Zeitleiste der Kategorientheorie und verwandter Mathematik - Timeline of category theory and related mathematics

Dies ist eine Zeitleiste der Kategorientheorie und verwandter Mathematik . Ihr Anwendungsbereich ("verwandte Mathematik") wird angenommen als:

In diesem Artikel und in der Kategorientheorie im Allgemeinen gilt ∞ =  ω .

Zeitleiste bis 1945: vor den Definitionen

Jahr Mitwirkende Vorfall
1890 David Hilbert Auflösung von Modulen und freie Auflösung von Modulen.
1890 David Hilbert Der Syzygiesatz von Hilbert ist ein Prototyp für einen Dimensionsbegriff in der homologischen Algebra .
1893 David Hilbert Ein fundamentaler Satz der algebraischen Geometrie , der Hilbert Nullstellensatz . Es wurde später umformuliert zu: Die Kategorie der affinen Varietäten über einem Körper k ist äquivalent zum Dual der Kategorie der reduzierten endlich erzeugten (kommutativen) k -Algebren .
1894 Henri Poincaré Fundamentale Gruppe eines topologischen Raums .
1895 Henri Poincaré Einfache Homologie .
1895 Henri Poincaré Grundlagenwerk Analysis situs , der Beginn der algebraischen Topologie .
c.1910 LEJ Brouwer Brouwer entwickelt den Intuitionismus als Beitrag zur grundlegenden Debatte um die Mathematik in der Zeit von etwa 1910 bis 1930, wobei die intuitionistische Logik ein Nebenprodukt einer zunehmend sterilen Diskussion über den Formalismus ist.
1923 Hermann Künneth Künneth-Formel zur Homologie des Produkts von Räumen.
1926 Heinrich Brandt definiert den Begriff des Gruppoids .
1928 Arend Heyting Brouwers intuitionistische Logik wurde zur formalen Mathematik, als Logik, in der die Heyting-Algebra die Boolesche Algebra ersetzt .
1929 Walther Mayer Kettenkomplexe .
1930 Ernst Zermelo – Abraham Fraenkel Darstellung der maßgeblichen ZF-Axiome der Mengenlehre , erstmals 1908 aufgestellt und seitdem verbessert.
um 1930 Emmy Noether Die Modultheorie wird von Noether und ihren Studenten entwickelt, und die algebraische Topologie beginnt, in der abstrakten Algebra richtig begründet zu werden, anstatt durch Ad-hoc- Argumente.
1932 Eduard ech Čech Kohomologie , Homotopiegruppen eines topologischen Raums.
1933 Solomon Lefschetz Singuläre Homologie topologischer Räume.
1934 Reinhold Bär Ext-Gruppen, Ext-Funktor (für abelsche Gruppen und mit anderer Notation).
1935 Wittold Hurewicz Höhere Homotopiegruppen eines topologischen Raums.
1936 Marshall-Stein Das Steindarstellungstheorem für Boolesche Algebren leitet verschiedene Steindualitäten ein .
1937 Richard Brauer – Cecil Nesbitt Frobenius-Algebren .
1938 Hassler Whitney "Moderne" Definition der Kohomologie , die die Arbeit zusammenfasst, seit James Alexander und Andrey Kolmogorov erstmals Cochains definiert haben .
1940 Reinhold Bär Injektive Module .
1940 Kurt Gödel – Paul Bernays Richtiger Unterricht in Mengenlehre.
1940 Heinz Hopf Hopf-Algebren .
1941 Wittold Hurewicz Erster fundamentaler Satz der homologischen Algebra: Bei einer kurzen exakten Folge von Räumen existiert ein verbindender Homomorphismus, so dass die lange Folge von Kohomologiegruppen der Räume exakt ist.
1942 Samuel Eilenberg – Saunders Mac Lane Universalkoeffizientensatz für die ech-Kohomologie ; später wurde dies der allgemeine universelle Koeffizientensatz . Die Notationen Hom und Ext erscheinen zuerst in ihrem Papier.
1943 Norman Steenrod Homologie mit lokalen Koeffizienten .
1943 Israel Gelfand – Mark Naimark Gelfand-Naimark Theorem (manchmal Gelfand Isomorphiesatz genannt): Die Kategorie Haus der lokal kompakter Hausdorff - Räume mit kontinuierlichen richtigen Karten als morphisms entspricht die Kategorie C * Alg kommutativen C * -Algebren mit dem richtigen * -homomorphisms als morphisms.
1944 Garrett Birkhoff – Øystein Erz Galois-Verbindungen, die die Galois-Korrespondenz verallgemeinern: ein Paar adjungierter Funktoren zwischen zwei Kategorien, die aus teilweise geordneten Mengen entstehen (in moderner Formulierung).
1944 Samuel Eilenberg "Moderne" Definition von singulärer Homologie und singulärer Kohomologie.
1945 Beno Eckmann Definiert den Kohomologiering aufbauend auf Heinz Hopfs Arbeit.

