Mehrfachintegral - Multiple integral

Integral als Fläche zwischen zwei Kurven.

Doppelintegral als Volumen unter einer Oberfläche z = 10 − x ² − y ²/8. Der rechteckige Bereich an der Unterseite des Körpers ist der Integrationsbereich, während die Oberfläche der Graph der zu integrierenden Funktion mit zwei Variablen ist.

In der Mathematik (insbesondere in der Multivariablenrechnung ) ist ein Mehrfachintegral ein bestimmtes Integral einer Funktion mehrerer reeller Variablen , zum Beispiel f ( x , y ) oder f ( x , y , z ) . Integrale einer Funktion von zwei Variablen über einer Region in (der Ebene der reellen Zahlen ) werden als Doppelintegrale bezeichnet , und Integrale einer Funktion von drei Variablen über einer Region in (der reellen 3D-Raum) werden als Tripelintegrale bezeichnet . Für mehrere Integrale einer Funktion mit einer Variablen siehe die Cauchy-Formel für wiederholte Integration . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

Einführung

So wie das bestimmte Integral einer positiven Funktion einer Variablen die Fläche der Region zwischen dem Funktionsgraphen und der x -Achse darstellt, repräsentiert das Doppelintegral einer positiven Funktion zweier Variablen das Volumen der Region zwischen der definierten Fläche durch die Funktion (auf der dreidimensionalen kartesischen Ebene mit z = f ( x , y ) ) und der Ebene, die ihren Bereich enthält . Wenn es mehr Variablen gibt, führt ein Mehrfachintegral zu Hypervolumina mehrdimensionaler Funktionen.

Mehrfachintegration einer Funktion in n Variablen: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) über eine Domäne D wird am häufigsten durch verschachtelte Integralzeichen in umgekehrter Ausführungsreihenfolge dargestellt (das ganz linke Integralzeichen wird zuletzt berechnet ), gefolgt von den Funktions- und Integrandargumenten in der richtigen Reihenfolge (das Integral bezüglich des ganz rechten Arguments wird zuletzt berechnet). Der Integrationsbereich wird entweder für jedes Argument über jedem Ganzzahlzeichen symbolisch dargestellt oder durch eine Variable am ganz rechten Ganzzahlzeichen abgekürzt:

${\displaystyle \int \cdots \int_{\mathbf{D}}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_ {n}}$

Da das Konzept eines antiderivative nur für Funktionen einer reellen Variablen, die übliche Definition der definiert ist unbestimmtes Integral erstrecken sich auf die mehrfache Integral nicht sofort.

Mathematische Definition

Betrachten Sie für n > 1 ein sogenanntes "halboffenes" n- dimensionales hyperrechteckiges Gebiet T , definiert als:

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Zerlege jedes Intervall [ a _j , b _j ) in eine endliche Familie I _j von sich nicht überlappenden Teilintervallen i _{j α} , wobei jedes Teilintervall am linken Ende geschlossen und am rechten Ende offen ist.

Dann ist die endliche Familie der Unterrechtecke C gegeben durch

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

eine Partition von T ist ; das heißt, die Teilrechtecke C _k sind nicht überlappend und ihre Vereinigung ist T .

Sei f  : T → R eine auf T definierte Funktion . Betrachten Sie eine Partition C von T wie oben definiert, so dass C eine Familie von m Unterrechtcken C _{m ist} und

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup\cdots\cup C_{m}}$

Wir können das gesamte ( n + 1) th-dimensionale Volumen, das unten durch das n- dimensionale Hyperrechteck T und oben durch den n- dimensionalen Graphen von f begrenzt wird, mit folgender Riemann-Summe approximieren :

${\displaystyle \sum_{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

wobei P _k ein Punkt in C _{k ist} und m( C _k ) das Produkt der Längen der Intervalle ist, deren kartesisches Produkt C _{k ist} , auch bekannt als Maß von C _k .

Der Durchmesser eines Unterrechteck C _k ist die größte von den Längen der Intervalle , deren kartesischen Produkt ist C _k . Der Durchmesser einer gegebenen Partition von T ist definiert als der größte der Durchmesser der Unterrechtecke in der Partition. Intuitiv als der Durchmesser der Partition C beschränkt ist kleiner und kleiner wird , die Anzahl der Unterrechtecke m größer wird, und das Maß m ( C _k ) jedes Unterrechtecks wird kleiner. Die Funktion f heißt Riemann-integrierbar, wenn der Grenzwert

${\displaystyle S=\lim_{\delta\to 0}\sum_{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

existiert, wobei der Grenzwert über alle möglichen Partitionen von T mit Durchmesser höchstens δ genommen wird .

