Grenzwertvergleichstest - Limit comparison test

Teil einer Artikelserie über
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v T e

In der Mathematik ist der Grenzwertvergleichstest (LCT) (im Gegensatz zum verwandten direkten Vergleichstest ) eine Methode zum Testen der Konvergenz einer unendlichen Reihe .

Stellungnahme

Angenommen, wir haben zwei Reihen und mit für alle . ${\displaystyle \Sigma_{n}a_{n}}$${\displaystyle \Sigma_{n}b_{n}}$${\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}$${\displaystyle n}$

Wenn dann mit , dann konvergieren entweder beide Reihen oder beide Reihen divergieren. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle 0<c<\infty}$

Nachweisen

Weil wir wissen, dass es für jedes eine positive ganze Zahl gibt, so dass für alle wir das haben , oder äquivalent ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon}$

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon}$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon}$

${\displaystyle (c-\varepsilon)b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon)b_{n}}$

Da wir uns entscheiden können, ausreichend klein zu sein, ist das positiv. So und durch den direkten Vergleichstest , wenn konvergiert, dann auch . ${\displaystyle c>0}$${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle c-\varepsilon}$${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$${\displaystyle \sum_{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

Ähnlich verhält es sich bei Abweichungen, wiederum durch den direkten Vergleichstest . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon)b_{n}}$${\displaystyle \sum_{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

Das heißt, beide Reihen konvergieren oder beide Reihen divergieren.

Beispiel

Wir wollen feststellen, ob die Reihe konvergiert. Dazu vergleichen wir mit der konvergenten Reihe . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Da wir das haben, konvergiert auch die ursprüngliche Reihe. ${\displaystyle \lim_{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$

Einseitige Ausführung

Mit limit superior kann man einen einseitigen Vergleichstest angeben . Lassen Sie für alle . Dann, wenn mit und konvergiert, konvergiert notwendigerweise . ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \limsup_{n\to\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle 0\leq c<\infty}$${\displaystyle \Sigma_{n}b_{n}}$${\displaystyle \Sigma_{n}a_{n}}$

Beispiel

Sei und für alle natürlichen Zahlen . Jetzt existiert nicht, daher können wir den Standard-Vergleichstest nicht anwenden. Da jedoch konvergiert, impliziert der einseitige Vergleichstest, dass konvergiert. ${\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lim_{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim_{n\to \infty}(1-(-1)^{n })}$${\displaystyle \limsup_{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup_{n\to \infty}(1-(-1)^{n })=2\in [0,\infty )}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$

Umkehrung des einseitigen Vergleichstests

Lassen Sie für alle . Wenn divergiert und konvergiert, dann notwendigerweise , dh . Der wesentliche Inhalt hier ist, dass die Zahlen in gewissem Sinne größer sind als die Zahlen . ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Sigma_{n}a_{n}}$${\displaystyle \Sigma_{n}b_{n}}$${\displaystyle \limsup_{n\to\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty}$${\displaystyle \liminf_{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Beispiel

Sei analytisch in der Einheitsscheibe und habe ein Bild einer endlichen Fläche. Durch Parseval-Formel die Fläche des Bildes heißt . Darüber hinaus divergiert. Daher wird durch die Umkehrung des Vergleichstest haben wir , das heißt . ${\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}}$${\displaystyle D=\{z\in\mathbb{C} :|z|<1\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n|a_{n}|^{2}}$${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}1/n}$${\displaystyle \liminf_{n\to\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf_{n\to\infty}(n|a_ {n}|)^{2}=0}$${\displaystyle \liminf_{n\to\infty}n|a_{n}|=0}$

Siehe auch

• Konvergenztests
• Direkter Vergleichstest

Verweise

Weiterlesen

• Rinaldo B. Schinazi: Vom Kalkül zur Analyse . Springer, 2011, ISBN  9780817682897 , S. 50
• Michele Longo und Vincenzo Valori: Der Vergleichstest: Nicht nur für nichtnegative Serien . Mathematik-Magazin, Bd. 79, Nr. 3 (Juni 2006), S. 205–210 ( JSTOR )
• J. Marshall Ash: Der Grenzwertvergleichstest braucht Positivität . Mathematik-Magazin, Bd. 85, Nr. 5 (Dezember 2012), S. 374–375 ( JSTOR )

Externe Links

• Pauls Online-Hinweise zum Vergleichstest