1945–1970

Jahr Mitwirkende Vorfall
1945 Saunders Mac Lane – Samuel Eilenberg Beginn der Kategorientheorie: Axiome für Kategorien , Funktoren und natürliche Transformationen .
1945 Norman Steenrod – Samuel Eilenberg Eilenberg-Steenrod-Axiome für Homologie und Kohomologie.
1945 Jean Leray Startet Garbentheorie : Zu dieser Zeit war eine Garbe eine Abbildung, die einem geschlossenen Unterraum eines topologischen Raums ein Modul oder einen Ring zuordnete. Das erste Beispiel war die Garbe, die einem geschlossenen Unterraum seine p-te Kohomologiegruppe zuordnet .
1945 Jean Leray Definiert die Garben-Kohomologie unter Verwendung seines neuen Konzepts der Garbe.
1946 Jean Leray Erfindet Spektralsequenzen als Methode zur iterativen Approximation von Kohomologiegruppen durch vorherige approximierte Kohomologiegruppen. Im Grenzfall gibt es die gesuchten Kohomologiegruppen.
1948 Cartan-Seminar Schreibt bis Garbentheorie zum ersten Mal.
1948 AL Blakers Gekreuzte Komplexe (von Blakers Gruppensysteme genannt), nach einem Vorschlag von Samuel Eilenberg : Eine nichtabelsche Verallgemeinerung von Kettenkomplexen abelscher Gruppen, die strengen ω-Gruppoiden äquivalent sind . Sie bilden eine Kategorie Crs , die viele zufriedenstellende Eigenschaften hat, wie beispielsweise eine monoide Struktur .
1949 John Henry Whitehead Gekreuzte Module .
1949 André Weil Formuliert die Weil - Vermutungen über bemerkenswerte Beziehungen zwischen der kohomologischen Struktur algebraischer Varietäten über C und der diophantinen Struktur algebraischer Varietäten über endlichen Körpern .
1950 Henri Cartan In dem Buch Sheaf Theorie vom Cartan Seminar definiert er: Garbe Raum (étale Raum), Unterstützung von Garben axiomatisch, Garbenkohomologie mit Unterstützung in einer axiomatischen Form und mehr.
1950 John Henry Whitehead Umreißt ein algebraisches Homotopieprogramm zum Beschreiben, Verstehen und Berechnen von Homotopietypen von Räumen und Homotopieklassen von Abbildungen
1950 Samuel Eilenberg – Joe Zilber Simpliziale Mengen als rein algebraisches Modell gut verhaltener topologischer Räume. Ein simplizialer Satz kann auch als Vorsatz auf die Simplex-Kategorie angesehen werden . Eine Kategorie ist eine simpliziale Menge, sodass die Segal-Abbildungen Isomorphismen sind.
1951 Henri Cartan Moderne Definition der Garbentheorie, bei der eine Garbe unter Verwendung offener Teilmengen anstelle von abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums definiert wird und alle offenen Teilmengen gleichzeitig behandelt werden. Eine Garbe auf einem topologischen Raum X wird zu einem Funktor, der einer lokal auf X definierten Funktion ähnelt und Werte in Mengen, abelschen Gruppen, kommutativen Ringen , Modulen oder allgemein in einer beliebigen Kategorie C annimmt . Tatsächlich hat Alexander Grothendieck später ein Wörterbuch zwischen Garben und Funktionen erstellt . Eine andere Interpretation von Garben ist als kontinuierlich variierende Mengen (eine Verallgemeinerung abstrakter Mengen ). Sein Zweck besteht darin, einen einheitlichen Ansatz bereitzustellen, um lokale und globale Eigenschaften topologischer Räume zu verbinden und die Hindernisse für den Übergang von lokalen Objekten zu globalen Objekten in einem topologischen Raum durch Zusammenfügen der lokalen Teile zu klassifizieren. Die C- wertigen Garben auf einem topologischen Raum und ihre Homomorphismen bilden eine Kategorie.
1952 William Massey Erfindet exakte Paare zur Berechnung von Spektralsequenzen.
1953 Jean-Pierre Serre Serre C- Theorie und Serre-Unterkategorien .
1955 Jean-Pierre Serre Zeigt, dass es eine 1−1 Korrespondenz zwischen algebraischen Vektorbündeln über einer affinen Varietät und endlich erzeugten projektiven Modulen über ihrem Koordinatenring gibt ( Serre-Swan-Theorem ).
1955 Jean-Pierre Serre Kohärente Garbenkohomologie in der algebraischen Geometrie.
1956 Jean-Pierre Serre GAGA-Korrespondenz .
1956 Henri Cartan – Samuel Eilenberg Einflussreiches Buch: Homologische Algebra , das den damaligen Stand der Technik in seinem Thema zusammenfasst. Die Notationen Tor n und Ext n , sowie die Konzepte des projektiven Moduls , der projektiven und injektiven Auflösung eines Moduls, des abgeleiteten Funktors und der Hyperhomologie tauchen in diesem Buch erstmals auf.
1956 Daniel Kan Simplizielle Homotopietheorie, auch kategoriale Homotopietheorie genannt: Eine Homotopietheorie, die vollständig innerhalb der Kategorie der simplizialen Mengen liegt .
1957 Charles Ehresmann – Jean Bénabou Sinnlose Topologie , die auf Marshall Stones Arbeit aufbaut .
1957 Alexander Grothendieck Abelsche Kategorien in der homologischen Algebra, die Genauigkeit und Linearität kombinieren.
1957 Alexander Grothendieck Einflussreiches Tohoku- Papier schreibt die homologische Algebra neu ; Nachweis der Grothendieck-Dualität (Serre-Dualität für möglicherweise singuläre algebraische Varietäten). Er zeigte auch, dass die konzeptionelle Grundlage der homologischen Algebra über einem Ring auch für lineare Objekte gilt, die als Garben über einem Raum variieren.
1957 Alexander Grothendieck Grothendiecks relativer Standpunkt , S-Schemata .
1957 Alexander Grothendieck Satz von Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch für glatt ; der Beweis führt die K-Theorie ein .
1957 Daniel Kan Kan-Komplexe : Simpliziale Mengen (in denen jedes Horn einen Füller hat), die geometrische Modelle von simplizialen ∞-Gruppoiden sind . Kan-Komplexe sind auch die faserigen (und co-faserigen) Objekte von Modellkategorien simplizialer Mengen, für die die Fasern Kan-Fasern sind .
1958 Alexander Grothendieck Startet eine neue Grundlage der algebraischen Geometrie durch Verallgemeinerung von Varietäten und anderen Räumen in der algebraischen Geometrie zu Schemata , die die Struktur einer Kategorie mit offenen Teilmengen als Objekte und Restriktionen als Morphismen haben. bilden eine Kategorie, die ein Grothendieck-Topos ist , und zu einem Schema und sogar einem Stapel kann man einen Zariski-Topos, einen Etale-Topos, einen fppf-Topos, einen fpqc-Topos, einen Nisnevich-Topos, einen flachen Topos, ... Topologie, die dem Schema auferlegt wird. Die gesamte algebraische Geometrie wurde mit der Zeit kategorisiert.
1958 Roger Godement Monaden in der Kategorientheorie (damals Standardkonstruktionen und Tripel genannt). Monaden verallgemeinern klassische Begriffe aus der universellen Algebra und können in diesem Sinne als algebraische Theorie über eine Kategorie gedacht werden : die Theorie der Kategorie der T-Algebren. Eine Algebra für eine Monade subsumiert und verallgemeinert den Begriff eines Modells für eine algebraische Theorie.
1958 Daniel Kan Adjungierte Funktoren .
1958 Daniel Kan Grenzen der Kategorientheorie.
1958 Alexander Grothendieck Faserkategorien .
1959 Bernard Dwork Beweist den Rationalitätsteil der Weil-Vermutungen (die erste Vermutung).
1959 Jean-Pierre Serre Algebraische K-Theorie durch explizite Analogie der Ringtheorie mit geometrischen Fällen.
1960 Alexander Grothendieck Faserfunktionen
1960 Daniel Kan Kan-Erweiterungen
1960 Alexander Grothendieck Formale algebraische Geometrie und formale Schemata
1960 Alexander Grothendieck Darstellbare Funktionen
1960 Alexander Grothendieck Kategorisiert Galois-Theorie ( Grothendiecks Galois-Theorie )
1960 Alexander Grothendieck Abstammungstheorie : Eine Idee, die den Begriff des Klebens in der Topologie auf ein Schema ausdehnt, um die Brute-Äquivalenzbeziehungen zu umgehen. Es verallgemeinert auch die Lokalisierung in der Topologie
1961 Alexander Grothendieck Lokale Kohomologie . Eingeführt auf einem Seminar 1961, aber die Notizen werden 1967 veröffentlicht
1961 Jim Stasheff Später verwendete Associaeder in der Definition von schwachen n -Kategorien
1961 Richard Schwan Zeigt, dass es eine 1−1 Korrespondenz zwischen topologischen Vektorbündeln über einem kompakten Hausdorff-Raum X und endlich erzeugten projektiven Modulen über dem Ring C ( X ) stetiger Funktionen auf X gibt ( Serre-Swan-Theorem )
1963 Frank Adams – Saunders Mac Lane PROP-Kategorien und PACT-Kategorien für höhere Homotopien. PROPs sind Kategorien zur Beschreibung von Operationsfamilien mit beliebig vielen Inputs und Outputs. Operads sind spezielle PROPs mit Operationen mit nur einem Ausgang
1963 Alexander Grothendieck Étale Topologie , eine spezielle Grothendieck-Topologie auf
1963 Alexander Grothendieck Étale Kohomologie
1963 Alexander Grothendieck Grothendieck- Toposen , das sind Kategorien, die wie Universen (verallgemeinerte Räume) von Mengen sind, in denen man Mathematik betreiben kann
1963 William Lawvere Algebraische Theorien und algebraische Kategorien
1963 William Lawvere Begründet kategoriale Logik , entdeckt interne Logiken von Kategorien und erkennt ihre Bedeutung und führt Lawvere - Theorien ein . Im Wesentlichen ist die kategoriale Logik eine Erhebung verschiedener Logiken zu internen Logiken von Kategorien. Jede Art von Kategorie mit zusätzlicher Struktur entspricht einem logischen System mit eigenen Inferenzregeln. Eine Lawvere-Theorie ist eine algebraische Theorie als Kategorie mit endlichen Produkten und besitzt eine "generische Algebra" (eine generische Gruppe). Die von einer Lawvere-Theorie beschriebenen Strukturen sind Modelle der Lawvere-Theorie
1963 Jean-Louis Verdier Triangulierte Kategorien und triangulierte Funktoren . Abgeleitete Kategorien und abgeleitete Funktoren sind Spezialfälle davon
1963 Jim Stasheff A ∞ -Algebren : dg-Algebra- Analoga von topologischen Monoiden assoziativ bis zur Homotopie, die in der Topologie auftreten (dh H-Räume )
1963 Jean Giraud Giraud-Charakterisierungstheorem, das Grothendieck-Toposen als Kategorien von Garben über einem kleinen Ort charakterisiert
1963 Charles Ehresmann Interne Kategorientheorie : Die Internalisierung von Kategorien in eine Kategorie V mit Pullbacks ist das Ersetzen der Kategorie Set (dasselbe für Klassen statt Mengen) durch V in der Definition einer Kategorie. Internalisierung ist ein Weg, die kategoriale Dimension zu erhöhen
