Nichtkommutativer Ring - Noncommutative ring

Algebraische Struktur → Ringtheorie Ringtheorie
Grundlegendes Konzept Ringe • Unterringe • Ideal • Quotientenring • Bruchideal • Gesamtquotientenring • Produktring • Freies Produkt assoziativer Algebren • Tensorprodukt von Ringen Ringhomomorphismen • Kernel • Innerer Automorphismus • Frobenius-Endomorphismus Algebraische Strukturen • Modul • Assoziative Algebra • Abgestufter Ring • Involutiver Ring • Kategorie der Ringe • Anfangsruf ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • Klemmring ${\displaystyle 0=\mathbb{Z} _{1}}$ Verwandte Strukturen • Feld • Endlicher Körper • Nicht-assoziativer Ring • Lügenring • Jordan-Ring • Halbring • Halbfeld
Kommutative Algebra Kommutative Ringe • Integrale Domäne • Integral geschlossene Domäne • GCD-Domäne • Einzigartige Faktorisierungsdomäne • Hauptidealer Bereich • Euklidische Domäne • Feld • Endlicher Körper • Kompositionsring • Polynomring • Formaler Potenzreihenring Algebraische Zahlentheorie • Algebraisches Zahlenfeld • Ring von ganzen Zahlen • algebraische Unabhängigkeit • Transzendentale Zahlentheorie • Transzendenzgrad p -adische Zahlentheorie und Dezimalzahlen • Direktes Limit / Inverses Limit • Nullring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Ganzzahlen modulo p n ${\displaystyle \mathbb{Z} /p^{n}\mathbb{Z}}$ • Prüfer p- Ring ${\displaystyle \mathbb{Z} (p^{\infty})}$ • Basis - p- Kreisring ${\displaystyle \mathbb{T}}$ • Basis - p ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • p -adische Rationale ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Basis - p reelle Zahlen ${\displaystyle \mathbb{R}}$ • p -adische ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$ • p -adische Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Q} _{p}}$ • p -adischer Magnet ${\displaystyle \mathbb{T} _{p}}$ Algebraische Geometrie • Affine Vielfalt
Nichtkommutative Algebra Nichtkommutative Ringe • Teilungsring • Halbprimitiver Ring • Einfacher Ring • Kommutator Nichtkommutative algebraische Geometrie Freie Algebra Clifford-Algebra • Geometrische Algebra Operatoralgebra
v T e

In der Mathematik , genauer gesagt der abstrakten Algebra und der Ringtheorie , ist ein nichtkommutativer Ring ein Ring, dessen Multiplikation nicht kommutativ ist ; dh es gibt a und b in R mit a · b ≠ b · a . Viele Autoren verwenden den Begriff nichtkommutative Ringe, um sich auf Ringe zu beziehen, die nicht unbedingt kommutativ sind, und schließen daher kommutative Ringe in ihre Definition ein. Nichtkommutative Algebra ist die Untersuchung von Ergebnissen, die auf Ringe angewendet werden, die nicht kommutativ sein müssen. Viele wichtige Ergebnisse auf dem Gebiet der nichtkommutativen Algebra gelten für kommutative Ringe als Spezialfälle.

Obwohl einige Autoren nicht davon ausgehen, dass Ringe eine multiplikative Identität haben, machen wir in diesem Artikel diese Annahme, sofern nicht anders angegeben.

Beispiele

Einige Beispiele für Ringe, die nicht kommutativ sind, folgen:

