Differenzierungsregeln - Differentiation rules

Teil einer Artikelserie über
Infinitesimalrechnung
Fundamentalsatz Leibniz-Integralregel Grenzen der Funktionen Kontinuität Mittelwertsatz Der Satz von Rolle
Differential Definitionen Ableitung  ( Verallgemeinerungen ) Differential unendlich klein einer Funktion gesamt Konzepte Unterscheidungsnotation Zweite Ableitung Implizite Differenzierung Logarithmische Differenzierung Verwandte Tarife Taylors Theorem Regeln und Identitäten Summe Produkt Kette Leistung Quotient Die Regel von L'Hôpital Invers Allgemeine Leibniz Die Formel von Faà di Bruno Reynolds
Integral Listen von Integralen Integrale Transformation Definitionen Stammfunktion Integral  ( ungeeignet ) Riemann-Integral Lebesgue-Integration Konturintegration Integral von Umkehrfunktionen Integration durch Teile Scheiben Zylindrische Schalen Substitution  ( trigonometrisch , Weierstrass , Euler ) Eulersche Formel Partialbrüche Reihenfolge ändern Reduktionsformeln Unter dem Integralzeichen differenzieren Risch-Algorithmus
Serie Geometrisch  ( arithmetisch-geometrisch ) Harmonisch Abwechselnd Leistung Binomial Taylor Konvergenztests Summandgrenze (Term-Test) Verhältnis Wurzel Integral Direkter Vergleich Grenzwertvergleich Abwechselnde Serien Cauchy-Kondensation Dirichlet Abel
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Multivariabel Formalismen Matrix Tensor Außen Geometrisch Definitionen Partielle Ableitung Mehrfachintegral Linienintegral Flächenintegral Volumenintegral Jacobi Hessisch
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v T e

Dies ist eine Zusammenfassung von Differentiationsregeln, dh Regeln zur Berechnung der Ableitung einer Funktion in der Analysis .

Elementare Differenzierungsregeln

Sofern nicht anders angegeben, sind alle Funktionen Funktionen von reellen Zahlen ( R ) , die reelle Werte zurückgeben; obwohl allgemeiner gesagt, gelten die folgenden Formeln überall dort, wo sie wohldefiniert sind – einschließlich im Fall komplexer Zahlen ( C ) .

Die Differenzierung ist linear

Für alle Funktionen und und beliebige reelle Zahlen , und die Ableitung der Funktion in Bezug auf IS ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

In der Notation von Leibniz lautet dies:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Sonderfälle sind:

• Die konstante Faktorregel

${\displaystyle (af)'=af'}$

• Die Summenregel

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$

• Die Subtraktionsregel

${\displaystyle (fg)'=f'-g'.}$

Die Produktregel

Für die Funktionen f und g , die Ableitung der Funktion h ( x ) = f ( x ) g ( x ) in Bezug auf x ist

${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$

In der Notation von Leibniz steht dies:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

Die Kettenregel

Die Ableitung der Funktion ist ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

In der Notation von Leibniz lautet dies:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d} {dx}}g(x),}$

oft abgekürzt zu

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx} }.}$

Konzentriert sich auf den Begriff der Karten und das Differential als Karte , wird dies prägnanter geschrieben als: ${\displaystyle {\text{D}}}$

${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}} g]_{x}\,.}$

Die Umkehrfunktionsregel

Wenn die Funktion f eine inverse Funktion g hat , was bedeutet, dass und dann ${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle f(g(y))=y,}$

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

In der Leibniz-Notation wird dies geschrieben als

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}.}$

Potenzgesetze, Polynome, Quotienten und Kehrwerte

Die polynomische oder elementare Potenzregel

Wenn , für eine reelle Zahl dann ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\displaystyle r\neq 0,}$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Wenn dies der Sonderfall wird, dass wenn dann${\displaystyle r=1,}$${\displaystyle f(x)=x,}$${\displaystyle f'(x)=1.}$

Die Kombination der Potenzregel mit der Summen- und Konstanten-Vielfach-Regel erlaubt die Berechnung der Ableitung eines beliebigen Polynoms.

Die reziproke Regel

Die Ableitung von für jede (nicht verschwindende) Funktion f ist: ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$wo immer f ungleich Null ist.

In der Notation von Leibniz steht dies geschrieben

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

Die Kehrwertregel kann entweder aus der Quotientenregel oder aus der Kombination von Potenzregel und Kettenregel abgeleitet werden.

Die Quotientenregel

Wenn f und g Funktionen sind, dann gilt:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad}$wo g ungleich null ist.

Dies lässt sich aus der Produktregel und der Kehrwertregel ableiten.

Verallgemeinerte Machtregel

Die elementare Potenzregel verallgemeinert erheblich. Die allgemeinste Potenzregel ist die funktionale Potenzregel : Für beliebige Funktionen f und g gilt

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g\over f}+g'\ln f \rechts),\quad}$

wo beide Seiten gut definiert sind.