Wenn f Riemann - integrierbar ist, S ist die genannte Riemann - Integral von f über T und bezeichnet

${\displaystyle \int \cdots \int_{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

Häufig wird diese Notation abgekürzt als

${\displaystyle \int_{T}\!f(\mathbf{x})\,d^{n}\mathbf{x} .}$

wobei x steht für die n - tupel ( x ₁ , ..., x _n ) und d ⁿ x ist die n -dimensionalen Volumenabweichung .

Das Riemann-Integral einer Funktion, die über eine beliebige beschränkte n- dimensionale Menge definiert ist, kann definiert werden, indem diese Funktion zu einer Funktion erweitert wird, die über einem halboffenen Rechteck definiert ist, dessen Werte außerhalb des Bereichs der ursprünglichen Funktion Null sind. Dann ist das Integral der Originalfunktion über dem Originalbereich definiert als das Integral der erweiterten Funktion über ihren rechtwinkligen Bereich, falls es existiert.

Im Folgenden wird das Riemann-Integral in n Dimensionen als Vielfachintegral bezeichnet .

Eigenschaften

Mehrfachintegrale haben viele gemeinsame Eigenschaften wie Integrale von Funktionen einer Variablen (Linearität, Kommutativität, Monotonie usw.). Eine wichtige Eigenschaft von Mehrfachintegralen ist, dass der Wert eines Integrals unter bestimmten Bedingungen unabhängig von der Ordnung der Integranden ist. Diese Eigenschaft ist im Volksmund als Satz von Fubini bekannt .

Besondere Fälle

Im Fall von ist das Integral ${\displaystyle T\subseteq\mathbb{R}^{2}}$

${\displaystyle l=\iint_{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

ist das Doppelintegral von f auf T , und wenn das Integral ${\displaystyle T\subseteq\mathbb{R}^{3}}$

${\displaystyle l=\iiiint_{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

ist das Tripelintegral von f auf T .

Beachten Sie, dass das Doppelintegral laut Konvention zwei Integralzeichen hat und das Dreifachintegral drei; Dies ist eine Notationskonvention, die praktisch ist, wenn ein Vielfaches Integral als iteriertes Integral berechnet wird, wie später in diesem Artikel gezeigt wird.

Integrationsmethoden

Die Lösung von Problemen mit Mehrfachintegralen besteht in den meisten Fällen darin, einen Weg zu finden, das Mehrfachintegral auf ein iteriertes Integral zu reduzieren , eine Reihe von Integralen einer Variablen, die jeweils direkt lösbar sind. Für stetige Funktionen wird dies durch den Satz von Fubini begründet . Manchmal ist es möglich, das Ergebnis der Integration durch direkte Untersuchung ohne Berechnungen zu erhalten.

Im Folgenden sind einige einfache Integrationsmethoden aufgeführt:

Integrieren von konstanten Funktionen

Wenn der Integrand eine konstante Funktion c ist , ist das Integral gleich dem Produkt von c und dem Maß des Integrationsbereichs. Wenn c = 1 und die Domäne eine Unterregion von R ^{2 ist} , gibt das Integral die Fläche der Region an, während, wenn die Domäne eine Unterregion von R ^{3 ist} , das Integral das Volumen der Region angibt.

Beispiel. Sei f ( x , y ) = 2 und

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}$

in welchem ​​Fall

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{ 4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {Fläche} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}$

denn per Definition haben wir:

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).}$

Verwendung von Symmetrie

Wenn der Integrationsbereich bezüglich mindestens einer der Integrationsvariablen symmetrisch um den Ursprung ist und der Integrand bezüglich dieser Variablen ungerade ist, ist das Integral gleich Null, da die Integrale über die beiden Hälften des Bereichs gleicher absoluter Wert, aber entgegengesetzte Vorzeichen. Wenn der Integrand ist auch auf diese Variable bezogen, ist das Integral des zweifachen Integrals über eine Hälfte der Domäne gleich, da die Integrale über die beiden Hälften der Domäne gleich sind.

Beispiel 1. Betrachten Sie die Funktion f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y ³ + 5 integriert über den Bereich

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

eine Scheibe mit Radius  1 zentriert im Ursprung mit eingeschlossener Begrenzung.

Mit Hilfe der Linearitätseigenschaft kann das Integral in drei Teile zerlegt werden:

${\displaystyle \iint_{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint_{T}2\sin x\,dx\,dy -\iint_{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint_{T}5\,dx\,dy}$

Die Funktion 2 sin( x ) ist eine ungerade Funktion in der Variablen x und die Scheibe T ist bezüglich der y- Achse symmetrisch , daher ist der Wert des ersten Integrals 0. Ebenso ist die Funktion 3 y ³ eine ungerade Funktion von y , und T ist symmetrisch zur x- Achse, so dass der einzige Beitrag zum Endergebnis das dritte Integral ist. Daher ist das ursprüngliche Integral gleich der Fläche der Scheibe mal 5, oder 5 π .