• Der Matrizenring von n mal n Matrizen über den reellen Zahlen , wobei n > 1 ,
• Hamiltons Quaternionen ,
• Jeder Gruppenring, der aus einer nicht abelschen Gruppe besteht ,
• Der von einer endlichen Menge erzeugte freie Ring ; ein Beispiel für zwei ungleiche Elemente sind ,${\displaystyle\mathbb{Z}\langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangle}$${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$
• Die Weyl-Algebra ist der Ring polynomialer Differentialoperatoren, die über dem affinen Raum definiert sind; wo zum Beispiel das Ideal dem Kommutator entspricht ,${\displaystyle A_{n}(\mathbb{C})}$${\displaystyle A_{1}(\mathbb{C})\cong\mathbb{C}\langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$
• Der Quotientenring, bei dem die Quantenebene genannt wird ,${\displaystyle \mathbb{C}\langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$${\displaystyle q_{ij}\in\mathbb{C}}$
• Jede Clifford-Algebra kann explizit mit einer Algebra-Präsentation beschrieben werden: Bei einem gegebenen -Vektorraum der Dimension n mit und einer quadratischen Form hat die zugehörige Clifford-Algebra die Präsentation für jede Basis von ,${\displaystyle\mathbb{F}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle q:V\otimes V\to\mathbb{F}}$${\displaystyle \mathbb{F}\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i} ,e_{j}))}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle V}$
• Superalgebren sind ein weiteres Beispiel für nichtkommutative Ringe; sie können präsentiert werden als .${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots,x_{n}]\langle \theta_{1},\ldots,\theta_{m}\rangle /(\theta_{i} \theta_{j}+\theta_{j}\theta_{i})}$

Geschichte

Beginnend mit Teilungsringen aus der Geometrie hat sich das Studium nichtkommutativer Ringe zu einem wichtigen Gebiet der modernen Algebra entwickelt. Die Theorie und Darstellung nichtkommutativer Ringe wurde im 19. und 20. Jahrhundert von zahlreichen Autoren erweitert und verfeinert. Eine unvollständige Liste solcher Mitwirkender umfasst E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Erz und andere.

Unterschiede zwischen kommutativer und nichtkommutativer Algebra

Da nichtkommutative Ringe eine viel größere Klasse von Ringen sind als die kommutativen Ringe, ist ihre Struktur und ihr Verhalten weniger gut verstanden. Es wurde viel Arbeit geleistet, um einige Ergebnisse von kommutativen Ringen auf nichtkommutative Ringe zu verallgemeinern. Ein wesentlicher Unterschied zwischen kommutativen und nicht kommutativen Ringen ist die Notwendigkeit, rechte Ideale und linke Ideale getrennt zu betrachten . Es ist üblich, dass nichtkommutative Ringtheoretiker eine Bedingung für eine dieser Arten von Idealen erzwingen, während sie nicht verlangen, dass sie für die gegenüberliegende Seite gilt. Bei kommutativen Ringen existiert die Links-Rechts-Unterscheidung nicht.

Wichtige Klassen

Teilungsringe

Ein Teilungsring, auch Schrägfeld genannt, ist ein Ring, bei dem eine Teilung möglich ist. Genauer gesagt handelt es sich um einen Ring ungleich null , in dem jedes von null verschiedene Element a eine multiplikative Inverse hat , dh ein Element x mit a · x = x · a = 1 . Anders ausgedrückt ist ein Ring genau dann ein Divisionsring, wenn die Gruppe von Einheiten gleich der Menge aller von Null verschiedenen Elemente ist.

Divisionsringe unterscheiden sich von Feldern nur dadurch, dass ihre Multiplikation nicht kommutativ sein muss . Nach dem kleinen Satz von Wedderburn sind jedoch alle endlichen Teilungsringe kommutativ und daher endliche Körper . Historisch wurden Teilungsringe manchmal als Felder bezeichnet, während Felder als "kommutative Felder" bezeichnet wurden.

Halbeinfache Ringe

Ein Modul über einen (nicht notwendigerweise kommutativen) Ring mit der Einheit genannten halbeinfach (oder vollständig reduzierbar) sein , wenn es das ist direkte Summe von einfachen (irreduziblen) Submodule.

Ein Ring heißt (links)-halbeinfach, wenn er als linkes Modul über sich selbst halbeinfach ist. Überraschenderweise ist ein links-halbeinfacher Ring auch rechts-halbeinfach und umgekehrt. Die Links/Rechts-Unterscheidung ist daher nicht erforderlich.

Halbprimitive Ringe

Ein halbprimitiver Ring oder halbeinfacher Jacobson-Ring oder J-halbeinfacher Ring ist ein Ring, dessen Jacobson-Radikal null ist. Dies ist ein allgemeinerer Ringtyp als ein halbeinfacher Ring , bei dem einfache Module jedoch immer noch genügend Informationen über den Ring liefern. Ringe wie der Ring der ganzen Zahlen sind halbprimitiv, und ein artinischer halbprimitiver Ring ist nur ein halbeinfacher Ring . Semiprimitive Ringe können verstanden werden als subdirekte Produkte von primitiven Ringe , die durch die beschriebenen Jacobson Dichte Satz .

