Vektormodell des Atoms - Vector model of the atom

In der Physik , insbesondere der Quantenmechanik , ist das Vektormodell des Atoms ein Modell des Atoms in Bezug auf den Drehimpuls . Es kann als Erweiterung des Rutherford-Bohr-Sommerfeld-Atommodells auf Mehrelektronenatome angesehen werden.

Einführung

Darstellung des Vektormodells des Drehimpulses.

Das Modell ist eine bequeme Darstellung der Drehimpulse der Elektronen im Atom. Der Drehimpuls wird immer in das Orbital L , den Spin S und das Gesamt- J aufgeteilt :

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

Da in der Quantenmechanik der Drehimpuls quantisiert wird und für die Komponenten jedes Vektors eine Unsicherheitsrelation besteht, ist die Darstellung recht einfach (obwohl die Hintergrundmathematik recht komplex ist). Geometrisch handelt es sich um einen diskreten Satz von rechtskreisförmigen Kegeln ohne kreisförmige Basis, bei dem die Achsen aller Kegel auf einer gemeinsamen Achse ausgerichtet sind, üblicherweise der z-Achse für dreidimensionale kartesische Koordinaten. Es folgt der Hintergrund dieser Konstruktion.

Mathematischer Hintergrund von Drehimpulsen

Kegel des Spin-Drehimpulses, hier für ein Spin-1/2-Teilchen gezeigt

Der Kommutator impliziert, dass für jedes von L , S und J zu jedem Zeitpunkt nur eine Komponente eines Drehimpulsvektors gemessen werden kann; Gleichzeitig sind die beiden anderen unbestimmt. Der Kommutator von zwei beliebigen Drehimpulsoperatoren (entsprechend den Komponentenrichtungen) ist ungleich Null. Es folgt eine Zusammenfassung der relevanten Mathematik bei der Erstellung des Vektormodells.

Die Kommutierungsrelationen sind (unter Verwendung der Einstein-Summationskonvention ):

{\ displaystyle {\ begin {align} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {L. }} _ {c} \\ & [{\ hat {S}} _ {a}, {\ hat {S}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {S} } _ {c} \\\ end {align}}}

wo

L = ( L ₁ , L ₂ , L ₃ ), S = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) und J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) (diese entsprechen L = ( L _x , L _y) , L _z ), S = ( S _x , S _y , S _z ) und J = ( J _x , J _y , J _z ) in kartesischen Koordinaten),
a , b , c ∊ {1,2,3} sind Indizes, die die Komponenten der Drehimpulse kennzeichnen
ε _abc ist der 3-Index- Permutationstensor in 3-d.

Die Größen von L , S und J jedoch können zur gleichen Zeit gemessen werden, da die Kommutierung des Quadrates eines Drehimpulsoperators (full resultierenden, nicht - Komponenten) mit einem Bauteil gleich Null ist , so die gleichzeitige Messung von mit , mit und mit befriedigen: ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {S}} _ { a}, {\ hat {S}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {J}} _ {a}, {\ hat {J}} ^ {2}] = 0 \\\ Ende {ausgerichtet}}}

Die Größen erfüllen alle folgenden Anforderungen hinsichtlich Operatoren und Vektorkomponenten:

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ hat {L}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat {S}} ^ {2} = {\ hat {S}} _ {x } ^ {2} + {\ hat {S}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {S}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf { S} \ cdot \ mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat { J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z } ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, \\\ end {align}}}

und Quantenzahlen:

{\ displaystyle {\ begin {align} & | \ mathbf {L} | = \ hbar {\ sqrt {\ ell (\ ell +1)}}, \ quad L_ {z} = m _ {\ ell} \ hbar, \\ & | \ mathbf {S} | = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1)}}, \ quad S_ {z} = m_ {s} \ hbar, \\ & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}}, \ quad J_ {z} = m_ {j} \ hbar, \\\ end {align}}}

wo

${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ ist die azimutale Quantenzahl ,
s ist die Spinquantenzahl intrinsische auf die Art der Teilchen,
j ist die gesamte Drehimpulsquantenzahl ,

welche jeweils die Werte annehmen:

{\ displaystyle {\ begin {align} & m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, - (\ ell -1) \ cdots \ ell -1, \ ell \}, \ quad \ ell \ in \ {0 , 1 \ cdots n-1 \} \\ & m_ {s} \ in \ {- s, - (s-1) \ cdots s-1, s \}, \\ & m_ {j} \ in \ {- j , - (j-1) \ cdots j-1, j \}, \\ & m_ {j} = m _ {\ ell} + m_ {s}, \ quad j = | \ ell + s | \\\ end { ausgerichtet}}}

Diese mathematischen Fakten legen das Kontinuum aller möglichen Drehimpulse für eine entsprechende spezifizierte Quantenzahl nahe:

Eine Richtung ist konstant, die anderen beiden sind variabel.
Die Größe der Vektoren muss konstant sein (für einen bestimmten Zustand, der der Quantenzahl entspricht), daher müssen die beiden unbestimmten Komponenten jedes der Vektoren auf einen Kreis beschränkt sein, so dass die messbaren und nicht messbaren Komponenten ( zu einem bestimmten Zeitpunkt) ermöglichen, dass die Größen für alle möglichen unbestimmten Komponenten korrekt konstruiert werden.

