Wurzeltest - Root test

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In der Mathematik ist der Wurzeltest ein Kriterium für die Konvergenz (ein Konvergenztest ) einer unendlichen Reihe . Es kommt auf die Menge an

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

Wo sind die Begriffe der Reihe und besagt, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn diese Menge kleiner als eins ist, aber divergiert, wenn sie größer als eins ist. Es ist besonders nützlich in Verbindung mit Potenzreihen . ${\ displaystyle a_ {n}}$

Erklärung zum Wurzeltest

Der Wurzeltest wurde zuerst von Augustin-Louis Cauchy entwickelt , der ihn in seinem Lehrbuch Cours d'analyse (1821) veröffentlichte. Daher wird es manchmal als Cauchy-Wurzeltest oder Cauchy-Radikaltest bezeichnet . Für eine Serie

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

Der Root-Test verwendet die Nummer

${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

wobei "lim sup" die Obergrenze bezeichnet , möglicherweise ∞ +. Beachten Sie, dass wenn

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

konvergiert dann ist es gleich C und kann stattdessen im Root-Test verwendet werden.

Der Wurzeltest besagt, dass:

• wenn C <1 ist, konvergiert die Reihe absolut ,
• wenn C > 1, dann divergiert die Reihe ,
• Wenn C = 1 ist und sich die Grenze streng von oben nähert, divergiert die Reihe.
• Andernfalls ist der Test nicht schlüssig (die Reihen können divergieren, absolut konvergieren oder bedingt konvergieren ).

Es gibt einige Reihen, für die C = 1 und die Reihe konvergieren, z. B. , und es gibt andere, für die C = 1 und die Reihe divergieren, z . ${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / {n ^ {2}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / n}$

Anwendung auf Potenzreihen

Dieser Test kann mit einer Potenzreihe verwendet werden

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}$

wobei die Koeffizienten c _n und das Zentrum p sind komplexe Zahlen und das Argument z eine komplexe Variable.

Die Terme dieser Reihe wären dann gegeben durch a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Man wendet dann den Wurzeltest wie oben auf das a _n an. Beachten Sie, dass eine Reihe wie diese manchmal als Potenzreihe "um p " bezeichnet wird, da der Konvergenzradius der Radius R des größten Intervalls oder der Scheibe ist, die bei p zentriert ist, so dass die Reihe für alle Punkte z streng im Inneren konvergiert ( Die Konvergenz an der Grenze des Intervalls oder der Scheibe muss im Allgemeinen separat überprüft werden. Eine Folge des Wurzeltests, der auf eine solche Potenzreihe angewendet wird, ist der Cauchy-Hadamard-Satz : Der Konvergenzradius sorgt genau dafür , dass wir wirklich ∞ meinen, wenn der Nenner 0 ist. ${\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Beweis

Der Beweis der Konvergenz einer Reihe Σ a _n ist eine Anwendung des Vergleichstests . Wenn für alle n ≥ N ( N eine feste natürliche Zahl ) haben wir dann . Da die geometrische Reihe konvergiert, konvergiert dies auch durch den Vergleichstest. Daher konvergiert Σ a _n absolut. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq k <1,}$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq k ^ {n} <1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} k ^ {n}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} | a_ {n} |}$

Wenn für unendlich viele n , dann ein _n Converge auf 0 ausfällt, daher ist die Reihe divergent. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}> 1}$

Beweis der Folgerung : Für eine Potenzreihe Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ^{n sehen} wir oben, dass die Reihe konvergiert, wenn es ein N gibt, so dass für alle n ≥ N wir haben

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} <1,}$

gleichwertig

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ cdot | zp | <1}$

für alle n ≥ N , was impliziert, dass wir für alle ausreichend große n haben müssen, damit die Reihe konvergiert . Dies ist gleichbedeutend mit sagen ${\ displaystyle | zp | <1 / {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}$

${\ displaystyle | zp | <1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

so jetzt die einzige andere Ort , an dem die Konvergenz möglich ist , wenn ${\ displaystyle R \ leq 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} = 1,}$

(da Punkte> 1 divergieren) und dies ändert den Konvergenzradius nicht, da dies nur die Punkte sind, die an der Grenze des Intervalls oder der Scheibe liegen

${\ displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

Beispiele

Beispiel 1:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {i}} {i ^ {9}}}}$

Anwenden des Root-Tests und Verwenden der Tatsache, dass ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} n ^ {1 / n} = 1,}$

${\ displaystyle C = {\ sqrt [{n}] {| {\ frac {2 ^ {n}} {n ^ {9}} |}} = {\ frac {\ sqrt [{n}] {2 ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {n ^ {9}}} = {\ frac {2} {(n ^ {1 / n}) ^ {9}}} = 2}$

Da divergiert die Serie. ${\ displaystyle C = 2> 1,}$

Beispiel 2:

${\ displaystyle 1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ...}$

Der Wurzeltest zeigt Konvergenz, weil

${\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$

Dieses Beispiel zeigt, wie der Wurzeltest stärker ist als der Verhältnis-Test . Der Verhältnis-Test ist für diese Serie nicht schlüssig, wenn dies ungerade ist (wenn auch nicht, wenn es gerade ist), weil ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle r = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {2 \ cdot .5 ^ {n}} {2 \ cdot .5 ^ {n}}} \ right | = 1.}$

Siehe auch

• Verhältnistest
• Konvergente Serie

Verweise

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Unendliche Sequenzen und Serien . Dover Publications, Inc., New York. ISBN   0-486-60153-6 .
• Whittaker, ET & Watson, GN (1963). "§ 2.35". Ein Kurs in moderner Analyse (4. Aufl.). Cambridge University Press. ISBN   0-521-58807-3 .

Dieser Artikel enthält Material aus dem Root-Test von Proof of Cauchy auf PlanetMath , der unter der Creative Commons Attribution / Share-Alike-Lizenz lizenziert ist .