Einfache Ringe

Ein einfacher Ring ist ein Nicht-Null- Ring , der außer dem Nullideal und sich selbst kein zweiseitiges Ideal hat. Ein einfacher Ring kann immer als einfache Algebra betrachtet werden . Ringe, die einfach als Ringe, aber nicht als Module sind, existieren: Der volle Matrixring über einem Körper hat keine nichttrivialen Ideale (da jedes Ideal von M( n , R ) die Form M( n , I ) mit I an . hat Ideal von R ), hat aber nichttriviale linke Ideale (nämlich die Matrizenmengen, die einige feste Nullspalten haben).

Nach dem Artin-Wedderburn-Theorem ist jeder einfache Ring, der links oder rechts Artinian ist, ein Matrixring über einem Teilungsring . Insbesondere sind die einzigen einfachen Ringe, die ein endlichdimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen sind, Ringe von Matrizen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder den Quaternionen .

Jeder Quotient eines Rings durch ein maximales Ideal ist ein einfacher Ring. Ein Feld ist insbesondere ein einfacher Ring. Ein Ring R ist einfach, wenn und nur sein Gegenring R ^o einfach ist.

Ein Beispiel für einen einfachen Ring, der kein Matrixring über einem Teilungsring ist, ist die Weyl-Algebra .

Wichtige Sätze

Wedderburns kleiner Satz

Der kleine Satz von Wedderburn besagt, dass jedes endliche Gebiet ein Körper ist . Mit anderen Worten, bei endlichen Ringen gibt es keine Unterscheidung zwischen Domänen, Teilungsringen und Körpern.

Der Satz von Artin-Zorn verallgemeinert den Satz auf alternative Ringe : Jeder endliche einfache alternative Ring ist ein Körper.

Artin-Wedderburn-Theorem

Der Artin-Wedderburn-Satz ist ein Klassifikationssatz für halbeinfache Ringe und halbeinfache Algebren . Der Satz besagt, dass ein (artinischer) halbeinfacher Ring R isomorph zu einem Produkt von endlich vielen n _i -by- n _i Matrixringen über Teilungsringen D _{i ist} , für einige ganze Zahlen n _i , die beide bis auf die Permutation von eindeutig bestimmt sind der Index i . Insbesondere ist jeder einfache linke oder rechte Artinsche Ring isomorph zu einem n- mal- n- Matrixring über einem Teilungsring D , wobei sowohl n als auch D eindeutig bestimmt sind.

Als direkte Folgerung impliziert der Satz von Artin-Wedderburn, dass jeder einfache Ring, der über einem Teilungsring (einer einfachen Algebra) endlichdimensional ist, ein Matrixring ist . Dies ist das ursprüngliche Ergebnis von Joseph Wedderburn . Emil Artin verallgemeinerte es später auf den Fall der Artinischen Ringe.

Jacobson-Dichtesatz

Der Dichtesatz von Jacobson ist ein Satz über einfache Module über einem Ring R .

Der Satz kann angewendet werden, um zu zeigen, dass jeder primitive Ring als "dichter" Teilring des Rings der linearen Transformationen eines Vektorraums angesehen werden kann. Dieser Satz erschien erstmals 1945 in der Literatur in der berühmten Arbeit "Strukturtheorie einfacher Ringe ohne Endlichkeitsannahmen" von Nathan Jacobson . Dies kann als eine Art Verallgemeinerung der Schlussfolgerung des Artin-Wedderburn-Satzes über die Struktur einfacher Artin- Ringe angesehen werden .

Formal kann das Theorem wie folgt formuliert werden:

Der Jacobson-Dichtesatz. Sei U ein einfacher rechter R -Modul, D = End( U _R ) und X ⊂ U eine endliche und D -linear unabhängige Menge. Wenn A a D -linear - Transformation an U dann existiert r ∈ R , so daß A ( x ) = x • r für alle x in X .

