Axiom der Bestimmtheit - Axiom of determinacy

In der Mathematik ist das Axiom der Determiniertheit (abgekürzt als AD ) ein mögliches Axiom für die Mengenlehre, das 1962 von Jan Mycielski und Hugo Steinhaus eingeführt wurde. Es bezieht sich auf bestimmte topologische Zwei-Personen- Spiele der Länge ω . AD besagt , dass jedes Spiel eines bestimmten Typs ist fest entschlossen ; das heißt, einer der beiden Spieler hat eine Gewinnstrategie .

Sie motivierten AD durch seine interessanten Konsequenzen und schlugen vor, dass AD im kleinsten natürlichen Modell L(R) einer Mengenlehre wahr sein könnte , das nur eine schwache Form des Auswahlaxioms (AC) akzeptiert, aber alle reellen und alle Ordinalzahlen enthält Zahlen . Einige Konsequenzen der AD folgten aus den zuvor von Stefan Banach und Stanisław Mazur und Morton Davis bewiesenen Sätzen . Mycielski und Stanisław Świerczkowski trugen ein anderes: AD impliziert , dass alle Sätze von reellen Zahlen sind Lebesgue messbar . Später bewiesen Donald A. Martin und andere wichtigere Konsequenzen, insbesondere in der deskriptiven Mengenlehre . 1988 schlossen John R. Steel und W. Hugh Woodin eine lange Forschungslinie ab. Unter der Annahme, dass es einige unzählbare Kardinalzahlen analog zu gibt , bewiesen sie die ursprüngliche Vermutung von Mycielski und Steinhaus, dass AD in L(R) wahr ist. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Spielarten, die festgelegt werden

Das Axiom von Determiniert bezieht sich auf Spiele der folgenden speziellen Form: eine Teilmenge Betrachten A der Baire Raum & ohgr; ^{& ohgr;} aller unendlichen Folgen von natürlichen Zahlen . Zwei Spieler, I und II , wählen abwechselnd natürliche Zahlen

n ₀ , n ₁ , n ₂ , n ₃ , ...

Nach unendlich vielen Zügen wird eine Sequenz generiert. Spieler I gewinnt das Spiel genau dann, wenn die erzeugte Sequenz ein Element von A ist . Das Axiom der Bestimmtheit ist die Aussage, dass alle diese Spiele bestimmt sind. ${\displaystyle (n_{i})_{i\in\omega}}$

Nicht alle Spiele erfordern das Axiom der Bestimmtheit, um ihre Bestimmtheit zu beweisen. Wenn die Menge A ist clopen , ist das Spiel im Wesentlichen ein endliches Spiel, und wird deshalb bestimmt. Wenn A eine abgeschlossene Menge ist , wird das Spiel ähnlich bestimmt. 1975 wurde von Donald A. Martin gezeigt, dass Spiele bestimmt werden, deren Gewinnsatz ein Borel-Satz ist. Aus der Existenz hinreichend großer Kardinäle folgt, dass alle Spiele mit gewinnender Menge eine projektive Menge sind (siehe Projektive Determiniertheit ), und dass AD in L(R) gilt .

Das Bestimmtheitsaxiom impliziert, dass für jeden Unterraum X der reellen Zahlen das Banach-Mazur-Spiel BM ( X ) bestimmt ist (und daher jede Menge von reellen Zahlen die Eigenschaft von Baire besitzt ).

Inkompatibilität des Bestimmtheitsaxioms mit dem Auswahlaxiom

Die Menge S1 aller Startspielerstrategien in einem ω-Spiel G hat die gleiche Kardinalität wie das Kontinuum . Das gleiche gilt für die Menge S2 aller Zweitspielerstrategien. Wir bemerken, dass die Kardinalität der Menge SG aller in G möglichen Folgen auch das Kontinuum ist. Sei A die Teilmenge von SG aller Folgen, bei denen der erste Spieler gewinnt. Mit dem Auswahlaxiom können wir das Kontinuum gut ordnen ; außerdem können wir dies so tun, dass jeder richtige Anfangsteil nicht die Kardinalität des Kontinuums hat. Wir erzeugen ein Gegenbeispiel durch transfinite Induktion auf der Menge von Strategien unter dieser Brunnenordnung:

Wir beginnen mit der Menge A undefined. Sei T die "Zeit", deren Achse ein Längenkontinuum hat. Wir müssen alle Strategien {s1(T)} des ersten Spielers und alle Strategien {s2(T)} des zweiten Spielers berücksichtigen, um sicherzustellen, dass es für jede Strategie eine Strategie des anderen Spielers gibt, die dagegen gewinnt. Für jede Strategie des betrachteten Spielers generieren wir eine Sequenz, die dem anderen Spieler einen Gewinn beschert. Sei t die Zeit, deren Achse die Länge ℵ _{0 hat} und die während jeder Spielsequenz verwendet wird.