1963 Charles Ehresmann Mehrere Kategorien und mehrere Funktionen
1963 Saunders Mac Lane Monoidale Kategorien , auch Tensorkategorien genannt: Strenge 2-Kategorien mit einem Objekt, die durch einen Umetikettiertrick zu Kategorien mit einem Tensorprodukt von Objekten gemacht werden, das heimlich die Zusammensetzung von Morphismen in der 2-Kategorie ist. Es gibt mehrere Objekte in einer monoidalen Kategorie, da der Umetikettierungstrick 2-Morphismen der 2-Kategorie zu Morphismen macht, Morphismen der 2-Kategorie zu Objekten und das einzelne Objekt vergisst. Im Allgemeinen funktioniert ein höherer Relabelling-Trick für n -Kategorien mit einem Objekt, um allgemeine monooidale Kategorien zu erstellen . Die häufigsten Beispiele sind: Bandkategorien , geflochtene Tensorkategorien , sphärische Kategorien , kompakte geschlossene Kategorien , symmetrische Tensorkategorien , modulare Kategorien , autonome Kategorien , Kategorien mit Dualität
1963 Saunders Mac Lane Mac-Lane-Kohärenzsatz zur Bestimmung der Kommutativität von Diagrammen in monooidalen Kategorien
1964 William Lawvere ETCS Elementare Theorie der Kategorie der Mengen : Eine Axiomatisierung der Kategorie der Mengen, die auch der konstante Fall eines elementaren Topos ist
1964 Barry Mitchell – Peter Freyd Einbettungssatz von Mitchell-Freyd : Jede kleine abelsche Kategorie erlaubt eine exakte und vollständige Einbettung in die Kategorie der (linken) Module Mod R über einen Ring R
1964 Rudolf Haag – Daniel Kastler Algebraische Quantenfeldtheorie nach Ideen von Irving Segal
1964 Alexander Grothendieck Topologisiert Kategorien axiomatisch, indem Kategorien, die dann Sites genannt werden, eine Grothendieck-Topologie auferlegt wird . Der Zweck von Sites besteht darin, Abdeckungen auf ihnen zu definieren, damit Garben über Sites definiert werden können. Die anderen "Räume", für die man Garben definieren kann, außer topologische Räume sind Gebietsschemas
1964 Michael Artin – Alexander Grothendieck ℓ-adische Kohomologie , technische Entwicklung in SGA4 der lang erwarteten Weil-Kohomologie .
1964 Alexander Grothendieck Beweist die Weil-Vermutungen außer dem Analogon der Riemannschen Hypothese
1964 Alexander Grothendieck Formalismus mit sechs Operationen in der homologischen Algebra ; R f * , f –1 , R f ! , f ! , ⊗ L , RHom und Beweis seiner Geschlossenheit
1964 Alexander Grothendieck In einem Brief an Jean-Pierre Serre eingeführte mutmaßliche Motive , um die Idee auszudrücken, dass es eine einzige universelle Kohomologietheorie gibt, die den verschiedenen Kohomologietheorien für algebraische Varietäten zugrunde liegt. Nach Grothendiecks Philosophie sollte es einen universellen Kohomologiefunktor geben , der jeder glatten projektiven Varietät X ein reines Motiv h( X ) zuordnet . Wenn X nicht glatt oder projektiv ist, muss h( X ) durch ein allgemeineres gemischtes Motiv ersetzt werden, das eine Gewichtsfilterung hat, deren Quotienten reine Motive sind. Die Kategorie der Motive (der kategoriale Rahmen für die universelle Kohomologietheorie) kann als abstrakter Ersatz für die singuläre Kohomologie (und rationale Kohomologie) verwendet werden, um "motivierte" Eigenschaften und parallele Phänomene der verschiedenen Kohomologietheorien zu vergleichen, in Beziehung zu setzen und zu vereinen und um topologische Struktur algebraischer Varietäten. Die Kategorien der reinen Motive und der gemischten Motive sind abelsche Tensorkategorien und die Kategorie der reinen Motive ist ebenfalls eine tannakische Kategorie . Motivkategorien werden gebildet, indem die Kategorie der Varietäten durch eine Kategorie mit denselben Gegenständen ersetzt wird, deren Morphismen jedoch Entsprechungen sind , modulo einer geeigneten Äquivalenzrelation ; unterschiedliche Äquivalenzen liefern unterschiedliche Theorien. Rationale Äquivalenz gibt die Kategorie der Chow-Motive mit Chow-Gruppen als Morphismen, die in gewissem Sinne universell sind. Jede geometrische Kohomologietheorie ist ein Funktor auf die Kategorie der Motive. Jeder induzierte Funktor ρ:Motive modulo numerische Äquivalenz→abgestufte Q- Vektorräume heißt eine Realisierung der Motivkategorie, die inversen Funktoren heißen Verbesserungen . Mischmotive erklären Phänomene in so unterschiedlichen Bereichen wie: Hodge-Theorie, algebraische K-Theorie, Polylogarithmen, Regulatorkarten, automorphe Formen, L-Funktionen, ℓ-adische Darstellungen, trigonometrische Summen, Homotopie algebraischer Varietäten, algebraische Zyklen, Modulräume und damit hat das Potenzial, jeden Bereich zu bereichern und alle zu vereinen.
1965 Edgar Brown Abstrakte Homotopiekategorien : Ein geeigneter Rahmen für das Studium der Homotopietheorie von CW-Komplexen
1965 Max Kelly DG-Kategorien
1965 Max Kelly – Samuel Eilenberg Angereicherte Kategorientheorie : Kategorien C angereichert über eine Kategorie V sind Kategorien mit Hom-Mengen Hom C nicht nur eine Menge oder Klasse, sondern mit der Struktur von Objekten in der Kategorie V . Anreicherung über V ist eine Möglichkeit, die kategoriale Dimension zu erhöhen
1965 Charles Ehresmann Definiert beide strenge 2-Kategorien und strenge n - Kategorien
1966 Alexander Grothendieck Kristalle (eine Art Garbe, die in der kristallinen Kohomologie verwendet wird )
1966 William Lawvere ETAC Elementare Theorie abstrakter Kategorien , erste vorgeschlagene Axiome für Cat oder Kategorientheorie mit Logik erster Ordnung
1967 Jean Bénabou Bikategorien (schwache 2-Kategorien) und schwache 2-Funktionen
1967 William Lawvere Begründet synthetische Differentialgeometrie
1967 Simon Kochen–Ernst Specker Kochen-Specker-Theorem in der Quantenmechanik
1967 Jean-Louis Verdier Definiert abgeleitete Kategorien und definiert abgeleitete Funktoren in Bezug auf abgeleitete Kategorien neu
1967 Peter Gabriel–Michel Zisman Axiomatisiert simpliziale Homotopietheorie
1967 Daniel Quillen Quillen Modellkategorien und Quillen Modell functors : Ein Rahmen für Homotopietheorie in axiomatischer Weise in Kategorien zu tun und eine Abstraktion von homotopy Kategorien so dass hC  =  C [ W -1 ] , wobei W -1 sind die invertierten schwachen Äquivalenzen des Quillen-Modellkategorie C. Quillen-Modellkategorien sind homotopisch vollständig und kovollständig und verfügen über eine eingebaute Eckmann-Hilton-Dualität
1967 Daniel Quillen Homotopische Algebra (als Buch veröffentlicht und manchmal auch als nichtkommutative homologische Algebra bezeichnet): Das Studium verschiedener Modellkategorien und das Zusammenspiel von Fibrationen, Kofibrationen und schwachen Äquivalenzen in beliebigen geschlossenen Modellkategorien
1967 Daniel Quillen Quillen-Axiome für die Homotopietheorie in Modellkategorien
1967 Daniel Quillen Erster fundamentaler Satz der simplizialen Homotopietheorie : Die Kategorie der simplizialen Mengen ist eine (eigentliche) abgeschlossene (simpliziale) Modellkategorie
1967 Daniel Quillen Zweiter fundamentaler Satz der simplizialen Homotopietheorie : Der Realisierungsfunktor und der singuläre Funktor ist eine Äquivalenz der Kategorien hΔ und hTop ( Δ die Kategorie der simplizialen Mengen )
1967 Jean Bénabou V -Aktegorien : Eine Kategorie C mit einer Wirkung ⊗ : V × C → C, die assoziativ und unital bis zum kohärenten Isomorphismus ist, für V eine symmetrische monoide Kategorie . V-Aktegorien können als Kategorisierung von R-Modulen über einen kommutativen Ring R . angesehen werden
1968 Chen-Ning Yang - Rodney Baxter Yang-Baxter-Gleichung , später als Beziehung in geflochtenen monooidalen Kategorien für Kreuzungen von Geflechten verwendet
1968 Alexander Grothendieck Kristalline Kohomologie : Eine p- adische Kohomologie- Theorie in der Charakteristik p, die erfunden wurde, um die Lücke zu füllen, die die étale-Kohomologie hinterlassen hat, die in diesem Fall bei der Verwendung von mod p- Koeffizienten unzulänglich ist. Es wird von Grothendieck manchmal als Yoga der de Rham-Koeffizienten und Hodge-Koeffizienten bezeichnet, da die kristalline Kohomologie einer Varietät X in der Charakteristik p wie die de Rham-Kohomologie mod p von X ist und es einen Isomorphismus zwischen de Rham-Kohomologiegruppen und Hodge-Kohomologiegruppen gibt harmonischer Formen
1968 Alexander Grothendieck Anschluss Grothendieck
1968 Alexander Grothendieck Formuliert die Standardvermutungen über algebraische Zyklen
1968 Michael Artin Algebraische Räume in der algebraischen Geometrie als Verallgemeinerung des Schemas
1968 Charles Ehresmann Skizzen : Eine alternative Möglichkeit, eine Theorie zu präsentieren (die im Gegensatz zur linguistischen einen kategorialen Charakter hat), deren Modelle in geeigneten Kategorien untersucht werden sollen. Eine Skizze ist eine kleine Kategorie mit einer Reihe von ausgezeichneten Kegeln und einer Reihe von ausgezeichneten Kokosnüssen, die einige Axiome erfüllen. Ein Modell einer Skizze ist ein mengenwertiger Funktor, der die ausgezeichneten Kegel in Grenzkegel und die ausgezeichneten Kokegel in Kolimitkegel umwandelt. Die Kategorien der Skizzenmodelle sind genau die zugänglichen Kategorien
1968 Joachim Lambek Mehrere Kategorien
1969 Max Kelly - Nobuo Yoneda Enden und Coends
1969 Pierre Deligne - David Mumford Deligne-Mumford-Stapel als Verallgemeinerung des Schemas
1969 William Lawvere Doktrinen (Kategorientheorie) , eine Doktrin ist eine Monade auf einer 2-Kategorie
1970 William Lawvere - Myles Tierney Elementare Topoi : Kategorien, die der Kategorie der Mengen nachempfunden sind, die wie Universen (verallgemeinerte Räume) von Mengen sind, in denen man Mathematik betreiben kann. Eine von vielen Möglichkeiten, einen Topos zu definieren, ist: eine ordnungsgemäß kartesische geschlossene Kategorie mit einem Unterobjekt-Klassifikator . Jeder Grothendieck-Topos ist ein elementarer Topos
1970 John Conway Knäueltheorie der Knoten : Die Berechnung von Knoteninvarianten durch Knäuel- Module . Strangmodule können auf Quanteninvarianten basieren