Nakayamas Lemma

Sei J( R ) das Jacobson-Radikal von R . Wenn U ein Rechtsmodul über einem Ring, R und I ein Rechtsideal in R ist , dann definiere U · I als die Menge aller (endlichen) Summen von Elementen der Form u · i , wobei · einfach die Wirkung von R auf U . U · I ist notwendigerweise ein Untermodul von U .

Wenn V a ist eine maximale Submodul von U , dann U / V ist einfach . Also ist U · J( R ) notwendigerweise eine Teilmenge von V , nach der Definition von J( R ) und der Tatsache, dass U / V einfach ist. Wenn U also mindestens einen (eigentlich) maximalen Untermodul enthält, ist U · J( R ) ein echter Untermodul von U . Dies muss jedoch nicht für beliebige Module U über R gelten , denn U braucht keine maximalen Untermodule zu enthalten. Wenn U ein Noethersches Modul ist, gilt dies natürlich . Wenn R Noetherian ist, und U ist endlich erzeugt , dann U ist ein Noetherian Modul über R , und die Schlussfolgerung erfüllt ist. Bemerkenswert ist, dass die schwächere Annahme, dass U endlich als R -Modul erzeugt wird (und keine Endlichkeitsannahme für R ), ausreicht, um die Konklusion zu garantieren. Dies ist im Wesentlichen die Aussage des Lemmas von Nakayama.

Genau, man hat folgendes.

Lemma von Nakayama : Sei U ein endlich erzeugter rechter Modul über einem Ring R . Ist U ein Modul ungleich Null, dann ist U · J( R ) ein echter Untermodul von U .

Eine Version des Lemmas gilt für rechte Module über nichtkommutativen unitären Ringen R . Der resultierende Satz wird manchmal als Jacobson-Azumaya-Satz bezeichnet .

Nichtkommutative Lokalisierung

Lokalisierung ist eine systematische Methode zum Hinzufügen multiplikativer Inversen zu einem Ring und wird normalerweise auf kommutative Ringe angewendet. Bei einem gegebenen Ring R und einer Teilmenge S möchte man einen Ring R* und einen Ringhomomorphismus von R zu R* konstruieren , so dass das Bild von S aus Einheiten (invertierbaren Elementen) in R* besteht . Außerdem möchte man, dass R* der 'bestmögliche' oder 'allgemeinste' Weg ist, dies zu tun – in der üblichen Weise sollte dies durch eine universelle Eigenschaft ausgedrückt werden . Die Lokalisierung von R durch S wird normalerweise mit S  ⁻¹ R bezeichnet ; in einigen wichtigen Sonderfällen werden jedoch andere Notationen verwendet. Wenn S die Menge der Nicht-Null-Elemente eines ganzzahligen Bereichs ist , dann ist die Lokalisierung das Feld der Brüche und wird daher gewöhnlich als Frac( R ) bezeichnet.

Die Lokalisierung nichtkommutativer Ringe ist schwieriger; die Lokalisierung existiert nicht für jede Menge S potenzieller Einheiten. Eine Bedingung, die sicherstellt, dass die Lokalisierung existiert, ist die Erzbedingung .

Ein Fall für nichtkommutative Ringe, bei dem die Lokalisierung ein klares Interesse hat, sind Ringe von Differentialoperatoren. Es hat beispielsweise die Interpretation, dass eine formale Inverse D ⁻¹ für einen Differentiationsoperator D angefügt wird . Dies geschieht in vielen Zusammenhängen bei Methoden für Differentialgleichungen . Es gibt jetzt eine große mathematische Theorie dazu, die als Mikrolokalisation bezeichnet wird und mit zahlreichen anderen Zweigen in Verbindung steht. Der Mikrotag hat vor allem mit Verbindungen zur Fourier-Theorie zu tun .

Morita-Äquivalenz

Morita-Äquivalenz ist eine zwischen Ringen definierte Beziehung , die viele ringtheoretische Eigenschaften bewahrt. Es ist nach dem japanischen Mathematiker Kiiti Morita benannt, der 1958 Äquivalenz und einen ähnlichen Begriff von Dualität definierte.

