Reissner-Nordström-Metrik - Reissner–Nordström metric

${\displaystyle \varepsilon_{0}}$

Die Gesamtmasse des Zentralkörpers und seine irreduzible Masse hängen zusammen durch

$${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac{Q^{2}}{16\pi \varepsilon_{0}GM_{\rm {irr}}}}}+M_{\rm {irr}}.}$$

Der Unterschied zwischen und ist auf die

${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

In der Grenze, dass die Ladung (oder äquivalent die Längenskala ) gegen Null geht, erhält man die

${\displaystyle Q}$

${\displaystyle r_{Q}}$

${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

${\displaystyle r_{Q}/r}$

${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

In der Praxis ist das Verhältnis oft extrem klein. Zum Beispiel beträgt der Schwarzschildradius der

${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

${\displaystyle r}$

Aufgeladene Schwarze Löcher

Obwohl geladene Schwarze Löcher mit r _Q  ≪ r _s dem Schwarzschild-Schwarzen Loch ähnlich sind , haben sie zwei Horizonte: den Ereignishorizont und einen internen Cauchy-Horizont . Wie bei der Schwarzschild-Metrik liegen die Ereignishorizonte für die Raumzeit dort, wo die metrische Komponente divergiert; das ist wo ${\displaystyle g_{rr}}$

$${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=- {\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Diese Gleichung hat zwei Lösungen:

$${\displaystyle r_{\pm}={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_ {\rm {Q}}^{2}}}\right).}$$

Dieser konzentrische Ereignishorizont wird degenerierter 2 R _Q  = R _s , das entspricht ein extremalen schwarzes Loch . Schwarze Löcher mit 2 r _Q  > r _s können in der Natur nicht existieren, denn wenn die Ladung größer als die Masse ist, kann es keinen physikalischen Ereignishorizont geben (der Term unter der Quadratwurzel wird negativ). Objekte mit einer Ladung, die größer als ihre Masse ist, können in der Natur existieren, aber sie können nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren, und wenn sie könnten, würden sie eine nackte Singularität aufweisen . Theorien mit Supersymmetrie garantieren normalerweise, dass solche "superextremen" Schwarzen Löcher nicht existieren können.

Das elektromagnetische Potential ist

$${\displaystyle A_{\alpha}=(Q/r,0,0,0).}$$

Werden magnetische Monopole in die Theorie einbezogen, so erhält man eine Verallgemeinerung auf die Einbeziehung der magnetischen Ladung P , indem man Q ² durch Q ² + P ² in der Metrik ersetzt und den Term P  cos  θ  dφ in das elektromagnetische Potential

Gravitationszeitdilatation

Die gravitative Zeitdilatation in der Nähe des Zentralkörpers ist gegeben durch

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}}, }$$

$${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma}}.}$$

Christoffel-Symbole

Die Christoffel-Symbole

$${\displaystyle \Gamma_{jk}^{i}=\sum_{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{ \partial x^{s}}}\right)}$$

$${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\r,\\theta,\\varphi\}}$$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Gamma_{tr}^{t}&={\frac {Herr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr) }}\\[6pt]\Gamma_{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right )}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma_{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{ 2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma_{\theta\theta}^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{ r}}\\[6pt]\Gamma_{\varphi\varphi}^{r}&=-{\frac {\sin^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{ 2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma_{\theta r}^{\theta}&={\frac{1}{r}}\\[6pt]\Gamma_{\ varphi \varphi}^{\theta}&=-\sin\theta\cos\theta\[6pt]\Gamma_{\varphi r}^{\varphi}&={\frac {1}{r}} \\[6pt]\Gamma_{\varphi\theta}^{\varphi}&=\cot\theta\end{ausgerichtet}}}$$

Mit den Christoffel-Symbolen kann man die Geodäten eines Testteilchens berechnen.

Bewegungsgleichungen

Wegen der Kugelsymmetrie der Metrik kann das Koordinatensystem immer so ausgerichtet werden, dass die Bewegung eines Testteilchens auf eine Ebene beschränkt ist, daher verwenden wir der Kürze und ohne Einschränkung der Allgemeinheit θ statt φ . In dimensionslosen natürlichen Einheiten von G  =  M  =  c  =  K  = 1 ist die Bewegung eines elektrisch geladenen Teilchens mit der Ladung q gegeben durch

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum_{j=0}^{3}\ \sum_{k=0}^{3}\ \Gamma_{jk}^{ i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_ {k}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot { r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2 }}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{ 2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta}}^{2}}{r}}+{\frac {qQ( r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {\theta}}=-{\frac {2\ {\dot {\theta}}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Alle totalen Ableitungen beziehen sich auf die Eigenzeit . ${\displaystyle {\dot{a}}={\frac {da}{d\tau}}}$

Konstanten der Bewegung werden durch Lösungen der partiellen Differentialgleichung geliefert${\displaystyle S(t,{\dot{t}},r,{\dot{r}},\theta,{\dot{\theta}},\varphi,{\dot{\varphi}})}$

$${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{ \dot {\theta}}{\frac {\partial S}{\partial\theta}}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}} +{\ddot{r}}{\frac{\partial S}{\partial{\dot{r}}}}+{\ddot{\theta}}{\frac{\partial S}{\partial{\ Punkt {\theta}}}}}$$

$${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{ 2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_ {Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\ theta }}^{2}.}$$

Die trennbare Gleichung

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta}}}}=0}$$

$${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta}};}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2}) }}{\dot{t}}{\frac{\partial S}{\partial{\dot{t}}}}=0}$$

$${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac { qQ}{r}}.}$$

Substituieren und in Ausbeuten der radiale Gleichung ${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{1}}$

$${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q ^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}rQ^{2}L^{2}}}}.}$$

Multiplizieren unter dem Integralzeichen mit ergibt die Orbitalgleichung ${\displaystyle S_{2}}$

$${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-( Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}rQ^{2}L^{2}}}}.}$$

Die gesamte Zeitdilatation zwischen den Test-Teilchen und einem Beobachter im Unendlichen

$${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2}) }}.}$$

Die ersten Ableitungen und die

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$

${\displaystyle v^{i}}$

$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$

$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v ^{2})}}}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\theta}}={\frac {v_{\perp}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

Die spezifische Bahnenergie

$${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ }{R}}}$$

$${\displaystyle L={\frac {v_{\perp}\r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$

${\displaystyle v_{\parallel}}$

${\displaystyle v_{\perp}}$

$${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp}^{2}+v_{\parallel}^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{ 2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Alternative Formulierung der Metrik

Die Metrik kann alternativ wie folgt ausgedrückt werden:

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}g_{\mu\nu}&=\eta_{\mu\nu}+fk_{\mu}k_{\nu}\\[5pt]f&={\frac {G }{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z}) =\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&= 1.\end{ausgerichtet}}}$$

Beachten Sie, dass k ein Einheitsvektor ist . Dabei ist M die konstante Masse des Objekts, Q die konstante Ladung des Objekts und η der Minkowski-Tensor .

Siehe auch

• Schwarzes Loch Elektron

Anmerkungen

Verweise

• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1965). Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie . New York: McGraw-Hill-Buchgesellschaft. S.  395–401 . ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, Robert M. (1984). Allgemeine Relativitätstheorie . Chicago: Die University of Chicago Press. S. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8. Abgerufen am 27. April 2013 .

Externe Links

• Raumzeit-Diagramme einschließlich Finkelstein-Diagramm und Penrose-Diagramm von Andrew JS Hamilton
• " Particle Moving Around Two Extreme Black Holes " von Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .