Weierstraß-Ersatz - Weierstrass substitution

In Integralrechnung , die Weierstraß - Substitution oder Weierstraß-Substitution ist ein Verfahren zur Bewertung von Integralen , die eine wandelt rationale Funktion von trigonometrischen Funktionen der in eine gewöhnliche rationale Funktion durch Setzen . Es geht keine Allgemeingültigkeit verloren, wenn man diese als rationale Funktionen des Sinus und Cosinus ansieht. Die allgemeine Transformationsformel lautet ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=\tan(x/2)}$

${\displaystyle \int f(\sin(x),\cos(x))\,dx=\int {\frac {2}{1+t^{2}}}f\left({\frac {2t }{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,dt.}$

Sie ist nach Karl Weierstrass (1815–1897) benannt, findet sich aber in einem Buch von Leonhard Euler aus dem Jahr 1768. Michael Spivak schrieb, dass diese Methode die „hinterhältigste Substitution“ der Welt sei.

Die Ersetzung

Ausgehend von einer rationalen Funktion von Sinus und Cosinus ersetzt man und durch rationale Funktionen der Variablen  und setzt die Differentiale und wie folgt in Beziehung . ${\displaystyle\sinx}$${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dt}$

Lassen Sie , wo . Dann ${\displaystyle t=\tan(x/2)}$${\displaystyle -\pi <x<\pi }$

${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\qquad {\text{und} }\qquad \cos \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}.}$

Somit,

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2} }},\qquad {\text{und}}\qquad dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$

Herleitung der Formeln

Nach den Doppelwinkelformeln ,

${\displaystyle \sin x=2\sin\left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2\cdot {\ frac {t}{\sqrt {t^{2}+1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}={\frac {2t}{t^ {2}+1}},}$

und

${\displaystyle \cos x=2\cos^{2}\left({\frac{x}{2}}\right)-1={\frac{2}{t^{2}+1}}- 1={\frac {2-(t^{2}+1)}{t^{2}+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}} }.}$

Da schließlich , ${\displaystyle t=\tan\left({\frac{x}{2}}\right)}$

${\displaystyle dt={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)dx={\frac {dx}{2\cos ^ {2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {dx}{2\cdot {\frac {1}{t^{2}+1}}}}\qquad \Rightarrow \qquad dx={\frac {2}{t^{2}+1}}dt.}$

Beispiele

Erstes Beispiel: das Kosekansintegral

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+ t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\ \[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac { x}{2}}\right|+C.\end{ausgerichtet}}}$

Wir können das obige Ergebnis bestätigen, indem wir ein Standardverfahren zum Bewerten des Kosekansintegrals verwenden, indem wir den Zähler und den Nenner mit multiplizieren und die folgenden Substitutionen an dem resultierenden Ausdruck durchführen: und . Diese Substitution kann aus der Differenz der Derivate von Kosekanse und Kotangens gewonnen werden, die den Kosekansen als gemeinsamen Faktor haben. ${\displaystyle \csc x-\cot x}$${\displaystyle u=\csc x-\cot x}$${\displaystyle du=(-\csc x\cot x+\csc^{2}x)\,dx}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx \\[6pt]&=\int {\frac {(\csc ^{2}x-\csc x\cot x)\,dx}{\csc x-\cot x}}&&u=\csc x-\ Kinderbett x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(-\csc x\Kinderbett x+\csc ^{2}x)\,dx\\[6pt]&=\ ln |u|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{ausgerichtet}}}$

Die Halbwinkelformeln für Sinus und Cosinus sind nun

${\displaystyle \sin^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta}{2}}\quad {\text{und}}\quad\cos^{2}\theta ={\ frac {1+\cos2\theta}{2}}.}$

Sie geben

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int \csc x\,dx&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C=\ln {\sqrt {\frac { 1-\cos x}{1+\cos x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\cdot {\frac {1-\cos x}{1-\cos x}}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\frac {(1-\cos x)^{2}} {\sin ^{2}x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1-\cos x}{\sin x}}\right)^{ 2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\ rechts)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {(\csc x-\cot x)^{2}}}+C=\ln \left|\csc x- \cot x\right|+C,\end{ausgerichtet}}}$

die beiden Antworten sind also gleichwertig. Der Ausdruck

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}}$

ist eine Tangentialhalbwinkelformel . Das Sekantenintegral kann auf ähnliche Weise ausgewertet werden.

