Binomialreihe - Binomial series

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v t e

In der Mathematik ist die Binomialreihe die Taylorreihe für die Funktion gegeben durch wobei ist eine beliebige komplexe Zahl und | x | < 1. Explizit, ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

( 1 )

und die Binomialreihe ist die Potenzreihe auf der rechten Seite von ( 1 ), ausgedrückt durch die (verallgemeinerten) Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

Sonderfälle

Wenn α eine nichtnegative ganze Zahl  n ist , dann sind der ( n  + 2) nd Term und alle späteren Terme in der Reihe 0, da jeder einen Faktor ( n  −  n ) enthält; in diesem Fall ist die Reihe also endlich und liefert die algebraische Binomialformel .

Die folgende Variante gilt für einen beliebigen komplexen  β , ist aber besonders nützlich für den Umgang mit negativen ganzzahligen Exponenten in ( 1 ):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}$

Um es zu beweisen, setze x  = − z in ( 1 ) ein und wende den Binomialkoeffizienten Identität

${\displaystyle {\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.}$

Konvergenz

Konvergenzbedingungen

Ob ( 1 ) konvergiert, hängt von den Werten der komplexen Zahlen α und  x ab . Etwas präziser:

1. Wenn | x | < 1 , konvergiert die Reihe absolut für jede komplexe Zahl α .
2. Wenn | x | = 1 , konvergiert die Reihe genau dann absolut, wenn entweder Re( α ) > 0 oder α = 0 ist , wobei Re( α ) den Realteil von α bezeichnet .
3. Wenn | x | = 1 und x ≠ −1 konvergiert die Reihe genau dann, wenn Re( α ) > −1 .
4. Wenn x = −1 ist , konvergiert die Reihe genau dann, wenn entweder Re( α ) > 0 oder α = 0 ist .
5. Wenn | x | > 1 divergiert die Reihe , es sei denn, α ist eine nicht negative ganze Zahl (in diesem Fall ist die Reihe eine endliche Summe).

Wenn insbesondere keine nicht negative ganze Zahl ist, wird die Situation am Rand der Konvergenzscheibe , , wie folgt zusammengefasst: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |x|=1}$

• Falls Re( α ) > 0 , konvergiert die Reihe absolut.
• Falls −1 < Re( α ) ≤ 0 , konvergiert die Reihe bedingt, falls x ≠ −1 und divergiert, falls x = −1 .
• Falls Re( α ) ≤ −1 , divergiert die Reihe.

Im Beweis zu verwendende Identitäten

Für jede komplexe Zahl  α gilt :

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}$

( 2 )

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.}$

( 3 )

Sofern es sich nicht um eine nichtnegative ganze Zahl handelt (in diesem Fall verschwinden die Binomialkoeffizienten, wenn größer als ist ), ist eine nützliche asymptotische Beziehung für die Binomialkoeffizienten in Landau-Notation : ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .}$

( 4 )

Dies ist im Wesentlichen äquivalent zu Eulers Definition der Gamma-Funktion :

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}$

und impliziert sofort die gröberen Schranken

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}$

( 5 )

für einige positive Konstanten m und M .

Formel ( 2 ) für den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten kann umgeschrieben werden als

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}$

( 6 )

Beweis

Um (i) und (v) zu beweisen, wenden Sie den Verhältnistest an und verwenden Sie die obige Formel ( 2 ), um zu zeigen, dass der Konvergenzradius immer dann genau 1 ist , wenn keine nicht negative ganze Zahl ist. Teil (ii) folgt aus Formel ( 5 ), im Vergleich zur p- Serie${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}$

mit . Um (iii) zu beweisen, verwenden Sie zuerst Formel ( 3 ), um zu erhalten ${\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }$

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}$

( 7 )

und dann verwenden Sie (ii) und Formel ( 5 ) erneut, um die Konvergenz der rechten Seite zu beweisen, wenn angenommen wird. Andererseits konvergiert die Reihe nicht, wenn und , wiederum nach Formel ( 5 ). Alternativ können wir beobachten, dass für alle , . Also nach Formel ( 6 ) für alle . Damit ist der Beweis von (iii) abgeschlossen. Wenden wir uns (iv) zu und verwenden die obige Identität ( 7 ) mit und anstelle von , zusammen mit Formel ( 4 ), um zu erhalten ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}$${\displaystyle |x|=1}$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq -1}$${\displaystyle j}$${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}$${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle \alpha -1}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

als . Aussage (iv) folgt nun aus dem asymptotischen Verhalten der Folge . (Genau, sicher konvergiert gegen if und divergiert gegen if . Wenn , dann konvergiert genau dann, wenn die Folge konvergiert , was sicherlich wahr ist, wenn aber falsch, wenn : im letzteren Fall ist die Folge dicht , da divergiert und konvergiert bis Null). ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}$${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}$${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \log(n+1)-\log n}$

Summation der Binomialreihe

Das übliche Argument zur Berechnung der Summe der Binomialreihen lautet wie folgt. Die binomiale Reihe innerhalb der Konvergenzscheibe | . term differenzieren x | < 1 und mit Formel ( 1 ) ergibt sich , dass die Summe der Reihen eine analytische Funktion ist , die die gewöhnliche Differentialgleichung (1 +  x ) u '( x ) = αu ( x ) mit Anfangsdaten u (0) = 1 . löst Die eindeutige Lösung dieses Problems ist die Funktion u ( x ) = (1 +  x ) ^α , also die Summe der Binomialreihen, zumindest für | x | < 1. Die Gleichheit erstreckt sich auf | x | = 1, wenn die Reihe konvergiert, als Folge des Satzes von Abel und durch Stetigkeit von (1 +  x ) ^α .

Geschichte

Die ersten Ergebnisse zu Binomialreihen für andere als positive ganzzahlige Exponenten wurden von Sir Isaac Newton bei der Untersuchung von Flächen gegeben, die unter bestimmten Kurven eingeschlossen sind. John Wallis baute auf dieser Arbeit auf, indem er Ausdrücke der Form y = (1 − x ² ) ^{m betrachtete,} wobei m ein Bruch ist. Er fand, dass (modern geschrieben) die aufeinanderfolgenden Koeffizienten c _k von (− x ² ) ^k durch Multiplikation des vorhergehenden Koeffizienten mitm − ( k − 1)/k(wie bei ganzzahligen Exponenten), wodurch implizit eine Formel für diese Koeffizienten angegeben wird. Er schreibt explizit die folgenden Instanzen

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Die Binomialreihe wird daher manchmal als Newtons Binomialsatz bezeichnet . Newton gibt keinen Beweis und macht keine Angaben zum Charakter der Serie. Später, im Jahr 1826, erörterte Niels Henrik Abel das Thema in einem in Crelle's Journal veröffentlichten Artikel , in dem er insbesondere Konvergenzfragen behandelte.

Siehe auch

• Binomial-Approximation
• Binomialsatz
• Tabelle der Newtonschen Reihen

Fußnoten

Anmerkungen

Zitate

Verweise

• Abel, Niels (1826), "Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x ² + (m(m-1)(m-2)/1.2.3 )x ³ + ..." , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 311–339
• Coolidge, JL (1949), "The Story of the Binomial Theorem", The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147–157, doi : 10.2307/2305028 , JSTOR  2305028

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Binomial Series" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem" . MathWorld .
• Binomialformel bei PlanetMath .
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Binomial series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press