Flüssige Lösung - Fluid solution

Generelle Relativität
${\displaystyle G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}={8\pi G\over c^{4}}T_{\mu\nu}}$
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Lösungen Schwarzschild ( Innenraum ) Reissner–Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman Kasner Lemaître–Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-Welle van Stockum Staub Weyl−Lewis−Papapetrou
Wissenschaftler Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Gehhilfe Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Neuer Mann Yau Dorn Andere
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In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist eine Flüssigkeitslösung eine exakte Lösung der Einstein-Feldgleichung, bei der das Gravitationsfeld vollständig durch die Masse, den Impuls und die Spannungsdichte einer Flüssigkeit erzeugt wird .

In der Astrophysik werden häufig flüssige Lösungen als stellare Modelle verwendet . (Es könnte hilfreich sein, sich ein perfektes Gas als Sonderfall einer perfekten Flüssigkeit vorzustellen.) In der Kosmologie werden flüssige Lösungen oft als kosmologische Modelle verwendet .

Mathematische Definition

Der Spannungs-Energie-Tensor einer relativistischen Flüssigkeit kann in der Form

${\displaystyle T^{ab}=\mu\,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b} +q^{a}\,u^{b}\right)+\pi^{ab}}$

Hier

• die Weltlinien der Fluidelemente sind die Integralkurven des Geschwindigkeitsvektors ,${\displaystyle u^{a}}$
• der Projektionstensor projiziert andere Tensoren auf Hyperebenenelemente orthogonal zu ,${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}}$${\displaystyle u^{a}}$
• die Materiedichte ist durch die Skalarfunktion gegeben ,${\displaystyle\mu}$
• der Druck ist durch die Skalarfunktion gegeben ,${\displaystyle p}$
• der Wärmestromvektor ist gegeben durch ,${\displaystyle q^{a}}$
• der viskose Schertensor ist gegeben durch .${\displaystyle \pi^{ab}}$

Der Wärmestromvektor und der viskose Schertensor sind quer zu den Weltlinien, in dem Sinne, dass

${\displaystyle q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi_{ab}\,u^{b}=0}$

Dies bedeutet, dass sie effektiv dreidimensionale Größen sind, und da der viskose Spannungstensor symmetrisch und spurlos ist , haben sie drei bzw. fünf linear unabhängige Komponenten. Zusammen mit Dichte und Druck ergibt dies insgesamt 10 linear unabhängige Komponenten, was die Anzahl der linear unabhängigen Komponenten in einem vierdimensionalen symmetrischen Rang-2-Tensor ist.

Sonderfälle

Einige Spezialfälle flüssiger Lösungen sind bemerkenswert (hier Lichtgeschwindigkeit c  = 1):

• Eine perfekte Flüssigkeit hat eine verschwindende viskose Scherung und einen verschwindenden Wärmestrom:

${\displaystyle T^{ab}=(\mu+p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},}$

• Ein Staub ist eine drucklose perfekte Flüssigkeit:

${\displaystyle T^{ab}=\mu\,u^{a}\,u^{b},}$

• Eine Strahlungsflüssigkeit ist eine perfekte Flüssigkeit mit :${\displaystyle \mu =3p}$

${\displaystyle T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).}$

Die letzten beiden werden oft als kosmologische Modelle für (jeweils) materiedominierte und strahlungsdominierte Epochen verwendet. Beachten Sie, dass, während im Allgemeinen zehn Funktionen erforderlich sind, um eine Flüssigkeit zu spezifizieren, eine perfekte Flüssigkeit nur zwei erfordert und Stäube und Strahlungsflüssigkeiten jeweils nur eine Funktion benötigen. Es ist viel einfacher, solche Lösungen zu finden, als eine allgemeine flüssige Lösung zu finden.