Das geometrische Ergebnis ist ein Kegel von Vektoren, der Vektor beginnt an der Spitze des Kegels und seine Spitze erreicht den Umfang des Kegels. Es ist üblich, die z-Komponente für die messbare Komponente des Drehimpulses zu verwenden, daher muss die Achse des Kegels die z-Achse sein, die vom Scheitelpunkt zur Ebene gerichtet ist, die durch die kreisförmige Basis des Kegels senkrecht zur Ebene definiert ist . Für verschiedene Quantenzahlen sind die Kegel unterschiedlich. Es gibt also eine diskrete Anzahl von Zuständen, in denen die Drehimpulse sein können, die durch die obigen möglichen Werte für , s und j bestimmt werden . Bei Verwendung des vorherigen Aufbaus des Vektors als Teil eines Kegels muss jeder Zustand einem Kegel entsprechen. Dies ist für die Erhöhung , s und j , und abnehmenden , s und j > Negative Quantenzahlen entsprechen den Zapfen in der reflektierten x - y - Ebene. Einer dieser Zustände, für eine Quantenzahl gleich Null ist , entspricht eindeutig nicht zu einem Kegel, nur ein Kreis in der x - y - Ebene. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$

Die Anzahl der Kegel (einschließlich des entarteten planaren Kreises) entspricht der Vielzahl der Zustände . ${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ ell +1}$

Bohr-Modell

Es kann als Erweiterung des Bohr-Modells angesehen werden, da Niels Bohr auch vorschlug, dass der Drehimpuls wie folgt quantisiert wurde:

{\ displaystyle L = m \ hbar}

wobei m eine ganze Zahl ist, wurden korrekte Ergebnisse für das Wasserstoffatom erzeugt. Obwohl das Bohr-Modell nicht für Mehrelektronenatome gilt, war es die erste erfolgreiche Quantisierung des Drehimpulses, der auf das Atom angewendet wurde, vor dem Vektormodell des Atoms.

Hinzufügen von Drehimpulsen

Für Einelektronenatome (dh Wasserstoff) gibt es nur einen Satz von Kegeln für das umlaufende Elektron. Für Mehrelektronenatome gibt es aufgrund der zunehmenden Anzahl von Elektronen viele Zustände.

Die Drehimpulse aller Elektronen im Atom addieren sich vektoriell . Die meisten atomaren Prozesse, sowohl nukleare als auch chemische (elektronische) - mit Ausnahme des absolut stochastischen Prozesses des radioaktiven Zerfalls - werden durch Spinpaarung und Kopplung von Drehimpulsen aufgrund benachbarter Nukleonen und Elektronen bestimmt. Der Begriff "Kopplung" bedeutet in diesem Zusammenhang die Vektorüberlagerung von Drehimpulsen, dh Größen und Richtungen werden addiert.

In Mehrelektronenatomen beträgt die Vektorsumme zweier Drehimpulse:

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {1} + \ mathbf {J} _ {2} \, \!}

Für die Z-Komponente lauten die projizierten Werte:

{\ displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} \, \!}

wo

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {J} _ {z} = m_ {j} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} \ hbar \\\ end {align}} \, \!}

und die Größen sind:

{\ displaystyle {\ begin {align} & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {1} | = \ hbar { \ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {2} | = \ hbar {\ sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} \\\ end {align}}}

in welchem

{\ displaystyle j \ in \ {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 \ cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} \} \, \!}

Dieser Vorgang kann für ein drittes Elektron, dann für das vierte usw. wiederholt werden, bis der gesamte Drehimpuls gefunden wurde.

LS-Kupplung

Abbildung der LS-Kopplung. Der Gesamtdrehimpuls J ist lila, die Umlaufbahn L ist blau und der Spin S ist grün.

Das Addieren aller Drehimpulse ist eine mühsame Aufgabe, da die resultierenden Impulse nicht eindeutig sind, müssen die gesamten Kegel der vorausgehenden Impulse um die z-Achse in die Berechnung einbezogen werden. Dies kann durch einige entwickelte Näherungen vereinfacht werden - wie das Russell-Saunders-Kopplungsschema in der LS-Kopplung , benannt nach HN Russell und FA Saunders (1925).

Siehe auch

Verweise

Quantenphysik von Atomen, Molekülen, Festkörpern, Kernen und Teilchen (2. Auflage) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

Weiterführende Literatur

Atomic Vielteilchentheorie , I. Lindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Serien in: Chemische Physik N ^o 13, 1982, ISBN, Diplom - Ebene Monographie über Vielteilchentheorie im Zusammenhang mit der Drehimpuls, mit viel Gewicht auf die grafische Darstellung und Methoden.
Quantenmechanik entmystifiziert , D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN 0-07-145546-9

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