σ-Algebra - σ-algebra

In der mathematischen Analysis und in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine σ-Algebra (auch σ-Körper ) auf einer Menge X : (1) eine Sammlung von Teilmengen von X einschließlich X selbst, (2) sie ist abgeschlossen unter Komplement , (3) sie ist unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen , (4) sie enthält die leere Teilmenge und (5) ist unter abzählbaren Schnittmengen abgeschlossen . ${\displaystyle \Sigma}$

Das Paar wird als messbarer Raum oder Borel-Raum bezeichnet. ${\displaystyle (X,\Sigma)}$

Eine σ-Algebra ist eine Art von Algebra von Mengen . Eine Mengenalgebra braucht nur unter der geschlossen werden Vereinigung oder Schnittpunkt von endlich vielen Untergruppen, die eine schwächere Bedingung ist.

Die Hauptverwendung von σ-Algebren liegt in der Definition von Maßen ; insbesondere ist die Sammlung jener Teilmengen, für die ein gegebenes Maß definiert ist, notwendigerweise eine σ-Algebra. Dieses Konzept ist in der mathematischen Analyse als Grundlage für die Lebesgue-Integration und in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig , wo es als Sammlung von Ereignissen interpretiert wird , denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind σ-Algebren ausschlaggebend bei der Definition des bedingten Erwartungswerts .

In der Statistik werden (Unter-)σ-Algebren für die formale mathematische Definition einer hinreichenden Statistik benötigt , insbesondere wenn die Statistik eine Funktion oder ein Zufallsprozess ist und der Begriff der bedingten Dichte nicht anwendbar ist.

Wenn eine mögliche σ-Algebra auf ist, wo ist die leere Menge . Im Allgemeinen ist eine endliche Algebra immer eine σ-Algebra. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$${\displaystyle \varnothing}$

Wenn eine abzählbare Partition von dann ist, ist die Sammlung aller Vereinigungen von Mengen in der Partition (einschließlich der leeren Menge) eine σ-Algebra. ${\displaystyle \left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots\right\}}$${\displaystyle X}$

Ein nützlicheres Beispiel ist die Menge von Teilmengen der reellen Geraden, die gebildet wird, indem man mit allen offenen Intervallen beginnt und alle abzählbaren Vereinigungen, abzählbaren Schnittpunkte und relativen Komplemente hinzufügt und diesen Prozess (durch transfinite Iteration durch alle abzählbaren Ordinalzahlen ) bis zum relevanten Abschluss fortsetzt Eigenschaften erreicht werden - die durch diesen Prozess erzeugte σ-Algebra ist als Borel-Algebra auf der reellen Linie bekannt und kann auch als die kleinste (dh "gröbste") σ-Algebra aufgefasst werden, die alle offenen Mengen enthält oder äquivalent alle enthält die geschlossenen Mengen. Sie ist grundlegend für die Maßtheorie und damit die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie , und eine verwandte Konstruktion, die als Borel-Hierarchie bekannt ist, ist für die deskriptive Mengenlehre von Bedeutung .

Motivation

Es gibt mindestens drei Hauptmotivatoren für σ-Algebren: Definieren von Maßen, Manipulieren von Grenzen von Mengen und Verwalten von durch Mengen charakterisierten Teilinformationen.

Messen

Ein Maß on ist eine Funktion , die Teilmengen von eine nicht-negative reelle Zahl zuweist ; Dies kann man sich so vorstellen, als würde man einen Begriff von "Größe" oder "Volumen" für Sätze präzisieren. Wir wollen, dass die Größe der Vereinigung disjunkter Mengen die Summe ihrer einzelnen Größen ist, selbst für eine unendliche Folge von disjunkten Mengen . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Man möchte jeder Teilmenge von eine Größe zuweisen, aber in vielen natürlichen Umgebungen ist dies nicht möglich. Das Auswahlaxiom impliziert beispielsweise, dass, wenn die betrachtete Größe der gewöhnliche Längenbegriff für Teilmengen der reellen Geraden ist, es Mengen gibt, für die keine Größe existiert, zum Beispiel die Vitali-Mengen . Aus diesem Grund betrachtet man stattdessen eine kleinere Sammlung von privilegierten Teilmengen dieser Teilmengen werden die messbaren Mengen genannt. Sie werden unter Operationen geschlossen, die man für messbare Mengen erwarten würde; das heißt, das Komplement einer messbaren Menge ist eine messbare Menge und die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen ist eine messbare Menge. Nichtleere Sammlungen von Mengen mit diesen Eigenschaften heißen σ-Algebren. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$