Unter den perfekten Fluiden außer Stäuben oder Strahlungsfluiden ist der mit Abstand wichtigste Spezialfall der der statischen kugelsymmetrischen perfekten Fluidlösungen . Diese können immer an ein Schwarzschild-Vakuum über eine Kugeloberfläche angepasst werden, sodass sie als Innenlösungen in einem stellaren Modell verwendet werden können. In solchen Modellen ist die Kugel, in der das Innere der Flüssigkeit mit dem Äußeren des Vakuums übereinstimmt, die Oberfläche des Sterns, und der Druck muss im Grenzbereich verschwinden, wenn sich der Radius nähert . Die Dichte kann jedoch im Grenzwert von unten ungleich Null sein, während sie im Grenzwert von oben natürlich Null ist. In den letzten Jahren wurden mehrere überraschend einfache Schemata angegeben, um all diese Lösungen zu erhalten. ${\displaystyle r=r[0]}$${\displaystyle r_{0}}$

Einstein-Tensor

Die Komponenten eines Tensors, die in Bezug auf ein Rahmenfeld und nicht auf die Koordinatenbasis berechnet werden, werden oft als physikalische Komponenten bezeichnet , weil dies die Komponenten sind, die (im Prinzip) von einem Beobachter gemessen werden können.

Im Sonderfall eines perfekten Fluids , ein angepasster Rahmen

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e }}_{3}}$

(das erste ist ein zeit Einheit Vektorfeld , die letzten drei sind raumartig Einheit Vektorfelder) immer in dem nimmt der Einstein - Tensor die einfache Form gefunden werden

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi\,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\ \0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

Wo ist die Energiedichte und der Druck der Flüssigkeit. Hier ist das zeitartige Einheitsvektorfeld überall tangential zu den Weltlinien von Beobachtern, die mit den Fluidelementen mitbewegt werden, so dass die gerade erwähnte Dichte und der Druck die von mitbewegten Beobachtern gemessenen sind. Dies sind die gleichen Größen, die in dem im vorhergehenden Abschnitt angegebenen allgemeinen Koordinatenbasisausdruck erscheinen; um dies zu sehen, einfach . Aus der Form der physikalischen Komponenten ist leicht zu erkennen, dass die Isotropiegruppe jedes perfekten Fluids isomorph zur dreidimensionalen Lie-Gruppe SO(3), der gewöhnlichen Rotationsgruppe, ist. ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

Dass diese Ergebnisse für gekrümmte Raumzeiten genauso sind wie für Hydrodynamik in flacher Minkowski-Raumzeit, ist Ausdruck des Äquivalenzprinzips .

Eigenwerte

Das charakteristische Polynom des Einstein-Tensors in einer perfekten Flüssigkeit muss die Form . haben

${\displaystyle \chi(\lambda)=\left(\lambda -8\pi\mu\right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

wo sind wiederum die Dichte und der Druck des Fluids, gemessen von Beobachtern, die sich mit den Fluidelementen bewegen. (Beachten Sie, dass diese Größen innerhalb der Flüssigkeit variieren können .) Wenn wir dies ausdrücken und Gröbner-Basismethoden anwenden , um die resultierenden algebraischen Beziehungen zu vereinfachen, finden wir, dass die Koeffizienten der Charakteristik die folgenden zwei algebraisch unabhängigen (und invarianten) Bedingungen erfüllen müssen: ${\displaystyle \mu,\,p}$

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

Aber nach Newtons Identitäten beziehen sich die Spuren der Potenzen des Einstein-Tensors wie folgt auf diese Koeffizienten:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1} ^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_ {a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_ {4}}$

so können wir die beiden obigen Größen vollständig in Bezug auf die Spuren der Potenzen umschreiben. Dies sind offensichtlich skalare Invarianten, und sie müssen im Fall einer perfekten flüssigen Lösung identisch verschwinden:

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2 }t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

Beachten Sie, dass dies nichts über eine mögliche Zustandsgleichung bezüglich Druck und Dichte des Fluids aussagt; wir nehmen nur an, dass wir einen einfachen und einen dreifachen Eigenwert haben.

