Kasner Metrik - Kasner metric

Teil einer Artikelserie über
Generelle Relativität
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Einführung Geschichte Mathematische Formulierung Tests
Grundsätzliche Konzepte Relativitätsprinzip Relativitätstheorie Bezugsrahmen Trägheitsreferenzrahmen Restrahmen Schwerpunktrahmen Äquivalenzprinzip Masse-Energie-Äquivalenz Spezielle Relativität Doppelte spezielle Relativitätstheorie de Sitter invariante spezielle Relativitätstheorie Weltlinie Riemannsche Geometrie
Phänomene Gravitoelektromagnetismus Kepler Problem Schwere Schwerkraftfeld Schwerkraft gut Gravitationslinsen Gravitationswellen Gravitationsrotverschiebung Rotverschiebung Blauverschiebung Zeitdilatation Gravitationszeitdilatation Shapiro Zeitverzögerung Gravitationspotential Gravitationskompression Gravitationskollaps Frame-Dragging Geodätischer Effekt Scheinbarer Horizont Ereignishorizont Gravitationssingularität Nackte Singularität Schwarzes Loch Weißes Loch Freizeit Platz Zeit Raumzeitdiagramme Minkowski Raumzeit Geschlossene zeitliche Kurve (CTC) Wurmloch Ellis Wurmloch
Gleichungen Formalismen Gleichungen Linearisierte Schwerkraft Einstein-Feldgleichungen Friedmann Geodäten Mathisson-Papapetrou-Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Krümmungsinvariante (allgemeine Relativitätstheorie) Lorentzsche Mannigfaltigkeit Formalismen ADM BSSN Newman-Penrose Post-Newtonian Fortgeschrittene Theorie Kaluza-Klein-Theorie Quantengravitation Supergravitation
Lösungen Schwarzschild ( Innenraum ) Reissner - Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman Kasner Lemaître-Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-Welle van Stockum Staub Weyl-Lewis-Papapetrou Vakuumlösung
Theoreme Satz von Birkhoff Gerochs Spaltungssatz Goldberg-Sachs-Theorem Lovelocks Satz No-Hair-Theorem Penrose-Hawking-Singularitätssätze Positiver Energiesatz
Wissenschaftler Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Gehhilfe Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Neuer Mann Yau Dorn Andere
v t e

Abbildung 1. Dynamik der Kasner-Metriken Gl. 2 in sphärischen Koordinaten in Richtung Singularität. Die Lifshitz-Khalatnikov Parameter sind u = 2 (1 / u = 0,5) , und die r - Koordinate 2 P _α (1 / u ) τ wobei τ logarithmische Zeit ist: τ = ln t . Das Schrumpfen entlang der Achsen ist linear und gleichmäßig (keine Chaotizität).

Die Kasner Metrik (entwickelt von und für den amerikanischen Mathematiker namens Edward Kasner 1921) ist eine exakte Lösung zu Albert Einstein ‚s Theorie der allgemeinen Relativitätstheorie . Es beschreibt ein anisotropes Universum ohne Materie (dh es ist eine Vakuumlösung ). Es kann in jedem geschrieben wird Raum - Zeit - Dimension und hat starke Verbindungen mit dem Studium des Gravitations Chaos . ${\ displaystyle D> 3}$

Metrik und Bedingungen

Die Metrik in Raumzeitdimensionen ist ${\ displaystyle D> 3}$

${\ displaystyle {\ text {d}} s ^ {2} = - {\ text {d}} t ^ {2} + \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} t ^ {2p_ {j }} [{\ text {d}} x ^ {j}] ^ {2}}$,

und enthält Konstanten , die als Kasner-Exponenten bezeichnet werden. Die Metrik beschreibt eine Raumzeit, deren zeitgleiche Schichten räumlich flach sind, wobei sich der Raum jedoch je nach den Werten der mit unterschiedlichen Raten in verschiedene Richtungen ausdehnt oder zusammenzieht . Testpartikel in dieser Metrik, deren kommende Koordinate sich durch unterscheidet, sind durch einen physikalischen Abstand voneinander getrennt . ${\ displaystyle D-1}$${\ displaystyle p_ {j}}$${\ displaystyle p_ {j}}$${\ displaystyle \ Delta x ^ {j}}$${\ displaystyle t ^ {p_ {j}} \ Delta x ^ {j}}$