Zweites Beispiel: ein bestimmtes Integral

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\ frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int_ {0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{ 3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\, dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac { du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned }}}$

In erster Linie ersetzt man nicht einfach beide Integrationsgrenzen . Die Singularität (in diesem Fall eine vertikale Asymptote ) von at muss berücksichtigt werden. Alternativ können Sie zuerst das unbestimmte Integral auswerten und dann die Grenzwerte anwenden.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}$${\displaystyle x=\pi}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}} {1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt] &=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t ^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{\left({\frac {t}{\sqrt {3}} }\right)^{2}+1}}&&u={\frac {t}{\sqrt {3}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\ int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^ {2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2 }{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right) +C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left[{\frac {\tan(x/2)}{\sqrt {3}}}\right ]+C.\end{ausgerichtet}}}$

Durch Symmetrie,

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{ \frac {dx}{2+\cos x}}=\lim_{b\rightarrow \pi}{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan x /2}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\ Biggl [}\lim_{b\rightarrow\pi}\arctan\left({\frac {\tan b/2}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl]} ={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi}{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}} },\end{ausgerichtet}}}$

was der vorherigen Antwort entspricht.

Drittes Beispiel: Sinus und Cosinus

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2dt}{a(1-t^{2 })+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2dt}{(ca)t^{2}+2bt+a+c}}\ \[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan {\frac {(ca)\tan { \frac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}+C\end{ausgerichtet}}}$

Wenn ${\displaystyle 4E=4(ca)(c+a)-(2b)^{2}=4(c^{2}-(a^{2}+b^{2}))>0.}$

Geometrie

Die Weierstraß-Substitution parametrisiert den um (0, 0) zentrierten Einheitskreis . Anstelle von +∞ und −∞ haben wir nur ein ∞ an beiden Enden der reellen Geraden. Das ist oft angebracht, wenn es um rationale Funktionen und trigonometrische Funktionen geht. (Dies ist die Einpunkt-Kompaktifizierung der Linie.)

Wenn x variiert, windet sich der Punkt (cos  x , sin  x ) wiederholt um den Einheitskreis , der bei (0, 0) zentriert ist. Der Punkt

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

geht nur einmal um den Kreis, wenn t von −∞ nach +∞ geht, und erreicht nie den Punkt (−1, 0), der als Grenzwert angefahren wird , wenn t sich ±∞ nähert. Da t von −∞ nach −1 geht, geht der durch t bestimmte Punkt durch den Kreisteil im dritten Quadranten, von (−1, 0) nach (0, −1). Wenn t von −1 nach 0 geht, folgt der Punkt dem Teil des Kreises im vierten Quadranten von (0, −1) bis (1, 0). Wenn t von 0 nach 1 geht, folgt der Punkt dem Teil des Kreises im ersten Quadranten von (1, 0) nach (0, 1). Wenn t schließlich von 1 nach +∞ geht, folgt der Punkt dem Teil des Kreises im zweiten Quadranten von (0, 1) nach (−1, 0).

Hier ist ein anderer geometrischer Gesichtspunkt. Zeichne den Einheitskreis und sei P der Punkt (−1, 0) . Eine Linie durch P (außer der vertikalen Linie) wird durch ihre Neigung bestimmt. Außerdem schneidet jede der Linien (außer der vertikalen Linie) den Einheitskreis in genau zwei Punkten, von denen einer P ist . Dies bestimmt eine Funktion von Punkten auf dem Einheitskreis zu Steigungen. Die trigonometrischen Funktionen bestimmen eine Funktion von Winkeln zu Punkten auf dem Einheitskreis, und durch Kombination dieser beiden Funktionen erhalten wir eine Funktion von Winkeln zu Steigungen.

Galerie

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  (1/2) Die Weierstraß-Substitution bezieht einen Winkel auf die Steigung einer Geraden.

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  (2/2) Die Weierstraß-Substitution dargestellt als stereographische Projektion des Kreises.

Hyperbolische Funktionen

Wie bei anderen Eigenschaften, die zwischen den trigonometrischen Funktionen und den hyperbolischen Funktionen geteilt werden, ist es möglich, hyperbolische Identitäten zu verwenden, um eine ähnliche Form der Substitution zu konstruieren:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&\sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\qquad\cosh x={\frac {1+t^{2}}{ 1-t^{2}}},\qquad \tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[6pt]&\coth x={\frac {1+t ^{2}}{2t}},\qquad \operatorname {sech} x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad \operatorname {csch} x ={\frac{1-t^{2}}{2t}},\\[6pt]&{\text{and}}\qquad dx={\frac{2}{1-t^{2}} }\,dt.\end{ausgerichtet}}}$

Siehe auch

• Rationale Kurve
• Stereografische Projektion
• Tangentiale Halbwinkelformel
• Trigonometrische Substitution
• Euler-Substitution

Weiterlesen

• Edwards, Joseph (1921). "Kapitel VI". Eine Abhandlung über die Integralrechnung mit Anwendungen, Beispielen und Problemen . London: Macmillan and Co, Ltd.

Hinweise und Referenzen

Externe Links

• Weierstrass-Substitutionsformeln bei PlanetMath