Beispiel 2. Betrachten Sie die Funktion f ( x , y , z ) = x exp( y ² + z ² ) und als Integrationsbereich die Kugel mit Radius 2 im Ursprung zentriert,

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4 \rechts\}.}$

Die "Kugel" ist um alle drei Achsen symmetrisch, aber es reicht aus, in Bezug auf die x- Achse zu integrieren, um zu zeigen, dass das Integral 0 ist, da die Funktion eine ungerade Funktion dieser Variablen ist.

Normale Domänen auf R ²

Diese Methode ist auf jede Domäne D anwendbar, für die:

• die Projektion von D auf die x- Achse oder die y- Achse wird durch die beiden Werte a und b . begrenzt
• jede Linie senkrecht zu dieser Achse, die zwischen diesen beiden Werten verläuft, schneidet die Domäne in einem Intervall, dessen Endpunkte durch die Graphen der beiden Funktionen α und β gegeben sind .

Eine solche Domäne wird hier als normale Domäne bezeichnet . An anderer Stelle in der Literatur werden normale Domänen manchmal als Typ-I- oder Typ-II-Domänen bezeichnet, je nachdem, über welche Achse die Domäne gefasert wird. In allen Fällen muss die zu integrierende Funktion auf dem Gebiet Riemann-integrierbar sein, was (zum Beispiel) gilt, wenn die Funktion stetig ist.

x -Achse

Wenn der Bereich D normal zur x- Achse ist und f  : D → R eine stetige Funktion ist ; dann sind α ( x ) und β ( x ) ( die beide auf dem Intervall [ a , b ] definiert sind ) die beiden Funktionen , die D bestimmen . Dann gilt nach dem Satz von Fubini:

${\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x) }f(x,y)\,dy.}$

y- Achse

Falls D normal bezüglich der y- Achse ist und f  : D → R eine stetige Funktion ist; dann sind α ( y ) und β ( y ) (beide auf dem Intervall [ a , b ] definiert ) die beiden Funktionen , die D bestimmen . Nochmals nach dem Satz von Fubini:

${\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y) }f(x,y)\,dx.}$

Normale Domänen auf R ³

Ist T ein zur xy- Ebene normaler Bereich, der durch die Funktionen α ( x , y ) und β ( x , y ) bestimmt wird , dann

${\displaystyle \iiiint_{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint_{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta ( x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$

Diese Definition ist die gleiche für die anderen fünf Normalitätsfälle auf R ³ . Es kann auf einfache Weise auf Gebiete im R ⁿ verallgemeinert werden .

Änderung von Variablen

Die Integrationsgrenzen sind oft nicht leicht austauschbar (ohne Normalität oder mit komplexen zu integrierenden Formeln). Man ändert die Variablen , um das Integral in einen "komfortableren" Bereich umzuschreiben, der in einfacheren Formeln beschrieben werden kann. Dazu muss die Funktion an die neuen Koordinaten angepasst werden.

Beispiel 1a. Die Funktion ist f ( x , y ) = ( x − 1) ² + √ y ; nimmt man die Substitution u = x − 1 , v = y also x = u + 1 , y = v an , erhält man die neue Funktion f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• Ähnlich für die Domäne, da sie durch die ursprünglichen Variablen begrenzt wird, die zuvor transformiert wurden ( x und y im Beispiel).
• die Differentiale dx und dy transformieren über den Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix, die die partiellen Ableitungen der Transformationen bezüglich der neuen Variablen enthält (man betrachte als Beispiel die Differentialtransformation in Polarkoordinaten).

Es gibt drei Haupt-"Arten" von Variablenänderungen (eine in R ² , zwei in R ³ ); allgemeinere Ersetzungen können jedoch nach dem gleichen Prinzip vorgenommen werden.

Polar Koordinaten

Transformation von kartesischen in Polarkoordinaten.

In R ^2, wenn das Gebiet eine Kreissymmetrie hat und die Funktion einige besondere Eigenschaften hat, kann man die Transformation auf Polarkoordinaten anwenden (siehe das Beispiel im Bild), was bedeutet, dass die generischen Punkte P ( x , y ) in kartesischen Koordinaten wechseln zu ihre jeweiligen Punkte in Polarkoordinaten. Dadurch kann man die Form der Domäne ändern und die Operationen vereinfachen.

Die grundlegende Beziehung zur Durchführung der Transformation ist die folgende:

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi).}$

Beispiel 2a. Die Funktion ist f ( x , y ) = x + y und durch Anwendung der Transformation erhält man

${\displaystyle f(\rho,\varphi)=\rho\cos\varphi +\rho\sin\varphi =\rho (\cos\varphi +\sin\varphi).}$

Beispiel 2b. Die Funktion ist f ( x , y ) = x ² + y ² , in diesem Fall gilt:

${\displaystyle f(\rho,\varphi)=\rho^{2}\left(\cos^{2}\varphi +\sin^{2}\varphi\right)=\rho^{2}}$

unter Verwendung der pythagoräischen trigonometrischen Identität (sehr nützlich, um diese Operation zu vereinfachen).

Die Transformation von der Domäne durch die Definition des Radius' Kronenlänge und die Amplitude des beschriebenen Winkel gemacht wird zu bestimmen , die ρ , φ Startintervalle von x , y .

Beispiel für eine Domänentransformation von kartesisch nach polar.

Beispiel 2c. Der Bereich ist D = { x ² + y ² ≤ 4} , dh ein Umfang mit Radius 2; es ist offensichtlich, dass der abgedeckte Winkel der Kreiswinkel ist, also variiert φ von 0 bis 2 π , während der Kronenradius von 0 bis 2 variiert (die Krone mit dem Innenradius null ist nur ein Kreis).

Beispiel 2d. Der Definitionsbereich ist D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , also die kreisförmige Krone in der positiven y -Halbebene (siehe Bild im Beispiel); φ beschreibt einen ebenen Winkel, während ρ von 2 bis 3 variiert. Daher ist der transformierte Bereich das folgende Rechteck :

${\displaystyle T=\{2\leq\rho\leq 3,\0\leq\varphi\leq\pi\}.}$

Die Jacobi-Determinante dieser Transformation ist die folgende:

${\displaystyle {\frac {\partial(x,y)}{\partial(\rho,\varphi)}}={\begin{vmatrix}\cos\varphi &-\rho\sin\varphi\\\sin \varphi &\rho\cos\varphi\end{vmatrix}}=\rho}$

die durch Einsetzen der partiellen Ableitungen von x = ρ cos( φ ) , y = ρ sin( φ ) in die erste Spalte nach ρ und in die zweite nach φ erhalten wurde , so dass die dx dy- Differentiale in dieser Transformation zu ρ werden dρ dφ .

Nachdem die Funktion transformiert und der Bereich ausgewertet ist, kann die Formel für die Änderung von Variablen in Polarkoordinaten definiert werden:

${\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{T}f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi)\rho\,d\ rho \,d\varphi .}$

φ ist im Intervall [0, 2π] gültig , während ρ , das ein Längenmaß ist, nur positive Werte haben kann.

Beispiel 2e. Die Funktion ist f ( x , y ) = x und die Domäne ist die gleiche wie in Beispiel 2d. Aus der vorherigen Analyse von D kennen wir die Intervalle von ρ (von 2 bis 3) und von φ (von 0 bis π ). Jetzt ändern wir die Funktion:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho,\varphi)=\rho\cos\varphi.}$

Zum Schluss wenden wir die Integrationsformel an:

${\displaystyle \iint_{D}x\,dx\,dy=\iint_{T}\rho\cos\varphi\rho\,d\rho\,d\varphi.}$

Sobald die Intervalle bekannt sind, haben Sie

${\displaystyle \int _{0}^{\pi}\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0 }^{\pi}\cos\varphi\d\varphi\left[{\frac{\rho^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\ sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi}\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}$

Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten.

In R ^{3 kann} die Integration auf Gebieten mit kreisförmiger Grundfläche durch Übergang zu Zylinderkoordinaten erfolgen ; die Transformation der Funktion erfolgt durch die folgende Beziehung:

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)}$

Die Domänentransformation kann grafisch erreicht werden, da nur die Form der Basis variiert, während die Höhe der Form des Startbereichs folgt.

Beispiel 3a. Der Bereich ist D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (das ist die "Röhre", deren Basis die kreisförmige Krone von Beispiel 2d ist und deren Höhe 5 ist) ; wenn die Transformation angewendet wird, erhält man diesen Bereich:

${\displaystyle T=\{2\leq\rho\leq 3,\0\leq\varphi\leq 2\pi,\0\leq z\leq 5\}}$

(d. h. das Parallelepiped, dessen Grundfläche dem Rechteck in Beispiel 2d ähnelt und dessen Höhe 5 beträgt).

Da die z- Komponente während der Transformation unverändert bleibt, variieren die dx dy dz- Differentiale wie beim Übergang zu Polarkoordinaten: daher werden sie zu ρ dρ dφ dz .

