieses Produkt von zwei Funktionen ist eine abgeleitete Funktion, und wenn aund bsind differenzierbar , dann a */ bdifferenzierbar ist.

Diese Notation ist jedoch in Array-Sprachen nicht überall vorhanden. Andere Array-Sprachen erfordern möglicherweise eine explizite Behandlung von Indizes (z. B. MATLAB ) und/oder unterstützen möglicherweise keine Funktionen höherer Ordnung wie die Jacobi-Ableitung (z. B. Fortran /APL).

Siehe auch

• Dyadisches Produkt
• Erweiterung von Skalaren
• Monoide Kategorie  – Kategorie, die Tensorprodukte

zulässt

Tensoralgebra  – Universelle Konstruktion in der multilinearen Algebra

Tensorkontraktion

Topologisches Tensorprodukt  – Tensorproduktkonstruktionen für topologische Vektorräume

Anmerkungen

Verweise

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elemente der Mathematik, Algebra I . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timothy . "Wie Sie Ihre Angst vor Tensorprodukten verlieren" . Archiviert vom Original am 23. Juli 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Abstrakte Algebra . Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Endlichdimensionale Vektorräume . Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Algebra . Springer. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised 3. Aufl.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, HERR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S. ; Birkhoff, G. (1999). Algebra . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010). Monoide Funktoren, Spezies und Hopf-Algebren . CRM-Monographiereihe, Band 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• „Bibliographie zum nichtabelschen Tensorprodukt von Gruppen“ .