Grenzen der Sätze

Viele Anwendungen von Maß, wie das Wahrscheinlichkeitskonzept der fast sicheren Konvergenz , beinhalten Grenzen von Folgen von Mengen . Dabei ist die Schließung unter zählbaren Vereinigungen und Kreuzungen von größter Bedeutung. Auf σ-Algebren werden eingestellte Grenzen wie folgt definiert.

• Das Grenzsupremum einer Folge, die jeweils eine Teilmenge von is${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots,}$${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle \limsup_{n\to\infty}A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}.}$$

  
• Das Grenzinfimum einer Folge, die jeweils eine Teilmenge von is${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots,}$${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle \liminf_{n\to\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap _{m=n}^{\infty}A_{m}.}$$

  
• Wenn tatsächlich
  $${\displaystyle \liminf_{n\to\infty}A_{n}=\limsup_{n\to\infty}A_{n},}$$

  
  dann existiert die als diese gemeinsame Menge.${\textstyle \lim_{n\to\infty}A_{n}}$

Sub σ-Algebren

Sehr wahrscheinlich, insbesondere wenn es sich um bedingte Erwartungen handelt, handelt es sich um Mengen, die nur einen Teil aller möglichen beobachtbaren Informationen darstellen. Diese Teilinformationen können mit einer kleineren σ-Algebra charakterisiert werden, die eine Teilmenge der Haupt-σ-Algebra ist; sie besteht aus der Sammlung von Teilmengen, die nur für die Teilinformationen relevant sind und nur durch diese bestimmt werden. Ein einfaches Beispiel genügt, um diese Idee zu veranschaulichen.

Stellen Sie sich vor, Sie und eine andere Person setzen auf ein Spiel, bei dem eine Münze wiederholt geworfen und beobachtet wird, ob Kopf ( ) oder Zahl ( ) erscheint. Da Sie und Ihr Gegner unendlich reich sind, gibt es keine Begrenzung für die Dauer des Spiels. Dies bedeutet, dass der Probenraum aus allen möglichen unendlichen Folgen von oder bestehen muss : ${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

Nach dem Münzwurf möchten Sie jedoch möglicherweise Ihre Wettstrategie vor dem nächsten Wurf festlegen oder überarbeiten. Die zu diesem Zeitpunkt beobachtete Information kann durch die 2 ⁿ Möglichkeiten für die ersten Flips beschrieben werden. Formal, da Sie Teilmengen davon verwenden müssen, ist dies als σ-Algebra . kodifiziert ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega,}$

Beachte das dann

wo ist die kleinste σ-Algebra, die alle anderen enthält. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty}}$

Definition und Eigenschaften

Definition

Durchgehend wird ein Satz sein und sein Leistungssatz bezeichnen . Eine Teilmenge heißt σ-Algebra, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt: ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal{P}}(X)}$${\displaystyle \Sigma\subseteq {\mathcal{P}}(X)}$

1. ${\displaystyle \Sigma}$ist abgeschlossen unter Komplementation in${\displaystyle X}$ : Wenn ein Element von dann ist, ist es auch sein Komplement${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$
   • In diesem Zusammenhang wird als universelles Set angesehen .${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \Sigma}$enthält als Element${\displaystyle X}$ :${\displaystyle X\in\Sigma.}$
   • Unter der Annahme, dass (1) gilt, ist diese Bedingung äquivalent dazu , die leere Menge zu enthalten :${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle\varnothing\in\Sigma.}$
3. ${\displaystyle \Sigma}$ist unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen : Wenn Elemente von sind, dann ist es auch ihre Vereinigung${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots}$${\displaystyle \Sigma}$${\textstyle \bigcup_{i=1}^{\infty}S_{i}:=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \cdots .}$
   • Unter der Annahme, dass (1) und (2) gelten, folgt aus den Gesetzen von De Morgan, dass diese Bedingung äquivalent dazu ist, unter abzählbaren Schnitten abgeschlossen zu sein : Wenn Elemente von sind, dann ist es auch deren Schnitt${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots}$${\displaystyle \Sigma}$${\textstyle \bigcap_{i=1}^{\infty}S_{i}:=S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap \cdots .}$

Äquivalent ist eine σ-Algebra eine Algebra von Mengen , die unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist.