Schließlich ist es möglich, die endgültige Formel auf Zylinderkoordinaten anzuwenden:

${\displaystyle \iiiint_{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiiint_{T}f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z )\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.}$

Diese Methode ist praktisch bei zylindrischen oder konischen Bereichen oder in Bereichen, in denen es leicht ist, das z- Intervall zu individualisieren und sogar die kreisförmige Basis und die Funktion zu transformieren.

Beispiel 3b. Die Funktion ist f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z und als Integrationsbereich dieser Zylinder : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . Die Transformation von D in Zylinderkoordinaten ist wie folgt:

${\displaystyle T=\{0\leq\rho\leq 3,\0\leq\varphi\leq 2\pi,\ -5\leq z\leq 5\}.}$

während die Funktion wird

${\displaystyle f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)=\rho^{2}+z}$

Schließlich kann man die Integrationsformel anwenden:

${\displaystyle \iiiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiiint_{T}\left(\rho ^ {2}+z\rechts)\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz;}$

Entwickle die Formel, die du hast

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi}d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+ \rho z\right)\,d\rho =2\pi\int_{-5}^{5}\left[{\frac {\rho^{4}}{4}}+{\frac {\ rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi\int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{ 4}}+{\frac{9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}$

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten.

In R ^{3 haben} einige Domänen eine Kugelsymmetrie, so dass es möglich ist, die Koordinaten jedes Punktes des Integrationsbereichs durch zwei Winkel und einen Abstand zu spezifizieren. Es ist daher möglich, den Übergang zu Kugelkoordinaten zu verwenden ; die Funktion wird durch diese Beziehung transformiert:

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho\cos\theta\sin\varphi,\rho\sin\theta\sin\varphi,\rho\cos\varphi)}$

Punkte auf der z- Achse haben keine genaue Charakterisierung in Kugelkoordinaten, daher kann θ zwischen 0 und 2 π variieren .

Die bessere Integrationsdomäne für diese Passage ist die Kugel.

Beispiel 4a. Die Domäne ist D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (Kugel mit Radius 4 und Mittelpunkt im Ursprung); Wenn Sie die Transformation anwenden, erhalten Sie die Region

${\displaystyle T=\{0\leq\rho\leq 4,\0\leq\varphi\leq\pi,\0\leq\theta\leq 2\pi\}.}$

Die Jacobi-Determinante dieser Transformation ist die folgende:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho,\theta,\varphi)}}={\begin{vmatrix}\cos\theta\sin\varphi &-\ rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos\varphi &0&-\rho\sin\varphi \end{vmatrix}}=\rho^{2}\sin\varphi}$

Die dx dy dz Differentiale daher transformiert werden , um & rgr; ² sin ( φ ) dp d & theta; d & phi; .

Daraus ergibt sich die endgültige Integrationsformel:

${\displaystyle \iiiint_{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiiint_{T}f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

Es ist besser, diese Methode im Fall von sphärischen Domänen und im Fall von Funktionen zu verwenden, die durch die erste grundlegende Beziehung der Trigonometrie erweitert auf R ³ (siehe Beispiel 4b) leicht vereinfacht werden können ; in anderen Fällen kann es besser sein, Zylinderkoordinaten zu verwenden (siehe Beispiel 4c).

${\displaystyle \iiiint_{T}f(a,b,c)\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.}$

Das Extra ρ ² und Sünde φ kommen aus dem Jacobi.

In den folgenden Beispielen wurden die Rollen von φ und θ vertauscht.

Beispiel 4b. D ist derselbe Bereich wie in Beispiel 4a und f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² ist die zu integrierende Funktion. Seine Umwandlung ist sehr einfach:

${\displaystyle f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)=\rho^{2},}$

während wir die Intervalle der transformierten Region T aus D kennen :

${\displaystyle T=\{0\leq\rho\leq 4,\0\leq\varphi\leq\pi,\0\leq\theta\leq 2\pi\}.}$

Wir wenden daher die Integrationsformel an:

${\displaystyle \iiiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiiint_{T}\rho ^{2}\,\rho^{2}\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi,}$

und beim Entwickeln erhalten wir

${\displaystyle \iiiint_{T}\rho^{4}\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi =\int_{0}^{\pi}\sin\varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi}d\theta =2\pi \int _{0}^ {\pi}\sin\varphi\left[{\frac{\rho^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{ \frac {\rho^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Groß [}-\cos \varphi {\Groß]}_{0}^{\pi}= {\frac {4096\pi }{5}}.}$

Beispiel 4c. Der Bereich D ist die Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 3 a ,

${\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}}$

und f ( x , y , z ) = x ² + y ² ist die zu integrierende Funktion.