Bei einer Staublösung (verschwindender Druck) vereinfachen sich diese Bedingungen erheblich:

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

oder

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{ 4}}$

In Tensor-Gymnastik-Notation kann dies mit dem Ricci-Skalar geschrieben werden als:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_ {a}=-R^{4}}$

Im Fall einer Strahlungsflüssigkeit werden die Kriterien zu

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^ {2}=0}$

oder

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{ 2}^{2}=0}$

Bei der Anwendung dieser Kriterien muss darauf geachtet werden, dass der größte Eigenwert zu einem zeitähnlichen Eigenvektor gehört, da es Lorentzsche Mannigfaltigkeiten gibt , die dieses Eigenwertkriterium erfüllen, in denen der große Eigenwert zu einem raumähnlichen Eigenvektor gehört und diese Strahlungsflüssigkeiten nicht darstellen können.

Die Koeffizienten der Kennlinie werden oft sehr kompliziert erscheinen, und die Spuren sind nicht viel besser; bei der Suche nach Lösungen ist es fast immer besser, Komponenten des Einstein-Tensors in Bezug auf einen entsprechend angepassten Rahmen zu berechnen und dann entsprechende Komponentenkombinationen direkt zu töten. Wenn jedoch kein angepasster Rahmen ersichtlich ist, können diese Eigenwertkriterien manchmal nützlich sein, insbesondere wenn sie in Verbindung mit anderen Überlegungen verwendet werden.

Diese Kriterien können oft nützlich sein, um vermeintlich perfekte Fluidlösungen stichprobenartig zu überprüfen, wobei in diesem Fall die Koeffizienten der Charakteristik oft viel einfacher sind, als sie es für ein einfacheres unvollkommenes Fluid wären.

Beispiele

Bemerkenswerte Einzelstaublösungen sind im Artikel zu Staublösungen aufgeführt . Bemerkenswert perfekte Flüssigkeitslösungen mit Überdruck sind verschiedene Strahlungsflüssigkeitsmodelle aus der Kosmologie, darunter

• FRW-Strahlungsflüssigkeiten , die oft als strahlungsdominierte FRW-Modelle bezeichnet werden.

Neben der Familie der statischen, kugelsymmetrischen perfekten Fluide umfassen bemerkenswerte Lösungen für rotierende Fluide

• Wahlquist-Fluid , das ähnliche Symmetrien wie das Kerr-Vakuum aufweist , was zu anfänglichen Hoffnungen (da gestrichelt) führt, dass es die innere Lösung für ein einfaches Modell eines rotierenden Sterns darstellen könnte.

Siehe auch

• Staublösung , für den wichtigen Sonderfall der Staublösungen,
• Exakte Lösungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie , für exakte Lösungen im Allgemeinen,
• Lorentz-Gruppe
• Perfect fluid , für perfekte Fluide in der Physik im Allgemeinen,
• Relativistische Scheiben , zur Interpretation relativistischer Scheiben in Bezug auf perfekte Flüssigkeiten.

Verweise

• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Exakte Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen (2. Aufl.) . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7. Gibt viele Beispiele für exakt perfekte Flüssigkeits- und Staublösungen.
• Stephani, Hans (1996). Allgemeine Relativitätstheorie (zweite Auflage) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.. Siehe Kapitel 8 für eine Diskussion über relativistische Fluide und Thermodynamik.
• Delgaty, MSR; See, Kayll (1998). „Physische Akzeptanz von isolierten, statischen, kugelsymmetrischen, perfekten flüssigen Lösungen von Einsteins Gleichungen“. Berechnen. Phys. Komm . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc/9809013 . Bibcode : 1998CoPhC.115..395D . doi : 10.1016/S0010-4655(98)00130-1 .. Dieser Übersichtsartikel gibt einen Überblick über statische kugelsymmetrische Fluidlösungen, die bis etwa 1995 bekannt waren.
• See, Kayll (2003). „Alle statischen kugelsymmetrischen perfekten Flüssigkeitslösungen von Einsteins Gleichungen“. Phys. Rev. D . 67 (10): 104015. arXiv : gr-qc/0209104 . Bibcode : 2003PhRvD..67j4015L . doi : 10.1103/PhysRevD.67.104015 .. Dieser Artikel beschreibt eines von mehreren Schemata, die kürzlich gefunden wurden, um alle statischen kugelsymmetrischen perfekten Flüssigkeitslösungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu erhalten.