Die leere Menge gehört zu, weil nach (2) in ist und (1) impliziert, dass ihr Komplement, die leere Menge, auch in ist Da außerdem die Bedingung (3) erfüllt ist , folgt daraus, dass das kleinstmögliche σ- Algebra on Die größtmögliche σ-Algebra on is${\displaystyle \varnothing}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \Sigma.}$${\displaystyle \{X,\varnothing\}}$${\displaystyle \{X,\varnothing\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{X}:={\mathcal{P}}(X).}$

Elemente der σ-Algebra werden als messbare Mengen bezeichnet . Ein geordnetes Paar, wo eine Menge ist und eine σ-Algebra darüber ist, wird als messbarer Raum bezeichnet . Eine Funktion zwischen zwei messbaren Räumen heißt messbare Funktion, wenn das Urbild jeder messbaren Menge messbar ist. Die Sammlung messbarer Räume bildet eine Kategorie , wobei die messbaren Funktionen als Morphismen dienen . Measures sind definiert als bestimmte Typen von Funktionen von einer σ-Algebra bis${\displaystyle (X,\Sigma),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle [0,\infty].}$

Eine σ-Algebra ist sowohl ein π- System als auch ein Dynkin-System (𝜆-System). Nach dem Satz von Dynkin (unten) gilt auch die Umkehrung.

Dynkins π-λ-Theorem

Dieser Satz (oder der verwandte monotone Klassensatz ) ist ein wesentliches Werkzeug, um viele Ergebnisse über Eigenschaften bestimmter σ-Algebren zu beweisen. Es profitiert von der Natur zweier einfacherer Klassen von Mengen, nämlich der folgenden.

Ein π -System ist eine Sammlung von Teilmengen , die unter endlich vielen Schnitten abgeschlossen ist, und${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

ein Dynkin-System (oder 𝜆-System) ist eine Sammlung von Teilmengen davon , die unter Komplement und unter abzählbaren Vereinigungen von disjunkten Teilmengen abgeschlossen sind.${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Dynkin des π bis & lgr; Theorem sagt, wenn ist ein π -Systems und ist ein Dynkin - System , das enthält der σ-Algebra dann erzeugt , indem in enthaltene Da bestimmte π -Systeme sind relativ einfache Klassen, kann es nicht schwer sein , dass alle Sätze zu überprüfen in den Genuss der betrachteten Eigenschaft zu kommen, während andererseits der Nachweis, dass die Sammlung aller Teilmengen mit der Eigenschaft ein Dynkin-System ist, auch einfach sein kann. Dynkin ist & pgr; bis & lgr; Theorem impliziert dann , dass alle Sätze in der Eigenschaft genießen, die Vermeidung der Aufgabe es für einen beliebigen Satz von Check - in${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma (P)}$${\displaystyle \sigma (P).}$

Eine der grundlegendsten Anwendungen des π- 𝜆-Theorems besteht darin, die Äquivalenz von separat definierten Maßen oder Integralen zu zeigen. Zum Beispiel wird es verwendet, um eine Wahrscheinlichkeit für eine Zufallsvariable mit dem Lebesgue-Stieltjes-Integral gleichzusetzen, das typischerweise mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit verbunden ist: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbb{P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$für alle in der Borel σ-Algebra auf${\displaystyle A}$${\displaystyle\mathbb{R},}$

wo ist die kumulative Verteilungsfunktion für definiert auf while ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß , definiert auf einer σ-Algebra von Teilmengen eines Stichprobenraums${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle\mathbb{R},}$${\displaystyle \mathbb{P}}$${\displaystyle \Sigma}$ ${\displaystyle \Omega.}$

