Allgemeine Leibniz-Regel - General Leibniz rule

Teil einer Artikelserie über
Infinitesimalrechnung
Grundsatz Leibniz-Integralregel Funktionsgrenzen Kontinuität Mittelwertsatz Rolles Theorem
Differential Definitionen Derivat  ( Verallgemeinerungen ) Differential infinitesimal einer Funktion gesamt Konzepte Differenzierungsnotation Zweite Ableitung Implizite Differenzierung Logarithmische Differenzierung Verwandte Preise Taylors Satz Regeln und Identitäten Summe Produkt Kette Leistung Quotient Die Regel von L'Hôpital Invers General Leibniz Faà di Brunos Formel
Integral Listen von Integralen Integrale Transformation Definitionen Antiderivativ Integral  ( unpassend ) Riemann-Integral Lebesgue-Integration Konturintegration Integral von inversen Funktionen Integration durch Teile Discs Zylinderschalen Substitution  ( trigonometrisch , Weierstrass , Euler ) Eulers Formel Partialbrüche Reihenfolge ändern Reduktionsformeln Unter dem Integralzeichen differenzieren
Serie Geometrisch  ( arithmetisch-geometrisch ) Harmonisch Abwechselnd Leistung Binomial Taylor Konvergenztests Summandenlimit (Term Test) Verhältnis Wurzel Integral Direkter Vergleich Grenzwertvergleich Wechselnde Serien Cauchy Kondensation Dirichlet Abel
Vektor Gradient Abweichungen Curl Laplace Richtungsableitung Identitäten Theoreme Gradient Grüns Stokes ' Abweichungen verallgemeinerte Stokes
Multivariabel Formalismen Matrix Tensor Außen Geometrisch Definitionen Partielle Ableitung Mehrfachintegral Linienintegral Oberflächenintegral Volumenintegral Jacobian Hessisch
Spezialisiert Bruchteil Malliavin Stochastisch Variationen
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v t e

In Kalkül , die allgemeine Leibniz - Regel , benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz verallgemeinert, die Produktregel (die auch als „Leibniz-Regel“ bekannt ist). Darin heißt es , dass , wenn und sind -Zeiten differenzierbare Funktionen , dann ist das Produkt auch -mal differenzierbar und seine te Ableitung ist gegeben durch ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ wähle k} f ^ {(nk)} g ^ {(k)},}$

wo ist der Binomialkoeffizient und bezeichnet die j- te Ableitung von f (und insbesondere ). ${\ displaystyle {n \ wähle k} = {n! \ over k! (nk)!}}$${\ displaystyle f ^ {(j)}}$${\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$

Die Regel kann unter Verwendung der Produktregel und der mathematischen Induktion bewiesen werden .

Zweite Ableitung

Wenn zum Beispiel n = 2 ist , gibt die Regel einen Ausdruck für die zweite Ableitung eines Produkts zweier Funktionen:

${\ displaystyle (fg) '' (x) = \ sum \ limitiert _ {k = 0} ^ {2} {{\ binom {2} {k}} f ^ {(2-k)} (x) g ^ {(k)} (x)} = f '' (x) g (x) + 2f '(x) g' (x) + f (x) g '' (x).}$

Mehr als zwei Faktoren

Die Formel kann auf das Produkt von m differenzierbaren Funktionen f ₁ , ..., f _m verallgemeinert werden .

${\ displaystyle \ left (f_ {1} f_ {2} \ cdots f_ {m} \ right) ^ {(n)} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m } = n} {n \ wähle k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} \ prod _ {1 \ leq t \ leq m} f_ {t} ^ {(k_ {t}) } \ ,,}$

wobei sich die Summe über alle m- Tupel ( k ₁ , ..., k _m ) nicht negativer Ganzzahlen mit und erstreckt ${\ displaystyle \ sum _ {t = 1} ^ {m} k_ {t} = n,}$

${\ displaystyle {n \ wähle k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ frac {n!} {k_ {1}! \, k_ {2}! \ cdots k_ { m}!}}}$

sind die Multinomialkoeffizienten . Dies ähnelt der Multinomialformel aus der Algebra.

Beweis

Der Beweis der allgemeinen Leibniz-Regel erfolgt durch Induktion. Sei und sei- mal differenzierbare Funktionen. Der Basisfall, wenn behauptet wird, dass: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle (fg) '= f'g + fg',}$

Dies ist die übliche Produktregel und es ist bekannt, dass sie wahr ist. Als nächstes wird angenommen, dass die Anweisung für ein festes gilt, das heißt ${\ displaystyle n \ geq 1,}$

${\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k)}. }}$

Dann,

${\ displaystyle {\ begin {align} (fg) ^ {(n + 1)} & = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ { (nk)} g ^ {(k)} \ right] '\\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k )} g ^ {(k)} + \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k + 1)} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + \ sum _ {k = 1 } ^ {n + 1} {\ binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} \\ & = {\ binom {n} {0} } f ^ {(n + 1)} g + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k) } + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + {\ binom {n } {n}} fg ^ {(n + 1)} \\ & = f ^ {(n + 1)} g + \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{\ binom { n} {k-1}} + {\ binom {n} {k}} \ rechts] f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} \ rechts) + fg ^ {(n + 1)} \\ & = f ^ {(n + 1)} g + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k )} g ^ {(k)} + fg ^ {(n + 1)} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} {\ binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)}. \ end {align}}}$

Und so gilt die Aussage und der Beweis ist vollständig. ${\ displaystyle n + 1,}$

Multivariable Infinitesimalrechnung

Mit der Multi-Index- Notation für partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen heißt es in der Leibniz-Regel allgemeiner:

${\ displaystyle \ partiell ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ beta \ ,: \, \ beta \ leq \ alpha} {\ alpha \ wähle \ beta} (\ partiell ^ {\ beta} f) (\ teilweise ^ {\ alpha - \ beta} g).}$

Diese Formel kann verwendet werden, um eine Formel abzuleiten, die das Symbol für die Zusammensetzung von Differentialoperatoren berechnet . Tatsächlich seien P und Q Differentialoperatoren (mit Koeffizienten, die ausreichend oft differenzierbar sind), und da R auch ein Differentialoperator ist, ist das Symbol von R gegeben durch: ${\ displaystyle R = P \ circ Q.}$

${\ displaystyle R (x, \ xi) = e ^ {- {\ langle x, \ xi \ rangle}} R (e ^ {\ langle x, \ xi \ rangle}).}$

Eine direkte Berechnung ergibt nun:

${\ displaystyle R (x, \ xi) = \ sum _ {\ alpha} {1 \ über \ alpha!} \ left ({\ partiell \ über \ partiell \ xi} \ rechts) ^ {\ alpha} P (x , \ xi) \ left ({\ partiell \ über \ partiell x} \ rechts) ^ {\ alpha} Q (x, \ xi).}$

Diese Formel wird üblicherweise als Leibniz-Formel bezeichnet. Es wird verwendet, um die Zusammensetzung im Raum der Symbole zu definieren und dadurch die Ringstruktur zu induzieren.

Siehe auch

• Binomialsatz
• Ableitung (Differentialalgebra)
• Derivat
• Differentialalgebra
• Pascals Dreieck

Verweise