Wenn man sich den Bereich ansieht, scheint es bequem zu sein, den Übergang zu Kugelkoordinaten zu übernehmen, tatsächlich sind die Intervalle der Variablen, die die neue T- Region begrenzen, offensichtlich:

${\displaystyle T=\{0\leq\rho\leq 3a,\0\leq\varphi\leq 2\pi,\0\leq\theta\leq\pi\}.}$

Wenden wir jedoch die Transformation an, erhalten wir

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow\rho^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin^{2}\theta \sin^{2}\varphi =\rho^{2}\sin^{2}\theta .}$

Durch Anwendung der Integrationsformel erhalten wir:

${\displaystyle \iiiint_{T}\rho^{2}\sin^{2}\theta \rho^{2}\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi =\ iiint _{T}\rho^{4}\sin^{3}\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi}$

die durch Umwandlung in ein iteriertes Integral gelöst werden kann.

${\displaystyle \iiiint_{T}\rho^{4}\sin^{3}\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi =\underbrace {\int_{0}^{ 3a}\rho^{4}d\rho} _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi}\sin^{3}\theta \,d\theta} _{II} \,\underbrace {\int_{0}^{2\pi}d\varphi} _{III}}$.

${\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0 }^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}}$,

${\displaystyle II=\int _{0}^{\pi}\sin^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi}\sin^{2}\theta \,d(\cos\theta)=\int_{0}^{\pi}(\cos^{2}\theta -1)\,d(\cos\theta)=\left.{\frac { \cos^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi}-\left.\cos\theta\right|_{0}^{\pi}={\frac { 4}{3}}}$,

${\displaystyle III=\int_{0}^{2\pi}d\varphi =2\pi}$.

Sammeln aller Teile,

${\displaystyle \iiiint_{T}\rho^{4}\sin^{3}\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi=I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}$.

Alternativ kann dieses Problem gelöst werden, indem der Durchgang zu Zylinderkoordinaten verwendet wird. Die neuen T- Intervalle sind

${\displaystyle T=\left\{0\leq\rho\leq 3a,\0\leq\varphi\leq 2\pi,\-{\sqrt {9a^{2}-\rho^{2}}} \leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho^{2}}}\right\};}$

das z- Intervall wurde erhalten, indem man die Kugel in zwei Halbkugeln teilt, indem man einfach die Ungleichung aus der Formel von D löst (und dann x ² + y ² direkt in ρ ² umwandelt ). Die neue Funktion ist einfach ρ ² . Anwendung der Integrationsformel

${\displaystyle \iiiint_{T}\rho^{2}\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.}$

Dann bekommen wir

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{0}^{2\pi}d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\ sqrt {9a^{2}-\rho^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho^{2}}}\,dz&=2\pi\int _{0}^ {3a}2\rho^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi\int _{9a^{2} }^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho^{2}\\&=2\pi \int _{0} ^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}} \,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2} {5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6 -{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}}$

Dank der Umstellung auf Zylinderkoordinaten war es möglich, das Tripelintegral auf ein einfacheres einvariables Integral zu reduzieren.

Siehe auch die Differenzvolumeneingabe in nabla in Zylinder- und Kugelkoordinaten .

Beispiele

Doppelintegral über einem Rechteck

Nehmen wir an, wir wollen eine multivariable Funktion f über einen Bereich A integrieren :

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{ \mbox{ und }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$

Daraus formulieren wir das iterierte Integral

${\displaystyle \int_{7}^{10}\int_{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

Das innere Integral wird zuerst durchgeführt, wobei bezüglich x integriert wird und y als Konstante genommen wird, da es nicht die Integrationsvariable ist . Das Ergebnis dieses Integrals, das eine nur von y abhängige Funktion ist, wird dann bezüglich y integriert .

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x ^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\ frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{ausgerichtet}}}$

Dann integrieren wir das Ergebnis bezüglich y .

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7} ^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{ausgerichtet}}}$

In Fällen , in denen das Doppelintegral des Absolutwertes der Funktion endlich ist, ist die Reihenfolge der Integration untereinander austauschbar, das heißt, mit Bezug auf der Integration von x ersten und Integrieren in Bezug auf y zuerst das gleiche Ergebnis erzeugen. Das ist der Satz von Fubini . Wenn Sie beispielsweise die vorherige Berechnung mit umgekehrter Reihenfolge durchführen, erhalten Sie das gleiche Ergebnis:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx& =\int _{11}^{14}{\Groß [}x^{2}y+2y^{2}{\Groß]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\ &=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Groß [}x^{3}+102x{\Groß]}_{x =11}^{x=14}\\&=1719.\end{ausgerichtet}}}$