Kombinieren von σ-Algebren

Angenommen, das ist eine Sammlung von σ-Algebren auf einem Raum${\textstyle \{\Sigma_{\alpha}:\alpha\in {\mathcal{A}}\}}$${\displaystyle X.}$

• Der Schnittpunkt einer Sammlung von σ-Algebren ist eine σ-Algebra. Um seinen Charakter als σ-Algebra zu betonen, wird es oft bezeichnet mit:
  $${\displaystyle \bigwedge_{\alpha\in {\mathcal{A}}}\Sigma_{\alpha}.}$$

  

  Beweisskizze
  Lassen Sie die Kreuzung bezeichnen. Da ist in jedem nicht leer. Schließung unter Komplement und abzählbare Vereinigungen für alle impliziert, dass dasselbe gelten muss für Also ist eine σ-Algebra. ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma_{\alpha},\Sigma^{*}}$${\displaystyle \Sigma_{\alpha}}$${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

• Die Vereinigung einer Sammlung von σ-Algebren ist im Allgemeinen keine σ-Algebra oder sogar eine Algebra, aber sie erzeugt eine σ-Algebra, die als Join bekannt ist und typischerweise als bezeichnet wird
  $${\displaystyle \bigvee_{\alpha\in {\mathcal{A}}}\Sigma_{\alpha}=\sigma\left(\bigcup_{\alpha\in {\mathcal{A}}}\Sigma _{\alpha}\rechts).}$$

  
  Ein π -System, das den Join erzeugt, ist
  $${\displaystyle {\mathcal{P}}=\left\{\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in\Sigma_{\alpha_{i}}, \alpha_{i}\in{\mathcal{A}},\n\geq 1\right\}.}$$

  

  Beweisskizze

  An dem Fall sieht man, dass jeder so ${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle \Sigma_{\alpha}\subseteq {\mathcal{P}},}$ $${\displaystyle \bigcup_{\alpha\in{\mathcal{A}}}\Sigma_{\alpha}\subseteq {\mathcal{P}}.}$$ Dies impliziert $${\displaystyle \sigma \left(\bigcup_{\alpha\in {\mathcal{A}}}\Sigma_{\alpha}\right)\subseteq\sigma ({\mathcal{P}})}$$ durch die Definition einer σ-Algebra, die durch eine Sammlung von Teilmengen erzeugt wird. Auf der anderen Seite, $${\displaystyle {\mathcal{P}}\subseteq\sigma\left(\bigcup_{\alpha\in{\mathcal{A}}}\Sigma_{\alpha}\right)}$$ was nach Dynkins π -𝜆 Theorem impliziert $${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup_{\alpha\in {\mathcal{A}}}\Sigma_{\alpha}\right).}$$

σ-Algebren für Unterräume

Angenommen ist eine Teilmenge von und sei ein messbarer Raum. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\Sigma)}$

• Die Sammlung ist eine σ-Algebra von Teilmengen von${\displaystyle \{Y\cap S:S\in \Sigma\}}$${\displaystyle Y.}$
• Angenommen, es handelt sich um einen messbaren Raum. Die Sammlung ist eine σ-Algebra von Teilmengen von${\displaystyle (Y,\Lambda)}$${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in\Lambda\}}$${\displaystyle X.}$

Beziehung zu σ-Ring

Ein σ-Algebra ist nur ein σ-Ring , der die Universal-Set enthält ein σ-Ring muss nicht ein σ-Algebra, wie zum Beispiel messbarer Teilmengen von Null Lebesguemaß in der realen Linie ist ein σ-Ring, aber keine σ -Algebra, da die reelle Gerade ein unendliches Maß hat und daher nicht durch ihre abzählbare Vereinigung erhalten werden kann. Nimmt man statt Nullmaß meßbare Teilmengen des endlichen Lebesgue-Maßes, so handelt es sich um einen Ring, aber nicht um einen σ-Ring, da die reelle Gerade durch ihre abzählbare Vereinigung erhalten werden kann, ihr Maß aber nicht endlich ist. ${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle X.}$

Typografischer Hinweis

σ-Algebren werden manchmal mit kalligraphischen Großbuchstaben oder der Fraktur-Schrift bezeichnet . So kann bezeichnet werden als oder${\displaystyle (X,\Sigma)}$${\displaystyle (X,\,{\mathcal{F}})}$${\displaystyle (X,\,{\mathfrak{F}}).}$