Zwei Ringe R und S (assoziativ, mit 1) heißen ( Morita ) äquivalent, wenn eine Äquivalenz der Kategorie der (linken) Module über R , R-Mod und der Kategorie der (linken) Module über S besteht , S-Mod . Es kann gezeigt werden, dass die linken Modulkategorien R-Mod und S-Mod genau dann gleichwertig sind, wenn die rechten Modulkategorien Mod-R und Mod-S gleichwertig sind. Weiterhin kann gezeigt werden, dass jeder Funktor von R-Mod bis S-Mod , der eine Äquivalenz liefert, automatisch additiv ist .

Brauer-Gruppe

Der Brauer Gruppe eines Feldes K ist eine abelschen Gruppe , deren Elemente Morita Äquivalenzklassen zentrale einfache algebras endlicher Rang über K und zusätzlich wird durch die induzierte Tensorprodukt von algebras. Sie entstand aus Versuchen, Divisionsalgebren über ein Körper zu klassifizieren und ist nach dem Algebraisten Richard Brauer benannt . Die Gruppe kann auch im Sinne der Galois-Kohomologie definiert werden . Allgemeiner wird die Brauer-Gruppe eines Schemas in Begriffen von Azumaya-Algebren definiert .

Erzbedingungen

Die Ore-Bedingung ist eine von Øystein Ore eingeführte Bedingung im Zusammenhang mit der Frage, über die kommutativen Ringe hinaus die Konstruktion eines Feldes von Brüchen oder allgemeiner die Lokalisierung eines Rings zu erweitern . Die rechte Ore Bedingung für eine multiplikative Untergruppe S aus einem Ring R ist , dass für eine ∈ R und s ∈ S die Kreuzung aS ∩ sR ≠ ∅ . Eine Domäne, die die richtige Erzbedingung erfüllt, wird als rechte Erzdomäne bezeichnet . Der linke Fall ist ähnlich definiert.

Theorem von Goldie

In der Mathematik ist der Satz von Goldie ein grundlegendes strukturelles Ergebnis der Ringtheorie , das in den 1950er Jahren von Alfred Goldie bewiesen wurde . Was jetzt als rechter Goldie-Ring bezeichnet wird, ist ein Ring R , der eine endliche einheitliche Dimension (auch "endlicher Rang" genannt) als einen rechten Modul über sich selbst hat und die aufsteigende Kettenbedingung für rechte Annihilatoren von Teilmengen von R erfüllt .

Der Satz von Goldie besagt, dass die halbprimen rechten Goldie-Ringe genau diejenigen sind, die einen halbeinfachen Artinschen rechten klassischen Ring von Quotienten haben . Die Struktur dieses Quotientenrings wird dann vollständig durch das Artin-Wedderburn-Theorem bestimmt .

Insbesondere gilt der Satz von Goldie für halbprimäre rechtsnoethersche Ringe , da rechtsnoethersche Ringe definitionsgemäß die aufsteigende Kettenbedingung für alle Rechtsideale haben. Dies reicht aus, um zu garantieren, dass ein rechts-noetherscher Ring richtig Goldie ist. Das Umgekehrte gilt nicht: Jedes rechte Ore-Gebiet ist ein rechtes Goldie-Gebiet und somit auch jedes kommutative Integralgebiet .

Eine Folge von Goldie-Theorem wieder wegen Goldie ist, dass jeder semiprim Haupt rechts ideal Ring auf eine endliche direkte Summe von isomorph ist prime Haupt rechts ideal Ringe. Jeder rechtsideale Primhauptring ist isomorph zu einem Matrixring über einem rechten Erzgebiet.

Siehe auch

• Abgeleitete algebraische Geometrie
• Nichtkommutative algebraische Geometrie
• Nichtkommutative harmonische Analyse
• Darstellungstheorie (Gruppentheorie)

Anmerkungen

Verweise

• Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, a Graduate Course (1. Aufl.), Brooks/Cole , ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, N. (1945), "Strukturtheorie einfacher Ringe ohne Endlichkeitsannahmen", Transactions of the American Mathematical Society , 57 : 228–245, doi : 10.2307/1990204 , JSTOR  1990204
• Nagata, M. (1962), Lokale Ringe , Wiley-Interscience

Weiterlesen

• Herstein, IN (1968), Nichtkommutative Ringe , Mathematical Association of America , ISBN 0-88385-015-X
• Lam, TY (2001), Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen , Springer-Verlag