Arithmetik-geometrische Folge - Arithmetico–geometric sequence

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v T e

In der Mathematik ist die arithmetisch-geometrische Folge das Ergebnis der Term-für-Term-Multiplikation einer geometrischen Folge mit den entsprechenden Termen einer arithmetischen Folge . Einfach ausgedrückt ist der n- te Term einer arithmetisch-geometrischen Folge das Produkt des n- ten Termes einer arithmetischen Folge. und der n- te Term eines geometrischen. Arithmetisch-geometrische Folgen treten in verschiedenen Anwendungen auf, beispielsweise bei der Berechnung von Erwartungswerten in der Wahrscheinlichkeitstheorie . Zum Beispiel die Sequenz

${\displaystyle {\dfrac {\color {blau}{0}}{\color {grün}{1}}},\ {\dfrac {\color {blau}{1}}{\color {grün}{2 }}},\ {\dfrac {\color {blau}{2}}{\color {grün}{4}}},\ {\dfrac {\color {blau}{3}}{\color {grün} {8}}},\ {\dfrac {\color {blau}{4}}{\color {grün}{16}}},\ {\dfrac {\color {blau}{5}}{\color { grün}{32}}},\cdots}$

ist eine arithmetisch-geometrische Folge. Die arithmetische Komponente erscheint im Zähler (in blau) und die geometrische Komponente im Nenner (in grün).

Die Summation dieser unendlichen Folge ist als arithmetisch-geometrische Reihe bekannt , und ihre grundlegendste Form wurde Gabriels Treppe genannt :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\color {blau}k}{\color {grün}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^ {2}}},\quad\mathrm {für\} 0<r<1}$

Der Nennwert kann auch auf verschiedene Objekte angewendet werden, die Merkmale sowohl arithmetischer als auch geometrischer Folgen aufweisen; zum Beispiel bezieht sich der französische Begriff der arithmetisch-geometrischen Folge auf Folgen der Form , die sowohl arithmetische als auch geometrische Folgen verallgemeinern. Solche Folgen sind ein Spezialfall von linearen Differenzengleichungen . ${\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b}$

Begriffe der Sequenz

Die ersten Terme einer arithmetisch-geometrischen Folge bestehend aus einer arithmetischen Folge (in blau) mit Differenz und Anfangswert und einer geometrischen Folge (in grün) mit Anfangswert und gemeinsamem Verhältnis sind gegeben durch: ${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blau}a\color {grün}b\\t_{2}&=\color {blau}(a+d)\color {grün} br\\t_{3}&=\color {blau}(a+2d)\color {grün}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blau} [a+(n-1)d]\color {grün}br^{n-1}\end{ausgerichtet}}}$

Beispiel

Zum Beispiel die Sequenz

${\displaystyle {\dfrac {\color {blau}{0}}{\color {grün}{1}}},\ {\dfrac {\color {blau}{1}}{\color {grün}{2 }}},\ {\dfrac {\color {blau}{2}}{\color {grün}{4}}},\ {\dfrac {\color {blau}{3}}{\color {grün} {8}}},\ {\dfrac {\color {blau}{4}}{\color {grün}{16}}},\ {\dfrac {\color {blau}{5}}{\color { grün}{32}}},\cdots}$

ist definiert durch , , und . ${\displaystyle d=b=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$

Summe der Begriffe

Die Summe der ersten n Terme einer arithmetisch-geometrischen Folge hat die Form

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k -1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^ {n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end {ausgerichtet}}}$

wobei und die i- ten Terme der arithmetischen bzw. der geometrischen Folge sind. ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle G_{i}}$

Diese Summe hat den geschlossenen Ausdruck

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1 -r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}} {1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}$

Nachweisen

Multiplizieren,

${\displaystyle S_{n}=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}}$

von r , gibt

${\displaystyle rS_{n}=ar+[a+d]r^{2}+[a+2d]r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}.}$

Subtrahiert man rS _n von S _n , und verwendet die Technik der Teleskopreihen, ergibt

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}(1-r)S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n -1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+ \cdots +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n- 1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r ^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^ {2}+\cdots+r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r .) ^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\end{ausgerichtet}}}$

wobei sich die letzte Gleichheit des Ausdrucks für die Summe einer geometrischen Reihe ergibt . Schließlich ergibt die Division durch 1 − r das Ergebnis.

Unendliche Serie

Ist −1 < r < 1, dann ist die Summe S der arithmetisch-geometrischen Reihe , also die Summe aller unendlich vielen Terme der Progression, gegeben durch

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}S&=\sum _{k=1}^{\infty}t_{k}=\lim _{n\to \infty}S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r} }+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Wenn r außerhalb des obigen Bereichs liegt, ist die Reihe entweder

• divergiert (wenn r > 1, oder wenn r = 1, wenn die Reihe arithmetisch ist und a und d nicht beide Null sind; wenn im letzteren Fall sowohl a als auch d Null sind, sind alle Terme der Reihe Null und die Reihe ist konstant )
• oder alterniert (wenn r ≤ −1).

Beispiel: Anwendung auf Erwartungswerte

Zum Beispiel die Summe

${\displaystyle S={\dfrac {\color {blau}{0}}{\color {grün}{1}}}+{\dfrac {\color {blau}{1}}{\color {grün}{ 2}}}+{\dfrac {\color {blau}{2}}{\color {grün}{4}}}+{\dfrac {\color {blau}{3}}{\color {grün}{ 8}}}+{\dfrac {\color {blau}{4}}{\color {grün}{16}}}+{\dfrac {\color {blau}{5}}{\color {grün}{ 32}}}+\cdots }$,

als Summe einer arithmetisch-geometrischen Reihe definiert durch , , und konvergiert gegen . ${\displaystyle d=b=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle S=2}$

Diese Sequenz entspricht der erwarteten Anzahl von Münzwürfen, bevor " Zahlen " erhalten werden. Die Wahrscheinlichkeit , beim k- ten Wurf zum ersten Mal Schwänze zu erhalten, ist wie folgt: ${\displaystyle T_{k}}$

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1} {2^{k}}}}$.

Daher ist die erwartete Anzahl von Würfen gegeben durch

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blau}k}{\color {grün }2^{k}}}=S=2}$ .

Verweise

Weiterlesen

• D. Khattar. The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/d (Neuausgabe) . Pearson Bildung Indien. P. 10.8. ISBN 81-317-2876-5.
• P. Gupta. Umfassende Mathematik XI . Laxmi-Publikationen. P. 380. ISBN 81-7008-597-7.