Besondere Fälle und Beispiele

Trennbare σ-Algebren

Eine separierbare σ-Algebra (oder separierbares σ-Feld ) ist eine σ-Algebra , die ein separierbarer Raum ist, wenn man sie als metrischen Raum mit Metrik für und einem gegebenen Maß betrachtet (und mit dem symmetrischen Differenzenoperator ). Beachten Sie, dass jede σ-Algebra, die von einer abzählbaren Menge von Mengen erzeugt wird, separierbar ist, aber die Umkehrung muss nicht gelten. Zum Beispiel ist die Lebesgue-σ-Algebra separierbar (da jede messbare Lebesgue-Menge einer Borel-Menge entspricht), aber nicht abzählbar generiert (da ihre Kardinalität höher als das Kontinuum ist). ${\displaystyle {\mathcal{F}}}$ ${\displaystyle \rho(A,B)=\mu(A{\mathbin {\dreieck}}B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal{F}}}$ ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle\dreieck}$

Ein trennbarer Maßraum hat eine natürliche Pseudometrik , die ihn als einen pseudometrischen Raum trennbar macht . Der Abstand zwischen zwei Sätzen ist als Maß für die symmetrische Differenz der beiden Sätze definiert. Beachten Sie, dass die symmetrische Differenz zweier unterschiedlicher Mengen das Maß Null haben kann; daher muss die oben definierte Pseudometrik keine echte Metrik sein. Wenn jedoch Mengen, deren symmetrische Differenz das Maß Null hat, in einer einzigen Äquivalenzklasse identifiziert werden , kann die resultierende Quotientenmenge durch die induzierte Metrik richtig gemessen werden. Wenn der Maßraum separierbar ist, kann gezeigt werden, dass der entsprechende metrische Raum auch separierbar ist.

Einfache setbasierte Beispiele

Sei ein beliebiger Satz. ${\displaystyle X}$

• Die Familie, die nur aus der leeren Menge und der sogenannten minimalen oder trivialen σ-Algebra über . besteht${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$
• Die Potenzmenge der sogenannten diskreten σ-Algebra .${\displaystyle X,}$
• Die Sammlung ist eine einfache σ-Algebra, die von der Teilmenge${\displaystyle \left\{\varnothing ,X,A,X\setminus A\right\}}$${\displaystyle A.}$
• Die Sammlung von Teilmengen , die abzählbar sind oder deren Komplemente abzählbar sind, ist eine σ-Algebra (die sich von der Potenzmenge von genau dann unterscheidet, wenn nicht abzählbar ist ). Dies ist die σ-Algebra, die von den Singletons von Note erzeugt wird : "zählbar" beinhaltet endlich oder leer.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Die Sammlung aller Vereinigungen von Mengen in einer abzählbaren Partition von ist eine σ-Algebra.${\displaystyle X}$

Anhaltezeit σ-Algebren

Eine Stoppzeit kann eine -Algebra definieren , die sogenannte -Algebra der τ-Vergangenheit, die in einem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum die Informationen bis zum Zufallszeitpunkt in dem Sinne beschreibt, dass, wenn der gefilterte Wahrscheinlichkeitsraum als Zufallsexperiment interpretiert wird , die maximale Information, die man über das Experiment durch beliebig oft wiederholtes Wiederholen herausfinden kann, bis es soweit ist . ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal{F}}_{\tau}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle {\mathcal{F}}_{\tau}}$

σ-Algebren erzeugt durch Familien von Mengen

σ-Algebra erzeugt von einer beliebigen Familie

Sei eine beliebige Familie von Teilmengen von Dann gibt es eine eindeutige kleinste σ-Algebra, die jede Menge enthält (auch wenn sie selbst eine σ-Algebra sein kann oder nicht). Es ist tatsächlich der Schnittpunkt aller σ-Algebren, die (Siehe Schnitte von σ-Algebren oben.) enthalten. Diese σ-Algebra wird bezeichnet und heißt die σ-Algebra, die von${\displaystyle F}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle \sigma (F)}$${\displaystyle F.}$