Doppelintegral über einem Normalgebiet

Beispiel: Doppelintegral über den Normalbereich D

Betrachten Sie die Region (siehe Grafik im Beispiel):

${\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}\ :\x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}$

Berechnung

${\displaystyle \iint_{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

Dieser Bereich ist sowohl in Bezug auf die x- als auch auf die y- Achse normal. Um die Formeln anzuwenden, ist es erforderlich, die Funktionen zu finden, die D bestimmen, und die Intervalle, über die diese Funktionen definiert sind. In diesem Fall sind die beiden Funktionen:

${\displaystyle \alpha(x)=x^{2}{\text{ und }}\beta(x)=1}$

während das Intervall durch die Schnittpunkte der Funktionen mit x  = 0 gegeben ist, ist das Intervall also [ a ,  b ] = [0, 1] ( für ein besseres visuelles Verständnis wurde die Normalität bezüglich der x -Achse gewählt).

Es ist jetzt möglich, die Formel anzuwenden:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y )\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1} }$

(Zuerst wird das zweite Integral unter Berücksichtigung von x als Konstante berechnet ). Die restlichen Operationen bestehen aus der Anwendung der grundlegenden Integrationstechniken:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx= \int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx= \cdots ={\frac {13}{20}}.}$

Wenn wir Normalität bezüglich der y- Achse wählen, könnten wir berechnen

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}$

und den gleichen Wert erhalten.

Beispiel einer Domäne in R ³ , die in Bezug auf die xy- Ebene normal ist.

Volumen berechnen

Mit den zuvor beschriebenen Methoden ist es möglich, die Volumina einiger gebräuchlicher Feststoffe zu berechnen.

• Zylinder : Das Volumen eines Zylinders mit der Höhe h und kreisförmiger Grundfläche des Radius R kann berechnet werden, indem die konstante Funktion h über die kreisförmige Grundfläche unter Verwendung von Polarkoordinaten integriert wird.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int_{0}^{2\pi}d\varphi\,\int_{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\ links[{\frac {\rho^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

Dies stimmt mit der Formel für das Volumen eines Prismas überein

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{Grundfläche}}\times {\text{height}}.}$

• Kugel : Das Volumen einer Kugel mit dem Radius R kann berechnet werden, indem die konstante Funktion 1 über die Kugel unter Verwendung von Kugelkoordinaten integriert wird.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiiint _{D }1\,dV\\&=\iiiint_{S}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi \\&=\int _{0} ^{2\pi}\,d\theta\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\int_{0}^{R}\rho^{2}\,d \rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi}\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho^{2}\,d\rho \\&=2\pi\int_{0}^{\pi}\sin\varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2 }{3}}\pi R^{3}{\Groß [}-\cos\varphi {\Groß]}_{0}^{\pi}={\frac {4}{3}}\pi R ^{3}.\end{ausgerichtet}}}$

• Tetraeder (dreieckige Pyramide oder 3- Simplex ): Das Volumen eines Tetraeders mit seinem Scheitel im Ursprung und Kanten der Länge ℓ entlang der x- , y- und z- Achse kann durch Integration der konstanten Funktion 1 über den Tetraeder berechnet werden.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell}dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{ 0}^{\ell -xy}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell}dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -xy)\,dy \\&=\int _{0}^{\ell}\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}} {2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{ \frac {\ell^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right] _{0}^{\ell}\\&={\frac {\ell^{3}}{3}}-{\frac {\ell^{3}}{6}}={\frac {\ ell ^{3}}{6}}\end{ausgerichtet}}}$

Dies stimmt mit der Formel für das Volumen einer Pyramide überein

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{Grundfläche}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\ mal {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}$

Beispiel für eine unzulässige Domäne.

Mehrfaches unechtes Integral

Bei unbeschränkten Gebieten oder Funktionen, die nicht in der Nähe des Gebietsrandes beschränkt sind, müssen wir das doppelte uneigentliche Integral oder das dreifache unechte Integral einführen .

Mehrfachintegrale und iterierte Integrale

Der Satz von Fubini besagt, dass wenn

${\displaystyle \iint_{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty,}$

das heißt, wenn das Integral absolut konvergent ist, liefert das Mehrfachintegral dasselbe Ergebnis wie eines der beiden iterierten Integrale:

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\, dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Dies ist insbesondere der Fall, wenn | f ( x , y ) | ist eine beschränkte Funktion und A und B sind beschränkte Mengen .

Wenn das Integral nicht absolut konvergent ist, ist darauf zu achten, dass die Konzepte des Mehrfachintegrals und des iterierten Integrals nicht verwechselt werden , zumal häufig für beide Konzepte dieselbe Notation verwendet wird. Die Notation

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

bedeutet in einigen Fällen eher ein iteriertes Integral als ein echtes Doppelintegral. In einem iterierten Integral ist das äußere Integral

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}$

ist das Integral bezüglich x der folgenden Funktion von x :

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.}$

Ein Doppelintegral hingegen ist flächenmäßig in der xy- Ebene definiert. Wenn das Doppelintegral existiert, dann ist es gleich jedem der beiden iterierten Integrale (entweder „ dy dx “ oder „ dx dy “) und man berechnet es oft durch Berechnung eines der iterierten Integrale. Aber manchmal existieren die beiden iterierten Integrale, wenn das Doppelintegral nicht existiert, und in einigen solchen Fällen sind die beiden iterierten Integrale unterschiedliche Zahlen, dh man hat

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _ {0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Dies ist ein Beispiel für die Umordnung eines bedingt konvergenten Integrals.

Andererseits stellen einige Bedingungen sicher, dass die beiden iterierten Integrale gleich sind, obwohl das Doppelintegral nicht existieren muss. Nach dem Satz von Fichtenholz – Lichtenstein , wenn f auf [0, 1] × [0, 1] beschränkt ist und beide iterierten Integrale existieren, dann sind sie gleich. Darüber hinaus stellt die Existenz der inneren Integrale die Existenz der äußeren Integrale sicher. Das Doppelintegral muss in diesem Fall nach Sierpiński nicht einmal als Lebesgue-Integral existieren .

Die Notation

${\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}$

kann verwendet werden, wenn man mit Nachdruck ein Doppelintegral anstelle eines iterierten Integrals beabsichtigen möchte.

Einige praktische Anwendungen

Ganz allgemein kann man, genau wie bei einer Variablen, das Mehrfachintegral verwenden, um den Durchschnitt einer Funktion über eine gegebene Menge zu ermitteln. Gegeben eine Menge D ⊆ R ⁿ und eine integrierbare Funktion f über D , ist der Mittelwert von f über ihren Bereich gegeben durch

${\displaystyle {\bar{f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,}$

wobei m ( D ) das Maß von D ist .

Darüber hinaus werden Mehrfachintegrale in vielen Anwendungen in der Physik verwendet . Die folgenden Beispiele zeigen auch einige Variationen in der Notation.

In der Mechanik , der Trägheitsmoment als das Volumenintegral (triple Integral) der berechnete Dichte mit dem Quadrat der Entfernung von der Achse gewogen:

${\displaystyle I_{z}=\iiiint_{V}\rho r^{2}\,dV.}$

Das Gravitationspotential mit einer zugeordneten Massenverteilung durch eine Masse gegebenen Maß dm auf dreidimensionalen euklidischen Raum R ³ ist

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiiint_{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\ ,dm(\mathbf{y}).}$

Wenn es eine stetige Funktion ρ ( x ) gibt , die die Dichte der Verteilung bei x darstellt , so dass dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x ist , wobei d ³ x das euklidische Volumenelement ist , dann ist das Gravitationspotential

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiiint_{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\ ,\rho(\mathbf{y})\,d^{3}\mathbf{y} .}$

Im Elektromagnetismus können die Maxwell-Gleichungen unter Verwendung mehrerer Integrale geschrieben werden, um die gesamten magnetischen und elektrischen Felder zu berechnen. Im folgenden Beispiel wird das elektrische Feld, das durch eine Ladungsverteilung erzeugt wird , die durch die Volumenladungsdichte ρ ( r → ) gegeben ist, durch ein Dreifachintegral einer Vektorfunktion erhalten:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}} '}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{ 3}r'.}$

Dies kann auch als Integral in Bezug auf ein vorzeichenbehaftetes Maß geschrieben werden, das die Ladungsverteilung darstellt.

Siehe auch

• Haupt Analyse Theoreme , die mehrere Integrale beziehen:
  • Divergenzsatz
  • Satz von Stokes
  • Satz von Green

Verweise

Weiterlesen

• Adams, Robert A. (2003). Calculus: Ein vollständiger Kurs (5. Aufl.). ISBN 0-201-79131-5.
• Jain, RK; Iyengar, SRK (2009). Advanced Engineering Mathematics (3. Aufl.). Narosa-Verlag. ISBN 978-81-7319-730-7.
• Herman, Edwin „Jed“ & Strang, Gilbert (2016)  : Infinitesimalrechnung : Band 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN  978-1-50669-805-2 . ( PDF )

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Multiple Integral" . MathWorld .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Mathematischer Assistent im Web Online-Auswertung von Doppelintegralen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten (beinhaltet Zwischenschritte in der Lösung, powered by Maxima (Software) )