1971–1980

Jahr Mitwirkende Vorfall
1971 Saunders Mac Lane Einflussreiches Buch: Kategorien für den arbeitenden Mathematiker , das zum Standardwerk in der Kategorientheorie wurde
1971 Horst Herrlich – Oswald Wyler Kategorische Topologie : Die Studie von topologischen Kategorien von strukturierten Sätzen (Verallgemeinerungen topologischer Räume, einheitlicher Räume und die verschiedenen anderen Räumen in der Topologie) und die Beziehungen zwischen ihnen, in gipfelte universeller Topologie . Allgemeine kategoriale Topologiestudie und verwendet strukturierte Mengen in einer topologischen Kategorie als allgemeine Topologiestudie und verwendet topologische Räume. Die algebraische kategoriale Topologie versucht, die Maschinerie der algebraischen Topologie für topologische Räume auf strukturierte Mengen in einer topologischen Kategorie anzuwenden.
1971 Harold Temperley – Elliott Lieb Temperley-Lieb-Algebren : Algebren von Tangles, die durch Generatoren von Tangles und Beziehungen zwischen ihnen definiert werden
1971 William Lawvere – Myles Tierney Lawvere-Tierney-Topologie auf einem Topos
1971 William Lawvere – Myles Tierney Topos-theoretisches Forcing (Forcing in Toposen): Kategorisierung der mengentheoretischen Forcing- Methode in Toposen für Versuche, die Kontinuumshypothese zu beweisen oder zu widerlegen , Unabhängigkeit des Auswahlaxioms usw. in Toposen
1971 Bob Walters – Ross Street Yoneda-Strukturen in 2 Kategorien
1971 Roger Penrose String-Diagramme zur Manipulation von Morphismen in einer monoiden Kategorie
1971 Jean Giraud Gerbes : Kategorisierte Hauptbündel, die auch Sonderfälle von Stapeln sind
1971 Joachim Lambek Verallgemeinert die Haskell-Curry-William-Howard-Korrespondenz auf einen Drei-Wege-Isomorphismus zwischen Typen, Aussagen und Objekten einer kartesischen geschlossenen Kategorie
1972 Max Kelly Clubs (Kategorietheorie) und Kohärenz (Kategorietheorie) . Ein Club ist eine spezielle Form der 2-dimensionalen Theorie oder ein Monoid in Cat /(Kategorie endlicher Mengen und Permutationen P ), wobei jeder Club eine 2-Monade auf Cat . ergibt
1972 John Isbell Locales : Ein "verallgemeinerter topologischer Raum" oder "sinnlose Räume", die durch ein Gitter (eine vollständige Heyting-Algebra, auch Brouwer-Gitter genannt) definiert werden, genauso wie für einen topologischen Raum die offenen Teilmengen ein Gitter bilden. Wenn das Gitter genügend Punkte besitzt, ist es ein topologischer Raum. Locales sind die Hauptobjekte einer sinnlosen Topologie , wobei die dualen Objekte Frames sind . Sowohl Gebietsschemas als auch Rahmen bilden Kategorien, die einander entgegengesetzt sind . Garben können über Gebietsschemas definiert werden. Die anderen "Räume", über die man Garben definieren kann, sind Sites. Obwohl Örtlichkeiten früher bekannt waren, nannte John Isbell sie zuerst
1972 Rossstraße Formale Monadentheorie : Die Monadentheorie in 2 Kategorien
1972 Peter Freyd Grundsatz der Topos-Theorie : Jede Schichtkategorie ( E , Y ) eines Topos E ist ein Topos und der Funktor f *: ( E , X ) → ( E , Y ) erhält Exponentialwerte und das Unterobjekt-Klassifikatorobjekt Ω und hat ein Recht und linker adjungierter Funktor
1972 Alexander Grothendieck Grothendieck Universen für Sets als Teil von Grundlagen für Kategorien
1972 Jean Benabou - Ross Straße Kosmos, die Universen kategorisieren : Ein Kosmos ist ein verallgemeinertes Universum von 1-Kategorien, in dem Sie Kategorientheorie betreiben können. Wenn die Mengentheorie auf das Studium eines Grothendieck-Topos verallgemeinert wird, ist die analoge Verallgemeinerung der Kategorientheorie das Studium eines Kosmos.
  1. Ross Street-Definition: Eine Doppelkategorie, so dass
  2. kleine Nebenprodukte existieren;
  3. jede Monade lässt eine Kleisli-Konstruktion zu (analog dem Quotienten einer Äquivalenzrelation in einem Topos);
  4. es ist lokal klein-kovollständig; und
  5. es gibt einen kleinen Cauchy-Generator .

Kosmosen sind unter Dualisierung, Parametrisierung und Lokalisierung geschlossen. Ross Street führt auch elementare Kosmosen ein .

Jean-Bénabou-Definition: Eine bivollständige symmetrische monooidale geschlossene Kategorie

1972 Peter May Operanden : Eine Abstraktion der Familie der zusammensetzbaren Funktionen mehrerer Variablen zusammen mit einer Aktion der Permutation von Variablen. Operanden können als algebraische Theorien angesehen werden und Algebren über Operanden sind dann Modelle der Theorien. Jede Oper gibt eine Monade an der Spitze . Multikategorien mit einem Objekt sind Operanden. PROPs verallgemeinern Operanden, um Operationen mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen zuzulassen. Operaden werden bei der Definition von Opetopen , der Theorie höherer Kategorien, der Homotopietheorie, der homologischen Algebra, der algebraischen Geometrie, der Stringtheorie und vielen anderen Bereichen verwendet.
1972 William Mitchell – Jean Bénabou Mitchell–Bénabou interne Sprache eines Topos : Für einen Topos E mit Unterobjekt-Klassifiziererobjekt Ω eine Sprache (oder Typtheorie ) L( E ) wobei:
  1. die Typen sind die Objekte von E
  2. Terme vom Typ X in den Variablen x i vom Typ X i sind Polynomausdrücke φ( x 1 ,..., x m ): 1→ X in den Pfeilen x i : 1→ X i in E
  3. Formeln sind Terme vom Typ Ω (Pfeile von Typen zu Ω)
  4. Konnektoren werden von der internen Heyting-Algebra- Struktur von Ω . induziert
  5. Quantoren, die durch Typen begrenzt und auf Formeln angewendet werden, werden ebenfalls behandelt
  6. für jeden Typ X gibt es auch zwei binäre Relationen = X (definiert durch Anwendung der Diagonalabbildung auf den Produktterm der Argumente) und ∈ X (definiert durch Anwendung der Bewertungsabbildung auf das Produkt des Terms und des Potenzterms der Argumente).