1. Betrachten Sie die aktuelle Strategie {s1(T)} des ersten Spielers.
2. Gehe das ganze Spiel durch und erzeuge (zusammen mit der Strategie des ersten Spielers s1(T)) eine Sequenz {a(1), b(2), a(3), b(4),...,a(t) , b(t+1),...}.
3. Entscheiden Sie, dass diese Folge nicht zu A gehört, dh s1(T) ist verloren.
4. Betrachten Sie die Strategie {s2(T)} des zweiten Spielers.
5. Gehe das nächste ganze Spiel durch und erzeuge (zusammen mit der Strategie des zweiten Spielers s2(T)) eine Folge {c(1), d(2), c(3), d(4),...,c(t ), d(t+1),...} und vergewissern Sie sich, dass sich diese Folge von {a(1), b(2), a(3), b(4),...,a(t ), b(t+1),...}.
6. Entscheiden Sie, dass diese Folge zu A gehört, dh s2(T) ist verloren.
7. Wiederholen Sie ggf. weitere Strategien, um sicherzustellen, dass bereits berücksichtigte Sequenzen nicht erneut generiert werden. (Wir beginnen mit der Menge aller Sequenzen und jedes Mal, wenn wir eine Sequenz generieren und eine Strategie widerlegen, projizieren wir die generierte Sequenz auf die Züge des ersten Spielers und auf die Züge des zweiten Spielers, und wir nehmen die beiden resultierenden Sequenzen aus unserem Satz von Sequenzen heraus.)
8. Entscheiden Sie für alle Folgen, die bei der obigen Betrachtung nicht auftraten, willkürlich, ob sie zu A oder zum Komplement von A gehören.

Sobald dies erledigt ist, haben wir ein Spiel G . Wenn Sie mir eine Strategie s1 geben, dann haben wir diese Strategie zu einem bestimmten Zeitpunkt T = T(s1) betrachtet. Zum Zeitpunkt T entschieden wir ein Ergebnis von s1, das ein Verlust von s1 wäre. Daher scheitert diese Strategie. Dies gilt jedoch für eine willkürliche Strategie; daher sind das Determinationsaxiom und das Auswahlaxiom unvereinbar.

Infinitärlogik und das Axiom der Bestimmtheit

Ende des 20. Jahrhunderts wurden viele verschiedene Versionen der unendlichen Logik vorgeschlagen. Ein Grund für den Glauben an das Axiom der Determiniertheit ist, dass es wie folgt geschrieben werden kann (in einer Version der unendlichen Logik):

${\displaystyle \forall G\subseteq Seq(S):}$

${\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S... :(a,a',b,b',c,c'...)\in G}$ ODER

${\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S... :(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}$

Hinweis: Seq( S ) ist die Menge aller -Folgen von S . Die Sätze hier sind unendlich lang mit einer abzählbar unendlichen Liste von Quantoren, in denen die Ellipsen erscheinen. ${\displaystyle \omega}$

Große Kardinäle und das Axiom der Determiniertheit

Die Konsistenz des Bestimmtheitsaxioms steht in engem Zusammenhang mit der Frage nach der Konsistenz großer Kardinalaxiome . Nach einem Satz von Woodin ist die Konsistenz der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ohne Wahl (ZF) zusammen mit dem Axiom der Determiniertheit äquivalent zur Konsistenz der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit Wahl (ZFC) zusammen mit der Existenz unendlich vieler Woodin-Kardinäle . Da Woodin-Kardinäle stark unzugänglich sind und AD konsistent ist, sind es auch unendlich viele unzugängliche Kardinäle.

Wenn man außerdem die Hypothese einer unendlichen Menge von Woodin-Kardinalen die Existenz eines messbaren Kardinals hinzufügt, der größer ist als alle von ihnen, entsteht eine sehr starke Theorie der Lebesgue-messbaren Mengen von reellen Zahlen, da dann beweisbar ist, dass das Axiom der Bestimmtheit wahr in L(R) , und daher ist jede Menge reeller Zahlen in L(R) bestimmt.

Siehe auch

• Axiom der reellen Bestimmtheit (AD _R )
• Borelsche Bestimmtheitssatz
• Martin messen
• Topologisches Spiel

Verweise

• Mycielski, Jan ; Steinhaus, Hugo (1962). „Ein mathematisches Axiom, das dem Axiom der Wahl widerspricht“. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques . 10 : 1–3. ISSN  0001-4117 . MR  0.140.430 .
• Mycielski, Jan ; Swierczkowski, Stanisław (1964). „Über die Lebesgue Messbarkeit und das Axiom der Bestimmtheit“ . Fonds. Mathe . 54 : 67–71. doi : 10.4064/fm-54-1-67-71 .
• Woodin, W. Hugh (1988). „Superkompakte Kardinäle, Mengen von reellen Zahlen und schwach homogene Bäume“ . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 85 (18): 6587–6591. doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC  282.022 . PMID  16593979 .
• Martin, Donald A. ; Stahl, John R. (Januar 1989). „Ein Beweis der projektiven Bestimmtheit“ . Zeitschrift der American Mathematical Society . 2 (1): 71–125. doi : 10.2307/1990913 . JSTOR  1990913 .
• Jech, Thomas (2002). Mengenlehre, dritte Jahrtausendausgabe (überarbeitet und erweitert) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Kanamori, Akihiro (2008). Das Höhere Unendliche (2. Aufl.). Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. ISBN 978-3-540-88866-6.
• Moschovakis, Yiannis N. (2009). Deskriptive Mengenlehre (PDF) (2. Aufl.). Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 978-0-8218-4813-5. Archiviert vom Original am 12.11.2014.CS1-Wartung: Bot: Original-URL-Status unbekannt ( Link )

Weiterlesen

• Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy , Dissertation, Institut für Mathematik, Universität Bonn, Deutschland, 2001
• Telgársky, RJ Topologische Spiele: Zum 50. Jahrestag des Banach-Mazur-Spiels , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), S. 227–276. (3,19 MB)
• "Large Cardinals and Determinacy" in der Stanford Encyclopedia of Philosophy