Ringhomomorphismus - Ring homomorphism

Algebraische Struktur → Ringtheorie Ringtheorie
Grundlegendes Konzept Ringe • Unterringe • Ideal • Quotientenring • Bruchideal • Gesamtquotientenring • Produktring • Freies Produkt assoziativer Algebren • Tensorprodukt von Ringen Ringhomomorphismen • Kernel • Innerer Automorphismus • Frobenius-Endomorphismus Algebraische Strukturen • Modul • Assoziative Algebra • Abgestufter Ring • Involutiver Ring • Kategorie der Ringe • Anfangsruf ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • Klemmring ${\displaystyle 0=\mathbb{Z} _{1}}$ Verwandte Strukturen • Feld • Endlicher Körper • Nicht-assoziativer Ring • Lügenring • Jordan-Ring • Halbring • Halbfeld
Kommutative Algebra Kommutative Ringe • Integrale Domäne • Integral geschlossene Domäne • GCD-Domäne • Einzigartige Faktorisierungsdomäne • Hauptidealer Bereich • Euklidische Domäne • Feld • Endlicher Körper • Kompositionsring • Polynomring • Formaler Potenzreihenring Algebraische Zahlentheorie • Algebraisches Zahlenfeld • Ring von ganzen Zahlen • algebraische Unabhängigkeit • Transzendentale Zahlentheorie • Transzendenzgrad p -adische Zahlentheorie und Dezimalzahlen • Direktes Limit / Inverses Limit • Nullring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Ganzzahlen modulo p n ${\displaystyle \mathbb{Z} /p^{n}\mathbb{Z}}$ • Prüfer p- Ring ${\displaystyle \mathbb{Z} (p^{\infty})}$ • Basis - p- Kreisring ${\displaystyle \mathbb{T}}$ • Basis - p ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • p -adische Rationale ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Basis - p reelle Zahlen ${\displaystyle \mathbb{R}}$ • p -adische ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$ • p -adische Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Q} _{p}}$ • p -adischer Magnet ${\displaystyle \mathbb{T} _{p}}$ Algebraische Geometrie • Affine Vielfalt
Nichtkommutative Algebra Nichtkommutative Ringe • Teilungsring • Halbprimitiver Ring • Einfacher Ring • Kommutator Nichtkommutative algebraische Geometrie Freie Algebra Clifford-Algebra • Geometrische Algebra Operatoralgebra
v T e

In der Ringtheorie , einem Zweig der abstrakten Algebra , ist ein Ringhomomorphismus eine strukturerhaltende Funktion zwischen zwei Ringen . Deutlicher ausgedrückt, wenn R und S Ringe sind, dann ist ein Ringhomomorphismus eine Funktion f  : R → S , so dass f ist:

zusätzlich Konservierung:

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$für alle a und b in R ,

Multiplikationserhaltung:

${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$für alle a und b in R ,

und Einheit (multiplikative Identität) erhalten:

${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$.

Additive Inverse und die additive Identität sind ebenfalls Teil der Struktur, aber es ist nicht notwendig, dass sie auch explizit eingehalten werden, da diese Bedingungen Folgen der drei obigen Bedingungen sind.

Ist zusätzlich f eine Bijektion , dann ist auch deren Inverse f ⁻¹ ein Ringhomomorphismus. In diesem Fall wird f als Ringisomorphismus bezeichnet , und die Ringe R und S heißen isomorph . Aus ringtheoretischer Sicht lassen sich isomorphe Ringe nicht unterscheiden.

Wenn R und S ist RNGs , dann ist die entsprechende Vorstellung , dass ein RNG Homomorphismus , definiert wie oben , außer , ohne die dritten Bedingung f (1 _R ) = 1 _S . Ein Ringhomomorphismus zwischen (unitalen) Ringen muss kein Ringhomomorphismus sein.

Die Zusammensetzung zweier Ringhomomorphismen ist ein Ringhomomorphismus. Daraus folgt, dass die Klasse aller Ringe eine Kategorie mit Ringhomomorphismen als den Morphismen bildet (vgl. die Kategorie der Ringe ). Insbesondere erhält man die Begriffe Ringendomorphismus, Ringisomorphismus und Ringautomorphismus.