Eine Formel ist wahr, wenn der Pfeil, der sie interpretiert, durch den Pfeil wahr:1→Ω faktorisiert. Die interne Sprache von Mitchell-Bénabou ist ein mächtiger Weg, um verschiedene Objekte in einem Topos so zu beschreiben, als ob sie Mengen wären, und ist daher ein Weg, den Topos in eine verallgemeinerte Mengentheorie zu verwandeln, um Aussagen in einem Topos unter Verwendung eines intuitionistischen Prädikats erster Ordnung zu schreiben und zu beweisen Logik, Toposen als Typentheorien zu betrachten und Eigenschaften eines Topos auszudrücken. Jede Sprache L erzeugt auch einen linguistischen Topos E (L)

1973 Chris Reedy Reedy-Kategorien : Kategorien von "Formen", die verwendet werden können, um Homotopie-Theorie durchzuführen. Eine Reedy-Kategorie ist eine Kategorie R, die mit einer Struktur ausgestattet ist, die die induktive Konstruktion von Diagrammen und natürliche Transformationen der Form R ermöglicht . Die wichtigste Konsequenz einer Reedy-Struktur auf R ist die Existenz einer Modellstruktur auf der Funktorkategorie M R immer dann, wenn M eine Modellkategorie ist . Ein weiterer Vorteil der Reedy-Struktur besteht darin, dass ihre Kofibrationen, Fibrationen und Faktorisierungen explizit sind. In einer Reedy-Kategorie gibt es einen Begriff eines injektiven und eines surjektiven Morphismus, so dass jeder Morphismus eindeutig als Surjektion gefolgt von einer Injektion faktorisiert werden kann. Beispiele sind die Ordinalzahl α, die als Poset und damit als Kategorie betrachtet wird. Das entgegengesetzte R ° einer Reedy-Kategorie R ist auch eine Reedy-Kategorie. Die Simplex-Kategorie Δ und allgemeiner für jede simpliziale Menge X die Kategorie der Simplizes Δ / X ist eine Reedy-Kategorie. Die Modellstruktur auf M Δ für eine Modellkategorie M ist in einem unveröffentlichten Manuskript von Chris Reedy . beschrieben
1973 Kenneth Brown – Stephen Gersten Zeigt die Existenz einer globalen geschlossenen Modellstruktur für die Kategorie der simplizialen Garben auf einem topologischen Raum, mit schwachen Annahmen über den topologischen Raum
1973 Kenneth Brown Verallgemeinerte Garbenkohomologie eines topologischen Raums X mit Koeffizienten einer Garbe auf X mit Werten in der Kans- Kategorie von Spektren mit einigen Endlichkeitsbedingungen. Es verallgemeinert die verallgemeinerte Kohomologietheorie und die Garbenkohomologie mit Koeffizienten in einem Komplex von abelschen Garben
1973 William Lawvere Findet, dass Cauchy-Vollständigkeit für allgemeine angereicherte Kategorien mit der Kategorie der verallgemeinerten metrischen Räume als Spezialfall ausgedrückt werden kann. Cauchy-Folgen werden zu linksadjungierten Modulen und Konvergenz zu Darstellbarkeit
1973 Jean Bénabou Verteiler (auch Module, Profunktoren, gerichtete Brücken genannt )
1973 Pierre Deligne Beweist die letzte der Weil-Vermutungen , das Analogon der Riemannschen Hypothese
1973 Michael Boardman – Rainer Vogt Segal Kategorien : Simpliziale Analoga von A ∞ - Kategorien . Sie verallgemeinern natürlich simpliziale Kategorien , indem sie als simpliziale Kategorien angesehen werden können, deren Zusammensetzung nur der Homotopie überlassen ist.

Def: Ein simplizialer Raum X, so dass X 0 (die Menge der Punkte) eine diskrete simpliziale Menge ist und die Segal-Abbildung

φ k  : X k → X 1 × X 0 ... × X 0 X 1 (induziert durch X (α i ): X k → X 1 ) zugeordnet zu X

ist eine schwache Äquivalenz simplizialer Mengen für k ≥ 2.

Segal-Kategorien sind eine schwache Form von S-Kategorien , bei denen die Zusammensetzung nur bis zu einem kohärenten Äquivalenzsystem definiert ist.
Segal-Kategorien wurden ein Jahr später implizit von Graeme Segal definiert . Sie wurden zuerst von William Dwyer – Daniel Kan – Jeffrey Smith 1989 als Segal-Kategorien bezeichnet . In ihrem berühmten Buch Homotopy invariant algebraic Structures on topological space nannten J. Michael Boardman und Rainer Vogt sie Quasi-Kategorien . Eine Quasi-Kategorie ist eine simpliziale Menge, die die schwache Kan-Bedingung erfüllt, daher werden Quasi-Kategorien auch schwache Kan-Komplexe genannt

1973 Daniel Quillen Frobenius-Kategorien : Eine exakte Kategorie, in der die Klassen der injektiven und projektiven Objekte zusammenfallen und für alle Objekte x in der Kategorie eine Deflation P( x )→ x (die projektive Überdeckung von x) und eine Inflation x →I( x ) (die injektive Hülle von x ), so dass sowohl P(x) als auch I( x ) in die Kategorie der pro-injektiven Objekte fallen. Eine Frobenius-Kategorie E ist ein Beispiel für eine Modellkategorie und der Quotient E /P (P ist die Klasse der projektiven/injektiven Objekte) ist ihre Homotopiekategorie hE
1974 Michael Artin Verallgemeinert Deligne-Mumford-Stapel zu Artin-Stacks
1974 Robert Paré Paré-Monadizitätssatz : E ist ein Topos → E ° ist monadisch über E
1974 Andy Magid Verallgemeinert die Galois-Theorie von Grothendieck von Gruppen auf den Fall von Ringen unter Verwendung von Galois-Gruppoiden
1974 Jean Bénabou Logik der Faserkategorien
1974 John Gray Graue Kategorien mit Grautensorprodukt
1974 Kenneth Brown Schreibt ein sehr einflussreiches Papier, das Browns Kategorien von faserigen Objekten und dual Brown-Kategorien von kofibranten Objekten definiert
1974 Shiing-Shen Chern – James Simons Chern-Simons-Theorie : Eine spezielle TQFT, die Knoten- und Mannigfaltigkeitsinvarianten beschreibt , damals nur in 3D
1975 Saul Kripke – André Joyal Kripke-Joyal-Semantik der internen Sprache von Mitchell-Bénabou für Toposen: Die Logik in Kategorien von Garben ist intuitionistische Prädikatenlogik erster Ordnung
1975 Radu Diaconescu Satz von Diaconescu : Das interne Auswahlaxiom gilt in einem Topos → der Topos ist ein boolescher Topos. Im IZF impliziert das Auswahlaxiom also das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte
1975 Manfred Szabo Polykategorien
1975 William Lawvere Beobachtet, dass der Satz von Deligne über genügend Punkte in einem kohärenten Topos den Gödelschen Vollständigkeitssatz für die Logik erster Ordnung in diesem Topos impliziert
1976 Alexander Grothendieck Schematische Homotopietypen
1976 Marcel Crabbe Heyting-Kategorien, auch Logosen genannt : Reguläre Kategorien, in denen die Unterobjekte eines Objekts ein Gitter bilden und in denen jede inverse Imagemap ein Rechtsadjungieren hat. Genauer gesagt eine kohärente Kategorie C, so dass für alle Morphismen f : A → B in C der Funktor f *:Sub C ( B )→Sub C ( A ) eine linksadjungierte und eine rechtsadjungierte hat. Sub C ( A ) ist die Vorordnung der Unterobjekte von A ( die vollständige Unterkategorie von C / A , deren Objekte Unterobjekte von A sind ) in C . Jeder Topos ist ein Logos. Heyting-Kategorien verallgemeinern Heyting-Algebren .
1976 Rossstraße Computer
1977 Michael Makkai – Gonzalo Reyes Entwickelt die Mitchell-Bénabou-interne Sprache eines Topos gründlich in einer allgemeineren Umgebung
1977 Andre Boileau – André Joyal – John Zangwill LST, lokale Mengentheorie : Die lokale Mengentheorie ist eine typisierte Mengentheorie, deren zugrunde liegende Logik intuitionistische Logik höherer Ordnung ist . Es ist eine Verallgemeinerung der klassischen Mengenlehre, bei der Mengen durch Terme bestimmter Typen ersetzt werden. Die Kategorie C(S), die aus einer lokalen Theorie S aufgebaut ist, deren Objekte die lokalen Mengen (oder S-Mengen) sind und deren Pfeile die lokalen Karten (oder S-Karten) sind, ist ein linguistischer Topos . Jeder Topos E ist äquivalent zu einem linguistischen Topos C(S( E ))
1977 John Roberts Führt die allgemeinste nichtabelsche Kohomologie von ω-Kategorien mit ω-Kategorien als Koeffizienten ein, als er erkannte, dass es bei der allgemeinen Kohomologie darum geht, Vereinfachungen in ω-Kategorien zu färben . Es gibt zwei Methoden zum Konstruieren allgemeiner nichtabelscher Kohomologie, als nichtabelsche Garbenkohomologie in Bezug auf die Abstammung für ω-kategoriebewertete Garben und in Bezug auf die homotopische Kohomologietheorie, die die Kozyklen realisiert. Die beiden Ansätze sind durch Codescent miteinander verbunden
1978 John Roberts Komplizierte Sets (einfache Sets mit Struktur oder Verzauberung)
1978 Francois Bayen – Moshe Flato – Chris Fronsdal – André Lichnerowicz – Daniel Sternheimer Deformationsquantisierung , später Teil der kategorialen Quantisierung
1978 André Joyal Kombinatorische Arten in der enumerativen Kombinatorik
1978 Don Anderson Aufbauend auf der Arbeit von Kenneth Brown definiert ABC (Co)Fibrationskategorien für die Homotopietheorie und allgemeinere ABC-Modellkategorien , aber die Theorie ruht bis 2003. Jede Quillen-Modellkategorie ist eine ABC-Modellkategorie. Ein Unterschied zu Quillen-Modellkategorien besteht darin, dass in ABC-Modellkategorien Fibrationen und Kofibrillen unabhängig voneinander sind und dass für eine ABC-Modellkategorie M D eine ABC-Modellkategorie ist. Zu einer ABC-(Ko)Faser-Kategorie gehört kanonisch ein (links)rechter Heller-Derivator . Topologische Räume mit Homotopieäquivalenzen als schwach Äquivalenzen, Hurewicz Kofaserung als Kofaserung und Hurewicz Faserungen als Faserungen bilden eine ABC - Modellkategorie, die Hurewicz Modellstruktur auf Top . Komplexe von Objekten in einer abelschen Kategorie mit Quasi-Isomorphismen als schwache Äquivalenzen und Monomorphismen als Kofibrationen bilden eine ABC-Präkofibrationskategorie
1979 Don Anderson Anderson-Axiome für die Homotopietheorie in Kategorien mit einem Bruchfunktor
1980 Alexander Zamolodchikov Zamolodchikov-Gleichung, auch Tetraeder-Gleichung genannt
1980 Rossstraße Bikategoriales Yoneda-Lemma
1980 Masaki Kashiwara – Zoghman Mebkhout Beweist die Riemann-Hilbert-Korrespondenz für komplexe Mannigfaltigkeiten
1980 Peter Freyd Ziffern in einem Topos