Dann besteht aus allen Teilmengen , die aus Elementen von durch eine abzählbare Anzahl von Komplement-, Vereinigungs- und Schnittoperationen gebildet werden können. Wenn leer ist, dann ergeben eine leere Vereinigung und ein Schnitt die leere Menge bzw. die universelle Menge . ${\displaystyle \sigma (F)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma(F)=\{X,\varnothing\},}$

Für ein einfaches Beispiel betrachtet sie den Satz dann der σ-Algebra durch die einzelne Teilmenge erzeugt ist durch einen Missbrauch der Notation , wenn eine Sammlung von Teilmengen nur ein Element enthält, kann man schreiben statt , wenn es ist klar , dass eine Teilmenge von ist ; im vorherigen Beispiel anstelle von Indeed ist auch die Verwendung von to mean recht üblich. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\})=\{\varnothing,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle \sigma (\{A\})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (\{1\})}$${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots\right)}$${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots\right\}\right)}$

Es gibt viele Familien von Teilmengen, die nützliche σ-Algebren erzeugen. Einige davon werden hier vorgestellt.

σ-Algebra erzeugt durch eine Funktion

Wenn eine Funktion aus einem Satz ist , in einen Satz und ein σ-Algebra von Teilmengen von dann dem σ-Algebra durch die Funktion erzeugten bezeichnet durch die Sammlung aller inversen Bilder der Sätze in das heißt, ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f,}$${\displaystyle \sigma (f),}$${\displaystyle f^{-1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B.}$

Eine Funktion von einer Menge zu einer Menge ist in Bezug auf eine σ-Algebra von Teilmengen von genau dann messbar, wenn eine Teilmenge von${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (f)}$${\displaystyle \Sigma.}$

Eine häufige Situation, die standardmäßig verstanden wird, wenn nicht explizit angegeben, ist wann ein metrischer oder topologischer Raum und ist die Sammlung von Borel-Mengen auf${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y.}$

Wenn eine Funktion von bis dann ist, wird von der Familie von Teilmengen erzeugt, die inverse Bilder von Intervallen/Rechtecken in sind : ${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma (f)}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Eine nützliche Eigenschaft ist die folgende. Angenommen ist eine messbare Abbildung von bis und ist eine messbare Abbildung von bis Wenn es eine messbare Abbildung von bis gibt, so dass für alle dann If endlich oder abzählbar unendlich oder allgemeiner ein Borel-Standardraum ist (z metrischen Raum mit seinen zugehörigen Borel-Mengen), dann gilt auch das Umgekehrte. Beispiele für Standard-Borel-Räume sind mit ihren Borel-Mengen und mit der unten beschriebenen Zylinder-σ-Algebra. ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle \left(X,\Sigma_{X}\right)}$${\displaystyle \left(S,\Sigma_{S}\right)}$${\displaystyle g:X\to T}$${\displaystyle \left(X,\Sigma_{X}\right)}$${\displaystyle \left(T,\Sigma_{T}\right).}$${\displaystyle h:T\to S}$${\displaystyle \left(T,\Sigma_{T}\right)}$${\displaystyle \left(S,\Sigma_{S}\right)}$${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left(S,\Sigma_{S}\right)}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle\mathbb{R}^{\infty}}$

Borel und Lebesgue σ-Algebren

Ein wichtiges Beispiel ist die Borel-Algebra über einem beliebigen topologischen Raum : die -Algebra, die von den offenen Mengen (oder äquivalent von den abgeschlossenen Mengen ) erzeugt wird. Beachten Sie, dass diese σ-Algebra im Allgemeinen nicht die gesamte Potenzmenge ist. Ein nicht triviales Beispiel, das keine Borel-Menge ist, finden Sie unter Vitali-Menge oder Nicht-Borel-Mengen .