Eigenschaften

Sei ein Ringhomomorphismus. Dann kann man direkt aus diesen Definitionen ableiten: ${\displaystyle f\colon R\rightarrow S}$

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (− a ) = − f ( a ) für alle a in R .
• Für jedes Einheitselement a in R ist f ( a ) ein Einheitselement mit f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . Insbesondere induziert f einen Gruppenhomomorphismus von der (multiplikativen) Gruppe von Einheiten von R zu der (multiplikativen) Gruppe von Einheiten von S (oder von im( f )).
• Das Bild von f , mit im( f ) bezeichnet, ist ein Unterring von S .
• Der Kern von f , definiert als Ker ( f ) = { a in R  : f ( a ) = 0 , _S } , ist eine ideal in R . Jedes Ideal in einem Ring R entsteht auf diese Weise aus einem Ringhomomorphismus.
• Der Homomorphismus f ist genau dann injektiv, wenn ker( f ) = {0 _R } .
• Wenn es einen Ringhomomorphismus existiert f  : R → S dann ist die Charakteristik des S teilt die Charakteristik R . Dies kann manchmal verwendet werden, um zu zeigen, dass zwischen bestimmten Ringen R und S keine Ringhomomorphismen R → S existieren können.
• Wenn R _p der kleinste in R enthaltene Unterring und S _p der kleinste in S enthaltene Unterring ist , dann induziert jeder Ringhomomorphismus f  : R → S einen Ringhomomorphismus f _p  : R _p → S _p .
• Wenn R ein Feld (oder allgemeiner ein Schrägfeld ) und S nicht der Nullring ist , dann ist f injektiv.
• Wenn sowohl R und S sind Felder , dann im ( f ) ein Unterfeld von S , so S kann als eine betrachtet werden Felderweiterung von R .
• Wenn R und S kommutativ sind und I ein Ideal von S ist, dann ist f ⁻¹ (I) ein Ideal von R .
• Wenn R und S kommutativ sind und P ein Primideal von S ist, dann ist f ⁻¹ ( P ) ein Primideal von R .
• Sind R und S kommutativ, M ist ein maximales Ideal von S und f ist surjektiv, dann ist f ⁻¹ (M) ein maximales Ideal von R .
• Wenn R und S kommutativ ist , und S ist ein integrales Domäne , dann ker ( f ) ist ein Primideals von R .
• Wenn R und S kommutativ ist, S ist ein Feld, und f surjektiv ist , dann ker ( f ) ist eine maximale Ideal von R .
• Ist f surjektiv, P ist prim (maximal) ideal in R und ker( f ) P , dann ist f ( P ) prim (maximal) ideal in S .

Darüber hinaus,

• Die Zusammensetzung von Ringhomomorphismen ist ein Ringhomomorphismus.
• Für jeden Ring R ist die Identitätskarte R → R ein Ringhomomorphismus.
• Daher bildet die Klasse aller Ringe zusammen mit den Ringhomomorphismen eine Kategorie, die Kategorie der Ringe .
• Die Nullabbildung R → S , die jedes Element von R nach 0 sendet , ist nur dann ein Ringhomomorphismus, wenn S der Nullring ist (der Ring, dessen einziges Element Null ist).
• Für jeden Ring R gibt es einen eindeutigen Ringhomomorphismus Z → R . Dies besagt, dass der Ring der ganzen Zahlen ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Ringe ist.
• Für jeden Ring R gibt es einen eindeutigen Ringhomomorphismus von R zum Nullring. Dies besagt, dass der Nullring ein Endobjekt in der Kategorie der Ringe ist.