1981–1990

Jahr Mitwirkende Vorfall
1981 Shigeru Mukai Mukai-Fourier-Transformation
1982 Bob Walters Angereicherte Kategorien mit Bikategorien als Basis
1983 Alexander Grothendieck Verfolgungsstapel : Manuskript aus Bangor in Umlauf gebracht, in englischer Sprache als Antwort auf eine Korrespondenz in englischer Sprache mit Ronald Brown und Tim Porter geschrieben , beginnend mit einem Brief an Daniel Quillen , der Entwicklung mathematischer Visionen in einem 629-seitigen Manuskript, einer Art Tagebuch, und herausgegeben von der Société Mathématique de France, herausgegeben von G. Maltsiniotis.
1983 Alexander Grothendieck Erstes Auftreten strenger ∞-Kategorien bei der Verfolgung von Stapeln, nach einer 1981 veröffentlichten Definition von Ronald Brown und Philip J. Higgins .
1983 Alexander Grothendieck Fundamentales Unendlich-Gruppoid : Eine vollständige Homotopie-Invariante Π ∞ ( X ) für CW-Komplexe X . Der inverse Funktor ist der geometrische Realisierungsfunktor | . | und zusammen bilden sie eine "Äquivalenz" zwischen der Kategorie der CW-Komplexe und der Kategorie der ω-Groupoide
1983 Alexander Grothendieck Homotopie-Hypothese : Die Homotopie-Kategorie von CW-Komplexen ist Quillen äquivalent zu einer Homotopie-Kategorie von vernünftig schwachen ∞-Gruppoiden
1983 Alexander Grothendieck Grothendieck-Derivate : Ein Modell für die Homotopietheorie ähnlich den Quilen-Modellkategorien, aber zufriedenstellender. Grothendieck-Derivate sind dual zu Heller-Derivaten
1983 Alexander Grothendieck Elementare Modellierer : Kategorien von Presheaves, die Homotopietypen modellieren (und damit die Theorie der simplizialen Mengen verallgemeinern ). Kanonische Modellierer werden auch bei der Verfolgung von Stapeln verwendet
1983 Alexander Grothendieck Glatte Funktoren und richtige Funktoren
1984 Vladimir Bazhanov–Razumov Stroganov Bazhanov-Stroganov-d-Simplex-Gleichung, die die Yang-Baxter-Gleichung und die Zamolodchikov -Gleichung verallgemeinert
1984 Horst Herrlich Universelle Topologie in der kategorialen Topologie : Ein vereinheitlichender kategorialer Ansatz für die verschiedenen strukturierten Mengen (topologische Strukturen wie topologische Räume und einheitliche Räume), deren Klasse eine topologische Kategorie ähnlich der universellen Algebra für algebraische Strukturen bildet
1984 André Joyal Simplizial-Garben (Garben mit Werten in simplizialen Sätzen). Simplizialscheiben auf einem topologischen Raum X ist ein Modell für den hypervollständigen ∞-Topos Sh( X ) ^
1984 André Joyal Zeigt, dass die Kategorie der simplizialen Objekte in einem Grothendieck-Topos eine geschlossene Modellstruktur hat
1984 André Joyal – Myles Tierney Hauptsatz von Galois für Topos : Jeder Topos entspricht einer Kategorie von étale Vorgarben auf einem offenen étale Groupoid
1985 Michael Schlessinger – Jim Stasheff L ∞ -Algebren
1985 André Joyal – Ross Street Geflochtene monoide Kategorien
1985 André Joyal – Ross Street Joyal-Street-Kohärenzsatz für geflochtene monoidale Kategorien
1985 Paul Ghez – Ricardo Lima – John Roberts C*-Kategorien
1986 Joachim Lambek – Phil Scott Einflussreiches Buch: Einführung in die kategoriale Logik höherer Ordnung
1986 Joachim Lambek – Phil Scott Fundamentalsatz der Topologie : Der Schnittfunktor Γ und der Keimfunktor Λ stellen eine duale Adjunktion zwischen der Kategorie der Vorgarben und der Kategorie der Bündel (über denselben topologischen Raum) her, die auf eine duale Äquivalenz von Kategorien (oder Dualität) zwischen entsprechende vollständige Unterkategorien von Garben und von étale Bündeln
1986 Peter Freyd – David Yetter Konstruiert die (kompakt geflochtene) monooidale Kategorie von Tangles
1986 Vladimir Drinfeld – Michio Jimbo Quantengruppen : Also quasidreieckige Hopf-Algebren . Der Punkt ist, dass die Kategorien der Darstellungen von Quantengruppen Tensorkategorien mit zusätzlicher Struktur sind. Sie werden bei der Konstruktion von Quanteninvarianten von Knoten und Verbindungen und niederdimensionalen Mannigfaltigkeiten, Darstellungstheorie, q-Deformationstheorie , CFT , integrierbaren Systemen verwendet . Die Invarianten werden aus geflochtenen monoiden Kategorien konstruiert , die Kategorien von Darstellungen von Quantengruppen sind. Die zugrundeliegende Struktur einer TQFT ist eine modulare Kategorie von Darstellungen einer Quantengruppe
1986 Saunders Mac Lane Mathematik, Form und Funktion (eine Grundlage der Mathematik)
1987 Jean-Yves Girard Linear - Logik : Die interne Logik einer linearen Kategorie (eine angereicherte Kategorie mit Hom-Sets sind lineare Räume )
1987 Peter Freyd Freyd-Darstellungssatz für Grothendieck-Toposen
1987 Rossstraße Definition des Nervs einer schwachen n- Kategorie und damit Erhalt der ersten Definition einer schwachen n- Kategorie mit Hilfe von Simplizes
1987 Ross Street – John Roberts Formuliert Street-Roberts-Vermutung : Strenge ω-Kategorien sind äquivalent zu komplizen Mengen
1987 André Joyal – Ross Street – Mei Chee Shum Bändchenkategorien : Eine ausgewogene, starre, geflochtene monooidale Kategorie
1987 Rossstraße n -Rechnungen
1987 Iain Aitchison Bottom-up- Pascal-Dreieck-Algorithmus zur Berechnung nichtabelscher n -Kozykelbedingungen für nichtabelsche Kohomologie
1987 Vladimir Drinfeld - Gérard Laumon Formuliert geometrisches Langlands-Programm
1987 Vladimir Turaev Startet die Quantentopologie unter Verwendung von Quantengruppen und R-Matrizen , um eine algebraische Vereinheitlichung der meisten der bekannten Knotenpolynome zu erreichen . Besonders wichtig war die Arbeit von Vaughan Jones und Edward Witten über das Jones-Polynom
1988 Alex Heller Heller Axiome für die Homotopietheorie als spezieller abstrakter Hyperfunktor . Ein Merkmal dieses Ansatzes ist eine sehr allgemeine Lokalisierung
1988 Alex Heller Heller-Derivate , das Dual der Grothendieck-Derivate
1988 Alex Heller Liefert eine globale geschlossene Modellstruktur für die Kategorie der simplizialen Vorgarben . John Jardine hat auch eine Modellstruktur in der Kategorie der simplizialen Vorgarben gegeben
1988 Graeme Segal Elliptische Objekte : Ein Funktor, der eine kategorisierte Version eines mit einer Verbindung ausgestatteten Vektorbündels ist, es ist ein 2D-Paralleltransport für Strings
1988 Graeme Segal Konforme Feldtheorie CFT : Ein symmetrischer monoidaler Funktor Z: nCob C → Hilb , der einige Axiome erfüllt
1988 Edward Witten Topologische Quantenfeldtheorie TQFT : Ein monoidaler Funktor Z: nCob → Hilb , der einige Axiome erfüllt
1988 Edward Witten Topologische Stringtheorie
1989 Hans Baues Einflussreiches Buch: Algebraische Homotopie
1989 Michael Makkai-Robert Paré Zugängliche Kategorien : Kategorien mit einem "guten" Satz von Generatoren, die es ermöglichen, große Kategorien wie kleine Kategorien zu manipulieren , ohne befürchten zu müssen, auf mengentheoretische Paradoxe zu stoßen. Lokal vorzeigbare Kategorien sind vollständig zugängliche Kategorien. Zugängliche Kategorien sind die Kategorien von Skizzenmodellen . Der Name kommt daher, dass diese Kategorien als Skizzenmodelle zugänglich sind.
1989 Edward Witten Wittener funktionaler integraler Formalismus und Wittener Invarianten für Mannigfaltigkeiten.
1990 Peter Freyd Allegorien : Eine Abstraktion der Kategorie der Mengen mit Relationen als Morphismen , sie hat die gleiche Ähnlichkeit mit binären Relationen wie Kategorien mit Funktionen und Mengen. Es ist eine Kategorie, in der man zusätzlich zur Komposition eine unäre Operationsreziprokation R ° und einen partiellen binären Operationsschnitt R ∩ S hat , wie in der Kategorie der Mengen mit Relationen als Morphismen (anstelle von Funktionen), für die eine Anzahl von Axiomen gilt erforderlich. Es verallgemeinert die Relationalgebra auf Relationen zwischen verschiedenen Arten.
1990 Nicolai Reshetikhin – Vladimir Turaev – Edward Witten Reshetikhin–Turaev–Witten-Invarianten von Knoten aus modularen Tensorkategorien von Darstellungen von Quantengruppen .

1991–2000

Jahr Mitwirkende Vorfall
1991 Jean-Yves Girard Polarisierung der linearen Logik .
1991 Rossstraße Paritätskomplexe . Ein Paritätskomplex erzeugt eine freie ω-Kategorie .
1991 André Joyal - Ross Street Formalisierung von Penrose- String-Diagrammen zur Berechnung mit abstrakten Tensoren in verschiedenen monooidalen Kategorien mit zusätzlicher Struktur. Das Kalkül hängt nun von der Verbindung mit niedrigdimensionaler Topologie ab .
1991 Rossstraße Definition der strengen -Kategorie des Abstiegs einer kosimplizialen strengen ω-Kategorie.
1991 Rossstraße Top - Down - Exzision von Extremalen Algorithmus zur Berechnung nichtabelscher n - Kozykelbedingungen für die nichtabelsche Kohomologie .
1992 Yves Diers Axiomatische kategoriale Geometrie mit algebraisch-geometrischen Kategorien und algebraisch-geometrischen Funktoren .
1992 Saunders Mac Lane - Ieke Moerdijk Einflussreiches Buch: Garben in Geometrie und Logik .
1992 John Greenlees - Peter May Greenlees-Mai-Dualität
1992 Vladimir Turaev Modulare Tensorkategorien . Spezielle Tensorkategorien , die beim Konstruieren von Knoteninvarianten , beim Konstruieren von TQFTs und CFTs , als Trunkierung (semisimple Quotient) der Kategorie von Darstellungen einer Quantengruppe (an den Wurzeln der Einheit) auftreten, als Kategorien von Darstellungen schwacher Hopf-Algebren , als Kategorie von Darstellungen einer RCFT .
1992 Vladimir Turaev - Oleg Viro Turaev-Viro-Zustandssummenmodelle basierend auf sphärischen Kategorien (die ersten Zustandssummenmodelle) und Turaev-Viro-Zustandssummeninvarianten für 3-Mannigfaltigkeiten.
1992 Vladimir Turaev Schattenwelt der Links: Die Schatten von Links geben Schatten Invarianten von Links durch Schatten Zustand Summen .
1993 Ruth Lawrence Erweiterte TQFTs
1993 David Yetter - Louis Crane Crane-Yetter-Zustandssummenmodelle basierend auf Ribbon-Kategorien und Crane-Yetter-Zustandssummeninvarianten für 4-Mannigfaltigkeiten.
1993 Kenji Fukaya A ∞ -Kategorien und A ∞ -Funktoren : Am häufigsten in der homologischen Algebra , eine Kategorie mit mehreren Zusammensetzungen, so dass die erste Zusammensetzung bis zur Homotopie assoziativ ist, die eine Gleichung erfüllt, die einer anderen Homotopie standhält usw. (assoziativ bis zu höherer Homotopie ). A steht für assoziativ.

Def: Eine Kategorie C, so dass

  1. für alle X ,  Y in Ob( C ) sind die Hom-Mengen Hom C ( X , Y ) endlichdimensionale Kettenkomplexe von Z- gradierten Modulen
  2. für alle Objekte X 1 , ..., X n in Ob( C ) gibt es eine Familie von linearen Kompositionskarten (die höheren Kompositionen)
m n  : Hom C ( X 0 , X 1 ) ⊗ Hom C ( X 1 , X 2 ) ⊗ ... ⊗ Hom C ( X n −1 , X n ) → Hom C ( X 0 , X n )
vom Grad n  − 2 (homologische Graduierung wird verwendet) für n  ≥ 1
  1. m 1 ist das Differential auf dem Kettenkomplex Hom C ( X , Y )
  2. m n erfüllen die quadratische A ∞ -Assoziativitätsgleichung für alle n  ≥ 0.

m 1 und m 2 sind Kettenabbildungen, aber die Zusammensetzungen m i höherer Ordnung sind keine Kettenabbildungen; dennoch handelt es sich um Massey-Produkte . Insbesondere handelt es sich um eine lineare Kategorie .

Beispiele sind die Fukaya-Kategorie Fuk( X ) und der Schleifenraum Ω X, wobei X ein topologischer Raum ist und A ∞ -Algebren als A ∞ -Kategorien mit einem Objekt.

Wenn es keine höheren Abbildungen (triviale Homotopien) gibt, ist C eine dg-Kategorie . Jede A ∞ -Kategorie ist funktional quasiisomorph zu einer dg-Kategorie. Ein Quasiisomorphismus ist eine Kettenabbildung, die ein Isomorphismus in Homologie ist.

Der Rahmen von dg-Kategorien und dg-Funktoren ist für viele Probleme zu eng, und es ist vorzuziehen, die breitere Klasse von A ∞ -Kategorien und A ∞ -Funktoren zu betrachten. Viele Funktionen von A ∞ - Kategorien und A ∞ -functors kommen aus der Tatsache , dass sie einen symmetrischen geschlossene Form multicategory , die in der Sprache enthüllt comonads . Aus einer höherdimensionalen Perspektive sind A ∞ -Kategorien schwache ω -Kategorien mit allen invertierbaren Morphismen. A ∞ -Kategorien können auch als nichtkommutative formale dg-Mannigfaltigkeiten mit einem geschlossenen markierten Unterschema von Objekten angesehen werden.