Sonderfälle

• Wenn dann, wenn a eine beliebige reelle Zahl ungleich Null ist und x positiv ist.${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$
• Die Reziprokenregel kann als Sonderfall abgeleitet werden, wo .${\textstyle g(x)=-1\!}$

Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

obige Gleichung gilt für alle c , aber die Ableitung für ergibt eine komplexe Zahl. ${\textstyle c<0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log_{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

die obige Gleichung gilt auch für alle c , liefert aber eine komplexe Zahl, wenn . ${\textstyle c<0\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1\over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1\ über e}.\qquad}$wo ist die Lambert-W-Funktion${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\ frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if}} f(x)>0,{\text{ und wenn }}{\frac {df}{dx}}{\text{ und }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ existieren.}} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}( x)}}}\right)=\left[\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}( x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{ \biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text { und }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ existiert. }}}$

Logarithmische Ableitungen

Die logarithmische Ableitung ist eine weitere Möglichkeit, die Regel zum Ableiten des Logarithmus einer Funktion (mithilfe der Kettenregel) anzugeben:

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad}$wo immer f positiv ist.

Die logarithmische Differenzierung ist eine Technik, die Logarithmen und ihre Differenzierungsregeln verwendet, um bestimmte Ausdrücke zu vereinfachen, bevor die Ableitung tatsächlich angewendet wird.

Logarithmen können verwendet werden, um Exponenten zu entfernen, Produkte in Summen umzuwandeln und Divisionen in Subtraktionen umzuwandeln – von denen jeder zu einem vereinfachten Ausdruck für die Bildung von Ableitungen führen kann.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x={\frac {e^{-ix}-e^{ix}}{2i}}}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over\sin^{2}x}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={1 \over -1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Die Ableitungen in der obigen Tabelle gelten, wenn der Bereich des inversen Sekants ist und wenn der Bereich des inversen Kosekans ist . ${\displaystyle [0,\pi]\!}$${\displaystyle \left[-{\frac {\pi}{2}},{\frac {\pi}{2}}\right]\!}$

Es ist üblich, zusätzlich eine inverse Tangensfunktion mit zwei Argumenten zu definieren , . Sein Wert liegt im Bereich und spiegelt den Quadranten des Punktes wider . Für den ersten und vierten Quadranten (dh ) hat man . Seine partiellen Ableitungen sind ${\displaystyle \arctan(y,x)\!}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$${\displaystyle (x,y)\!}$${\displaystyle x>0\!}$${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial\arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$, und ${\displaystyle {\frac {\partial\arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Ableitungen hyperbolischer Funktionen

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} x)'={1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}x}={1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{1 \over \sinh ^{2}x}=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} x)'=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} x)'=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Einschränkungen für diese Ableitungen finden Sie unter Hyperbolische Funktionen .

Ableitungen von Sonderfunktionen

Gamma-Funktion ${\displaystyle \quad\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle \,=\Gamma(x)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right) -{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle\,=\Gamma (x)\psi (x)}$ wobei es sich um die Digamma-Funktion handelt , die durch den eingeklammerten Ausdruck rechts von in der obigen Zeile ausgedrückt wird . ${\displaystyle\psi(x)}$${\displaystyle \Gamma(x)}$

Riemann-Zeta-Funktion${\displaystyle \quad\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$ ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2} {2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }$ ${\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}} }\prod_{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}$

Ableitungen von Integralen

Angenommen, man muss die Funktion . nach x differenzieren

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

wobei die Funktionen und sowohl in beiden als auch in einem Bereich der Ebene, einschließlich , stetig sind , und die Funktionen und beide stetig sind und beide stetige Ableitungen für haben . Dann für : ${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (t,x)}$${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x )}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Diese Formel ist die allgemeine Form der Leibniz-Integralregel und kann mit dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung abgeleitet werden .

Ableitungen nach n- ter Ordnung

Einige Regeln existieren für die Berechnung der n - ten Ableitung von Funktionen, wobei n eine positive ganze Zahl. Diese beinhalten:

Die Formel von Faà di Bruno

Wenn f und g sind n -mal differenzierbar, dann

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f ^{(r)}(g(x))\prod_{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x )\right)^{k_{m}}}$

wobei und die Menge aus allen nicht-negativen ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung besteht . ${\displaystyle r=\sum_{m=1}^{n-1}k_{m}}$${\displaystyle \{k_{m}\}}$${\displaystyle \sum_{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

Allgemeine Leibniz-Regel

Wenn f und g sind n -mal differenzierbar, dann

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n} {k}}{\frac {d^{nk}}{dx^{nk}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

Siehe auch

• Vektorrechnungsidentitäten
• Differenzierbare Funktion
• Differential einer Funktion
• Liste der mathematischen Funktionen
• Trigonometrische Funktionen
• Inverse trigonometrische Funktionen
• Hyperbolische Funktionen
• Inverse hyperbolische Funktionen
• Matrixrechnung
• Differenzierung unter dem Integralzeichen

Verweise

Quellen und weiterführende Literatur

Diese Regeln sind in vielen Büchern sowohl zur elementaren als auch zur fortgeschrittenen Infinitesimalrechnung in der reinen und angewandten Mathematik enthalten. Die in diesem Artikel (zusätzlich zu den oben genannten Referenzen) finden Sie in:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3. Auflage) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN  978-0-07-154855-7 .
• Das Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Mathematische Methoden für Physik und Ingenieurwissenschaften , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
• NIST Handbook of Mathematical Functions , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-19225-5 .

Externe Links

Bibliotheksressourcen zu Differenzierungsregeln

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• Ableitungsrechner mit Formelvereinfachung