Transportsatz von Reynolds - Reynolds transport theorem

In der Differentialrechnung ist der Reynolds-Transportsatz (auch bekannt als Leibniz-Reynolds-Transportsatz) oder einfach der Reynolds-Satz , benannt nach Osborne Reynolds (1842–1912), eine dreidimensionale Verallgemeinerung der Leibniz-Integralregel . Es wird verwendet, um Zeitableitungen integrierter Größen umzuformulieren und ist nützlich bei der Formulierung der Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik .

Betrachten Sie die Integration von f = f ( x , t ) über den zeitabhängigen Bereich Ω( t ) , der die Grenze ∂Ω( t ) hat , und nehmen Sie dann die Ableitung nach der Zeit:

${\displaystyle {\frac{d}{dt}}\int_{\Omega(t)}\mathbf{f}\,dV.}$

Wenn wir die Ableitung innerhalb des Integrals verschieben möchten, gibt es zwei Probleme: die Zeitabhängigkeit von f und die Einführung und Entfernung von Raum von Ω aufgrund seiner dynamischen Grenze. Das Transporttheorem von Reynolds liefert den notwendigen Rahmen.

Generelle Form

Der Transportsatz von Reynolds kann wie folgt ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial\Omega(t)}\left(\mathbf {v}^{b}\cdot\mathbf {n} \right)\mathbf { f} \,dA}$

wobei n ( x , t ) der nach außen zeigende Einheitsnormalenvektor ist, x ein Punkt in der Region und die Integrationsvariable ist, dV und dA Volumen- und Oberflächenelemente bei x sind und v ^b ( x , t ) ist die Geschwindigkeit des Flächenelements ( nicht die Fließgeschwindigkeit). Die Funktion f kann tensor-, vektor- oder skalarwertig sein. Beachten Sie, dass das Integral auf der linken Seite ausschließlich eine Funktion der Zeit ist und daher die gesamte Ableitung verwendet wurde.

Formular für ein materielles Element

In der Kontinuumsmechanik wird dieser Satz häufig für materielle Elemente verwendet . Dies sind Pakete von Flüssigkeiten oder Feststoffen, in die kein Material ein- oder austritt. Wenn Ω( t ) ein materielles Element ist, dann gibt es eine Geschwindigkeitsfunktion v = v ( x , t ) , und die Randelemente gehorchen

${\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .}$

Diese Bedingung kann ersetzt werden, um Folgendes zu erhalten:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf{f}\,dV\right)=\int_{\Omega(t)}{\ frac {\partial\mathbf{f}}{\partial t}}\,dV+\int _{\partial\Omega(t)}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f} \,dA.}$