Auf dem euklidischen Raum ist eine weitere σ-Algebra von Bedeutung: die aller Lebesgue-messbaren Mengen. Diese σ-Algebra enthält mehr Mengen als die Borelsche σ-Algebra und wird in der Integrationstheorie bevorzugt , da sie einen vollständigen Maßraum ergibt . ${\displaystyle \mathbb{R}^{n},}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Produkt σ-Algebra

Seien und seien zwei messbare Räume. Die σ-Algebra für den entsprechenden Produktraum heißt Produkt σ-Algebra und ist definiert durch ${\displaystyle (X_{1},\Sigma_{1})}$${\displaystyle (X_{2},\Sigma_{2})}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$

Beachten Sie, dass es sich um ein π -System handelt. ${\displaystyle \left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma_{1},B_{2}\in \Sigma_{2}\right\}}$

Die Borel-σ-Algebra für wird durch halb-unendliche Rechtecke und durch endliche Rechtecke erzeugt. Zum Beispiel, ${\displaystyle R^{n}}$

Für jedes dieser beiden Beispiele ist die erzeugende Familie ein π -System .

σ-Algebra erzeugt durch Zylindersätze

Vermuten

ist eine Menge von reellwertigen Funktionen auf . Lassen Sie die Borel Teilmengen bezeichnen Für jeden und eine Zylinderteilmenge von ist ein endlich eingeschränkten Satz definiert als ${\displaystyle \mathbb{T}}$${\displaystyle {\mathcal{B}}(\mathbb{R})}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {T}}$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal{B}}(\mathbb{R})}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle C_{t_{1},\dots,t_{n}}(B_{1},\dots,B_{n})=\{f\in X:f(t_{i})\in B_ {i},1\leq i\leq n\}.}$$

Für jeden ${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb{T},}$

$${\displaystyle \{C_{t_{1},\dots,t_{n}}(B_{1},\dots,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\ mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}}$$

ist ein π -System, das eine σ-Algebra erzeugt Dann ist die Familie der Teilmengen ${\textstyle \Sigma_{t_{1},\dots,t_{n}}.}$

$${\displaystyle {\mathcal{F}}_{X}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{t_{i}\in\mathbb{T},i\leq n}\ Sigma _{t_{1},\dots,t_{n}}}$$

ist eine Algebra, die die Zylinder-σ-Algebra erzeugt für Diese σ-Algebra ist eine Teilalgebra der Borelschen σ-Algebra, die durch die Produkttopologie von eingeschränkt auf . bestimmt wird${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{T}}}$${\displaystyle X.}$

Ein wichtiger Spezialfall ist, wann ist die Menge der natürlichen Zahlen und ist eine Menge reellwertiger Folgen. In diesem Fall genügt es, die Zylindersätze zu betrachten ${\displaystyle \mathbb{T}}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle C_{n}(B_{1},\dots,B_{n})=(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb{R}^{\infty}) \cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},x_{n+1},\dots)\in X:x_{i}\in B_{i}, 1\leq i\leq n\},}$$

für die

$${\displaystyle \Sigma_{n}=\sigma (\{C_{n}(B_{1},\dots,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal{B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})}$$

ist eine nicht abnehmende Folge von σ-Algebren.

σ-Algebra erzeugt durch Zufallsvariable oder Vektor

Angenommen, es handelt sich um einen

Wahrscheinlichkeitsraum . Wenn bezüglich der Borelschen σ-Algebra messbar ist, dann heißt es Zufallsvariable ( ) oder Zufallsvektor ( ). Die von is . erzeugte σ-Algebra${\displaystyle (\Omega,\Sigma,\mathbb{P})}$${\textstyle Y:\Omega\to\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \sigma(Y)=\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal{B}}(\mathbb{R}^{n})\}.}$$

σ-Algebra erzeugt durch einen stochastischen Prozess

Angenommen, es ist ein

Wahrscheinlichkeitsraum und die Menge der reellwertigen Funktionen auf . Wenn in Bezug auf die Zylinder-σ-Algebra (siehe oben) messbar ist, dann heißt dann stochastischer Prozess oder Zufallsprozess . Die von is . erzeugte σ-Algebra${\displaystyle (\Omega,\Sigma,\mathbb{P})}$${\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{T}}}$${\displaystyle \mathbb{T}}$${\textstyle Y:\Omega\to X\subseteq\mathbb{R}^{\mathbb{T}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{X})}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \sigma(Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in\sigma ({\mathcal{F}}_{X})\right\}=\sigma (\ {Y^{-1}(A):A\in {\mathcal{F}}_{X}\}),}$$

die σ-Algebra, die durch die inversen Bilder von Zylindersätzen erzeugt wird.