Beispiele

• Die Funktion f  : Z → Z _n , definiert durch f ( a ) = [ a ] _n = a mod n ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kernel n Z (siehe Modulare Arithmetik ).
• Die Funktion f  : Z ₆ → Z ₆ definiert durch f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ ist ein rng-Homomorphismus (und rng-Endomorphismus), mit Kernel 3 Z ₆ und Bild 2 Z ₆ (das isomorph zu Z ₃ ).
• Es gibt keinen Ringhomomorphismus Z _n → Z für n ≥ 1 .
• Die komplexe Konjugation C → C ist ein Ringhomomorphismus (dies ist ein Beispiel für einen Ringautomorphismus.)
• Wenn R und S Ringe sind, ist die Nullfunktion von R nach S genau dann ein Ringhomomorphismus, wenn S der Nullring ist . (Andernfalls kann 1 _{R nicht} auf 1 _S abgebildet werden.) Andererseits ist die Nullfunktion immer ein rng-Homomorphismus.
• Bezeichnet R [ X ] den Ring aller Polynome in der Variablen X mit Koeffizienten in den reellen Zahlen R und C die komplexen Zahlen , dann ist die Funktion f  : R [ X ] → C definiert durch f ( p ) = p ( i ) (ersetzen Sie die imaginäre Einheit i für die Variable X im Polynom p ) ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Der Kern f besteht aus allen Polynomen in R [ X ] , die durch teilbar sind X ² + 1 .
• Ist f  : R → S ein Ringhomomorphismus zwischen den Ringen R und S , dann induziert f einen Ringhomomorphismus zwischen den Matrixringen M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Ein unitaler Algebra-Homomorphismus zwischen unitalen assoziativen Algebren über einem kommutativen Ring R ist ein ebenfalls R- linearer Ringhomomorphismus .

Nicht-Beispiele

• Bei einem Produkt von Ringen ist der natürliche Einschluss kein Ringhomomorphismus (es sei denn, es handelt sich um den Nullring); Dies liegt daran, dass die Karte die multiplikative Identität von nicht an die von sendet , nämlich .${\displaystyle S=R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{1}\to S,x\mapsto (x,0)}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (1,1)}$

Die Kategorie der Ringe

Endomorphismen, Isomorphismen und Automorphismen

• Ein Ringendomorphismus ist ein Ringhomomorphismus von einem Ring zu sich selbst.
• Ein Ringisomorphismus ist ein Ringhomomorphismus mit einer 2-seitigen Inversen, der auch ein Ringhomomorphismus ist. Man kann beweisen, dass ein Ringhomomorphismus genau dann ein Isomorphismus ist, wenn er als Funktion auf den zugrunde liegenden Mengen bijektiv ist . Existiert ein Ringisomorphismus zwischen zwei Ringen R und S , dann heißen R und S isomorph . Isomorphe Ringe unterscheiden sich nur durch eine Umetikettierung von Elementen. Beispiel: Bis auf Isomorphie gibt es vier Ringe der Ordnung 4. (Das bedeutet, dass es vier paarweise nicht isomorphe Ringe der Ordnung 4 gibt, so dass jeder andere Ring der Ordnung 4 isomorph zu einem von ihnen ist.) Andererseits bis auf Isomorphie gibt es elf Ringe der Ordnung 4.
• Ein Ringautomorphismus ist ein Ringisomorphismus von einem Ring zu sich selbst.

Monomorphismen und Epimorphismen

Injektive Ringhomomorphismen sind identisch mit Monomorphismen in der Kategorie der Ringe: Wenn f  : R → S ein nicht injektiver Monomorphismus ist, dann schickt er einige r ₁ und r ₂ an dasselbe Element von S . Betrachten Sie die beiden Abbildungen g ₁ und g ₂ von Z [ x ] auf R , die x auf r ₁ bzw. r ₂ abbilden ; f ∘ g ₁ und f ∘ g ₂ identisch sind, aber , da f ein Monomorphismus ist dies unmöglich.

Surjektive Ringhomomorphismen unterscheiden sich jedoch erheblich von Epimorphismen in der Kategorie der Ringe. Zum Beispiel ist die Inklusion Z ⊆ Q ein Ringepimorphismus, aber keine Surjektion. Sie sind jedoch genau die gleichen wie die starken Epimorphismen .

Siehe auch

• Ringwechsel
• Ringerweiterung

Zitate

Anmerkungen

Verweise