Nachweis für ein materielles Element

Sei Ω 0 die Referenzkonfiguration der Region Ω( t ) . Die Bewegung und der Deformationsgradient seien gegeben durch ${\displaystyle\mathbf{x} ={\boldsymbol {\varphi}}(\mathbf{X},t),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(\mathbf{X},t)={\boldsymbol {\nabla}}{\boldsymbol {\varphi}}.}$ Sei J ( X , t ) = det F ( X , t ) . Definieren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f}}}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi}}(\mathbf {X} ,t),t) .}$ Dann hängen die Integrale in der aktuellen und der Referenzkonfiguration zusammen durch ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega_{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi}}(\mathbf{X},t),t)\,J(\mathbf{X},t)\,dV_{0}\\&=\int_{ \Omega_{0}}{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X},t)\,dV_{0}.\end{ausgerichtet }}}$ Dass diese Ableitung für ein materielles Element gilt, liegt an der Zeitkonstanz der Referenzkonfiguration: Sie ist in Materialkoordinaten konstant. Die zeitliche Ableitung eines Integrals über ein Volumen ist definiert als ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim_ {\Updelta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Updelta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Updelta t)}\mathbf{f} (\mathbf{x} ,t+\ Delta t)\,dV-\int_{\Omega(t)}\mathbf{f} (\mathbf{x},t)\,dV\right).}$ In Integrale über die Referenzkonfiguration umrechnend, erhalten wir ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim_ {\Updelta t\rightarrow 0}{\frac{1}{\Updelta t}}\left(\int_{\Omega_{0}}{\hat {\mathbf{f}}}(\mathbf{X } ,t+\Updelta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Updelta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega_{0}}{\hat {\mathbf {f} } }(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X},t)\,dV_{0}\right).}$ Da Ω 0 zeitunabhängig ist, gilt ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\ rechts)&=\int _{\Omega_{0}}\left(\lim_{\Updelta t\rightarrow 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Updelta t)\,J(\mathbf{X} ,t+\Updelta t)-{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X} ,t)\,J(\mathbf{X } ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left ({\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X},t)\right)\,dV_{0}\\&=\int_{ \Omega_{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t){\ groß)}\,J(\mathbf{X},t)+{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,{\frac{\partial}{\partialt} }{\big (}J(\mathbf{X},t){\big)}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}}$ Die zeitliche Ableitung von J ist gegeben durch: ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\det { \boldsymbol {F}})&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t )\,{\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi}}(\mathbf{X} ,t),t{\big)}\\& =J(\mathbf{X},t)\,{\boldsymbol {\nabla}}\cdot\mathbf{v} (\mathbf{x},t).\end{ausgerichtet}}}$ Deswegen, ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\ rechts)&=\int _{\Omega_{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X } ,t)\right)\,J(\mathbf{X},t)+{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X} , t)\,{\boldsymbol {\nabla}}\cdot\mathbf{v} (\mathbf{x},t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega_{0 }}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f}}}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\ mathbf {f} }}(\mathbf {X},t)\,{\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x},t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int_{\Omega(t)}\left({\dot {\mathbf{f}}}(\mathbf{x},t)+ \mathbf{f} (\mathbf{x},t)\,{\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf{v} (\mathbf{x},t)\right)\,dV.\end{ ausgerichtet}}}$ wo ist die materielle Zeitableitung von f . Die materielle Ableitung ist gegeben durch ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f}}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t} }+{\big (}{\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t) .}$ Deswegen, ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\int_ {\Omega(t)}\left({\frac {\partial\mathbf{f} (\mathbf{x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla} }\mathbf{f} (\mathbf{x},t){\big)}\cdot\mathbf{v} (\mathbf{x},t)+\mathbf{f} (\mathbf{x},t )\,{\boldsymbol {\nabla}}\cdot\mathbf{v} (\mathbf{x},t)\right)\,dV,}$ oder, ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int_{\Omega(t)}\left ({\frac{\partial\mathbf{f}}{\partialt}}+{\boldsymbol {\nabla}}\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{f}\,{\ Fettsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.}$ Verwenden der Identität ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {w}) +{\boldsymbol{\nabla}}\mathbf{v}\cdot\mathbf{w},}$ wir haben dann ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf{f}\,dV\right)=\int_{\Omega(t)}\left ({\frac{\partial\mathbf{f}}{\partialt}}+{\boldsymbol {\nabla}}\cdot (\mathbf{f}\otimes\mathbf{v})\right)\,dV .}$ Mit dem Divergenzsatz und der Identität ( a ⊗ b ) · n = ( b · n ) a gilt ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\ Omega(t)}{\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial t}}\,dV+\int _{\partial\Omega(t)}(\mathbf{f}\otimes\mathbf{v } )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _ {\partial\Omega(t)}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}\,dA.\qquad\square\end{aligned}}}$

Ein Sonderfall

Nehmen wir Ω als zeitlich konstant an, dann ist v _b = 0 und die Identität reduziert sich auf

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega}f\,dV=\int_{\Omega}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV. }$

wie erwartet. (Diese Vereinfachung ist nicht möglich, wenn die Fließgeschwindigkeit fälschlicherweise anstelle der Geschwindigkeit eines Flächenelements verwendet wird.)

Interpretation und Reduktion auf eine Dimension

Der Satz ist die höherdimensionale Erweiterung der Differentiation unter dem Integralzeichen und reduziert sich in einigen Fällen auf diesen Ausdruck. Angenommen, f ist unabhängig von y und z , und Ω( t ) ist ein Einheitsquadrat in der yz- Ebene und hat x- Grenzen a ( t ) und b ( t ) . Dann reduziert sich der Reynolds-Transportsatz auf

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{ b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t), t{\big)}-{\frac{\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big)}\,,}$

was bis auf das Vertauschen von x und t der Standardausdruck für die Differentiation unter dem Integralzeichen ist.

Siehe auch

• Leibniz-Integralregel

Anmerkungen

Verweise

• Leal, LG (2007). Fortschrittliche Transportphänomene: Strömungsmechanik und konvektive Transportprozesse . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84910-4.
• Marsden, JE ; Tromba, A. (2003). Vektorrechnung (5. Aufl.). New York: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-4992-9.
• Reynolds, O. (1903). Papiere zu mechanischen und physikalischen Themen . vol. 3, Die Untermechanik des Universums. Cambridge: Cambridge University Press. |volume=hat zusätzlichen Text ( Hilfe )

Externe Links

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in drei Bänden, veröffentlicht um 1903, jetzt vollständig und frei in digitalem Format verfügbar: Volume 1 , Volume 2 , Volume 3 ,
• "Modul 6 - Reynolds Transport Theorem" . ME6601: Einführung in die Strömungsmechanik . Georgia Tech. Archiviert vom Original am 27. März 2008.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem