Dirichlet-Test - Dirichlet's test

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v t e

In der Mathematik ist der Dirichlet-Test eine Methode zum Testen der Konvergenz einer Reihe . Es ist nach seinem Autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und wurde 1862 posthum im Journal de Mathématiques Pures et Appliquées veröffentlicht.

Erklärung

Der Test besagt, dass if eine Folge von reellen Zahlen und eine Folge von komplexen Zahlen erfüllt ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$

• ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ist monoton

• ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

• ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$ für jede positive ganze Zahl N.

wo M eine Konstante ist, dann die Reihe

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$

konvergiert.

Beweis

Lass und . ${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}$${\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}$

Aus der Summierung nach Teilen haben wir das . Da durch M und begrenzt ist , nähert sich der erste dieser Terme Null, als . ${\ displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle a_ {n} B_ {n} \ bis 0}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$

Wir haben für jedes k , . Aber wenn abnimmt, ${\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ,

Das ist eine teleskopische Summe , die gleich ist und sich daher als nähert . Somit konvergiert. Und wenn es zunimmt, ${\ displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})}$${\ displaystyle Ma_ {1}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ,

Das ist wieder eine teleskopische Summe, die gleich ist und sich daher als nähert . Somit konvergiert wieder. ${\ displaystyle -M (a_ {1} -a_ {n + 1})}$${\ displaystyle -Ma_ {1}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}$

Also, konvergiert auch durch den direkten Vergleichstest . Die Reihe konvergiert auch durch den absoluten Konvergenztest . Daher konvergiert. ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ displaystyle S_ {n}}$

Anwendungen

Ein besonderer Fall des Dirichlet-Tests ist der für diesen Fall am häufigsten verwendete alternierende Serientest

${\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}$

Eine weitere Folge ist, dass immer dann konvergiert, wenn eine abnehmende Sequenz gegen Null geht. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$

Unsachgemäße Integrale

Eine analoge Aussage zur Konvergenz unzulässiger Integrale wird durch die Integration von Teilen bewiesen. Wenn das Integral einer Funktion f über alle Intervalle gleichmäßig begrenzt ist und g eine monoton abnehmende nicht negative Funktion ist, dann ist das Integral von fg ein konvergentes falsches Integral.

Anmerkungen

Verweise

• Hardy, GH, Ein Kurs für reine Mathematik , 9. Auflage, Cambridge University Press, 1946. (S. 379–380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: Eine Einführung in die moderne Analyse , Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13–15) ISBN   0-8247-6949-X .

Externe Links

• Beweis bei PlanetMath.org