Die Kasner-Metrik ist eine exakte Lösung für Einsteins Gleichungen im Vakuum, wenn die Kasner-Exponenten die folgenden Kasner-Bedingungen erfüllen:

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} = 1,}$

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = 1.}$

Die erste Bedingung definiert eine Ebene , die Kasner-Ebene, und die zweite beschreibt eine Kugel , die Kasner-Kugel. Die Lösungen (Auswahlmöglichkeiten ), die die beiden Bedingungen erfüllen, liegen daher auf der Kugel, in der sich die beiden schneiden (manchmal verwirrenderweise auch als Kasner-Kugel bezeichnet). In Raumzeitdimensionen liegt der Raum der Lösungen daher auf einer dimensionalen Kugel . ${\ displaystyle p_ {j}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D-3}$${\ displaystyle S ^ {D-3}}$

Eigenschaften

Die Kasner-Lösung weist mehrere bemerkenswerte und ungewöhnliche Merkmale auf:

• Das Volumen der räumlichen Schichten ist immer . Dies liegt daran, dass ihr Volumen proportional zu und ist${\ displaystyle O (t)}$${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} = t ^ {p_ {1} + p_ {2} + \ cdots + p_ {D-1}} = t}$

wo wir die erste Kasner-Bedingung verwendet haben. Daher kann je nach Sinn entweder ein Urknall oder ein Urknirschen beschrieben werden${\ displaystyle t \ to 0}$${\ displaystyle t}$

• Eine isotrope Expansion oder Kontraktion des Raumes ist nicht zulässig. Wenn sich die räumlichen Schichten isotrop ausdehnen, müssen alle Kasner-Exponenten gleich sein und daher die erste Kasner-Bedingung erfüllen. Aber dann kann die zweite Kasner-Bedingung nicht erfüllt werden, z${\ displaystyle p_ {j} = 1 / (D-1)}$

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = {\ frac {1} {D-1}} \ neq 1.}$

Die in der Kosmologie verwendete Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik kann sich dagegen aufgrund der Anwesenheit von Materie isotrop ausdehnen oder zusammenziehen.

• Mit etwas mehr Arbeit kann man zeigen, dass mindestens ein Kasner-Exponent immer negativ ist (es sei denn, wir sind bei einer der Lösungen mit einer einzigen und der Rest verschwindet). Angenommen, wir nehmen die Zeitkoordinate , um von Null zu steigen. Dies impliziert dann, dass sich, während das Raumvolumen wie zunimmt , mindestens eine Richtung (entsprechend dem negativen Kasner-Exponenten) tatsächlich zusammenzieht.${\ displaystyle p_ {j} = 1}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$
• Die Kasner-Metrik ist eine Lösung für die Vakuum-Einstein-Gleichungen, und so verschwindet der Ricci-Tensor immer für jede Auswahl von Exponenten, die die Kasner-Bedingungen erfüllen. Der volle Riemann-Tensor verschwindet nur, wenn ein einzelner und der Rest verschwinden. In diesem Fall ist der Raum flach. Die Minkowski-Metrik kann über die Koordinatentransformation und wiederhergestellt werden .${\ displaystyle p_ {j} = 1}$${\ displaystyle t '= t \ cosh x_ {j}}$${\ displaystyle x_ {j} '= t \ sinh x_ {j}}$

Siehe auch

• BKL Singularität
• Mixmaster Universum

Anmerkungen

Verweise

• Misner, Charles W.; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (September 1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.