Siehe auch

• δ -ring  – Ring geschlossen unter zählbaren Kreuzungen
• Feld der Mengen  – Algebraisches Konzept in der Maßtheorie, auch als Mengenalgebra bezeichnet.
• Verbinden (Sigma-Algebra)
• 𝜆-System (Dynkin-System)  – Familie geschlossen unter Komplementen und abzählbaren disjunkten Vereinigungen
• Messbare Funktion  – Funktion, für die das Urbild einer messbaren Menge messbar ist
• Monotone Klasse
• π -system  – Familie von Mengen geschlossen unter Schnitt
• Ring der Mengen  – Familie geschlossen unter Vereinigungen und relativen Ergänzungen
• Probenraum
• 𝜎-ideal  – Familie geschlossen unter Teilmengen und zählbaren Vereinigungen
• 𝜎-Ring  – Ring geschlossen unter zählbaren Verbindungen
• 𝜎 Additiv

Verweise

• Durrett, Richard (2019). Wahrscheinlichkeit: Theorie und Beispiele (PDF) . Cambridge Series in statistischer und probabilistischer Mathematik. 49 (5. Aufl.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Abgerufen am 5. November 2020 .

Externe Links

• "Algebra der Mengen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Sigma-Algebra bei PlanetMath .

Familien von Sets${\displaystyle {\mathcal{F}}}$ über${\displaystyle \Omega}$
Trifft notwendigerweise zu ${\displaystyle {\mathcal{F}}\colon}$ oder, ist geschlossen unter:${\displaystyle {\mathcal{F}}}$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots}$	FIP	Regie durch${\displaystyle\,\supseteq}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots}$	${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \,\\&{\text{where }}A_{i}\nearrow \end{alignedat}} }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots}$	${\displaystyle \Omega\setminus A}$	${\displaystyle A\setminus B}$	${\displaystyle \varnothing\in {\mathcal{F}}}$	${\displaystyle \Omega\in {\mathcal{F}}}$
π -System
𝜆-System (Dynkin-System)			Niemals
Ring (Ordnungstheorie)
Ring (Messtheorie)			Niemals
δ-Ring			Niemals
𝜎-Ring			Niemals
Algebra (Feld)			Niemals
𝜎-Algebra (𝜎-Feld)			Niemals
Doppelideal
Filter									Niemals	Niemals	${\displaystyle \varnothing \not\in {\mathcal {F}}}$
Vorfilter (Filterbasis)									Niemals	Niemals	${\displaystyle \varnothing \not\in {\mathcal {F}}}$
Unterbau filtern									Niemals	Niemals	${\displaystyle \varnothing \not\in {\mathcal {F}}}$
Topologie			Niemals
Trifft notwendigerweise zu ${\displaystyle {\mathcal{F}}\colon}$ oder, ist geschlossen unter:${\displaystyle {\mathcal{F}}}$	endliche Schnittpunkte	zählbare Kreuzungen	Finite Überschneidung Property	nach unten gerichtet	endliche Vereinigungen	zählbare disjunkte Gewerkschaften	zählbare wachsende Gewerkschaften	zählbare Gewerkschaften	ergänzt in${\displaystyle \Omega}$	relative Ergänzungen	enthält ${\displaystyle \varnothing}$	enthält ${\displaystyle \Omega}$
Es wird davon ausgegangen, dass alle Familien nicht leer sind. ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots}$sind beliebige Elemente von bezeichnet eine Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen (genannt disjunkte Vereinigung ). Außerdem ist ein Semiring ein π -System, in dem jedes Komplement gleich einer endlichen disjunkten Vereinigung von Mengen in A Semialgebra ist ein Semiring, der enthält Eine monotone Klasse ist eine Familie, die sowohl unter abzählbaren aufsteigenden Vereinigungen als auch unter abzählbaren absteigenden Schnitten abgeschlossen ist. ${\displaystyle {\mathcal{F}}.}$ ${\displaystyle \,\sqcup\,}$ ${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal{F}}.}$ ${\displaystyle \Omega.}$