1993 John Barret- Bruce Westbury Sphärische Kategorien : Monoide Kategorien mit Duals für Diagramme auf Kugeln statt in der Ebene.
1993 Maxim Kontsevich Kontsevich-Invarianten für Knoten (sind Störungsentwicklungs-Feynman-Integrale für das Witten-Funktionalintegral ) definiert durch das Kontsevich-Integral. Sie sind die universellen Vassiljew-Invarianten für Knoten.
1993 Daniel befreit Eine neue Sicht auf TQFT mit modularen Tensorkategorien , die drei Ansätze für TQFT (modulare Tensorkategorien aus Pfadintegralen) vereint.
1994 Francis Borceux Handbuch der kategorialen Algebra (3 Bände).
1994 Jean Bénabou – Bruno Loiseau Orbitale in einem Topos.
1994 Maxim Kontsevich Formuliert die homologische Spiegelsymmetrievermutung : X eine kompakte symplektische Mannigfaltigkeit mit erster Chern-Klasse c 1 ( X ) = 0 und Y eine kompakte Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit sind genau dann Spiegelpaare, wenn D (Fuk X ) (die abgeleitete Kategorie des Fukaya triangulierte Kategorie von X , die aus Lagrange-Zyklen mit lokalen Systemen zusammengebraut wurde) ist äquivalent zu einer Unterkategorie von D b (Coh Y ) (der beschränkt abgeleiteten Kategorie von kohärenten Garben auf Y ).
1994 Louis Crane - Igor Frenkel Hopf-Kategorien und Konstruktion von 4D- TQFTs durch sie.
1994 John Fischer Definiert die 2-Kategorie von 2-Knoten (geknotete Flächen).
1995 Bob Gordon-John Power- Ross Street Trikategorien und ein entsprechender Kohärenzsatz : Jede schwache 3-Kategorie ist äquivalent zu einer Gray-3-Kategorie .
1995 Ross Street – Dominic Verity Oberflächendiagramme für Trikategorien.
1995 Louis Kran Münzen- Kategorisierung, die zur kategorialen Leiter führt .
1995 Sjörd Crans Ein allgemeines Verfahren zum Übertragen geschlossener Modellstrukturen einer Kategorie entlang adjungierter Funktorpaare in eine andere Kategorie.
1995 André Joyal - Ieke Moerdijk AST, Algebraische Mengenlehre : Manchmal auch kategoriale Mengenlehre genannt. Es wurde ab 1988 von André Joyal und Ieke Moerdijk entwickelt und 1995 von ihnen erstmals ausführlich als Buch vorgestellt. AST ist ein auf Kategorientheorie basierendes Framework zum Studium und Organisieren von Mengentheorien und zum Konstruieren von Modellen von Mengentheorien . Das Ziel von AST ist die Bereitstellung einer einheitlichen kategorialen Semantik bzw. Beschreibung von Mengentheorien unterschiedlicher Art (klassisch oder konstruktiv, beschränkt, prädikativ oder imprädikativ, begründet oder nicht begründet, ...), die verschiedenen Konstruktionen der kumulative Hierarchie von Mengen , erzwungenen Modellen, Garbenmodellen und Realisierbarkeitsmodellen. Anstatt sich auf Kategorien von Mengen zu konzentrieren, konzentriert sich AST auf Kategorien von Klassen. Das grundlegende Werkzeug von AST ist der Begriff einer Kategorie mit Klassenstruktur (eine Kategorie von Klassen, die mit einer Klasse kleiner Karten ausgestattet ist (die Intuition ist, dass ihre Fasern in gewisser Weise klein sind), Machtklassen und ein universelles Objekt (ein Universum )) die einen axiomatischen Rahmen bietet, in dem Modelle der Mengenlehre konstruiert werden können. Der Begriff einer Klassenkategorie erlaubt einerseits die Definition von ZF-Algebren ( Zermelo-Fraenkel-Algebren ) und verwandter Strukturen, die die Idee ausdrücken, dass die Hierarchie der Mengen eine algebraische Struktur ist, und die Interpretation der Logik erster Ordnung der elementaren Mengenlehre auf der anderen. Die Unterkategorie von Mengen in einer Klassenkategorie ist ein elementarer Topos und jeder elementare Topos kommt als Mengen in einer Klassenkategorie vor. Die Klassenkategorie selbst bettet sich immer in die ideale Ergänzung eines Topos ein. Die Interpretation der Logik ist, dass das Universum in jeder Klassenkategorie ein Modell der grundlegenden intuitionistischen Mengentheorie (BIST) ist, das in Bezug auf Klassenkategoriemodelle logisch vollständig ist. Daher verallgemeinern Klassenkategorien sowohl die Topostheorie als auch die intuitionistische Mengenlehre. AST begründet und formalisiert die Mengenlehre auf der ZF-Algebra mit den Operationen Union und Nachfolger (Singleton) statt auf dem Mitgliedschaftsverhältnis. Die ZF-Axiome sind nichts anderes als eine Beschreibung der freien ZF-Algebra, genauso wie die Peano-Axiome eine Beschreibung des freien Monoids auf einem Generator sind. In dieser Perspektive sind die Modelle der Mengenlehre Algebren für eine entsprechend präsentierte algebraische Theorie und viele bekannte mengentheoretische Bedingungen (wie Begründetheit) sind mit bekannten algebraischen Bedingungen (wie Freiheit) verbunden. Unter Verwendung des Hilfsbegriffs der kleinen Abbildung ist es möglich, die Axiome eines Topos zu erweitern und eine allgemeine Theorie zum einheitlichen Konstruieren von Modellen der Mengenlehre aus Topos bereitzustellen.
1995 Michael Makkai SFAM, Strukturalistische Grundlagen der abstrakten Mathematik . In SFAM besteht das Universum aus höherdimensionalen Kategorien, Funktoren werden durch gesättigte Anafunktoren ersetzt , Mengen sind abstrakte Mengen , die formale Logik für Entitäten ist FOLDS (Logik erster Ordnung mit abhängigen Sortierungen), bei der die Identitätsrelation nicht a priori gegeben ist durch Axiome erster Ordnung, aber aus einem Kontext abgeleitet.
1995 John Baez - James Dolan Opetopische Mengen ( Opetope ) basierend auf Operaden . Schwache n -Kategorien sind n -opetopische Mengen.
1995 John Baez - James Dolan Eingeführt , um das Periodensystem der Mathematik identifiziert , k -tuply monoidal n - Kategorien . Sie spiegelt die Tabelle der Homotopiegruppen der Kugeln wider .
1995 John Baez – James Dolan Ein Programm skizziert, in dem n- dimensionale TQFTs als n- Kategorie-Darstellungen beschrieben werden .
1995 John Baez – James Dolan Vorgeschlagene n- dimensionale Deformationsquantisierung .
1995 John Baez – James Dolan Tangle-Hypothese : Die n- Kategorie von gerahmten n- Tangles in n + k Dimensionen ist ( n  +  k )-äquivalent zur freien schwachen k- tuply monooidalen n- Kategorie mit Dualen auf einem Objekt.
1995 John Baez - James Dolan Kobordismus-Hypothese (Erweiterte TQFT-Hypothese I): Die n- Kategorie, von der n- dimensionale erweiterte TQFTs Darstellungen sind, nCob , ist die freie stabile schwache n- Kategorie mit Dualen auf einem Objekt.
1995 John Baez - James Dolan Stabilisierungshypothese : Nach n + 2- maligem Suspendieren einer schwachen n -Kategorie haben weitere Suspendierungen keine wesentliche Wirkung. Der Federungsfunktor S : nKat k → nKat k +1 ist eine Äquivalenz der Kategorien für k = n + 2.
1995 John Baez - James Dolan Erweiterte TQFT-Hypothese II: Eine n- dimensionale unitäre erweiterte TQFT ist ein schwacher n- Funktor, der alle Dualitätsebenen bewahrt, von der freien stabilen schwachen n- Kategorie mit Dualen auf einem Objekt bis zu nHilb .
1995 Valentin Lychagin Kategoriale Quantisierung
1995 Pierre Deligne - Vladimir Drinfeld - Maxim Kontsevich Abgeleitete algebraische Geometrie mit abgeleiteten Schemata und abgeleiteten Modulstapeln . Ein Programm zur Bearbeitung von algebraischen Geometrie- und insbesondere Modulproblemen in der abgeleiteten Kategorie von Schemata oder algebraischen Varietäten statt in ihren normalen Kategorien.
1997 Maxim Kontsevich Formaler Deformationsquantisierungssatz : Jede Poisson-Mannigfaltigkeit besitzt ein differenzierbares Sternprodukt und sie werden durch formale Deformationen der Poisson-Struktur bis zur Äquivalenz klassifiziert.
1998 Claudio Hermida- Michael- Makkai - John Power Multitope , Multitopische Sets.
1998 Carlos Simpson Simpson-Vermutung : Jede schwache ∞-Kategorie ist äquivalent zu einer ∞-Kategorie, in der Zusammensetzungs- und Austauschgesetze streng sind und nur die Einheitsgesetze schwach gelten dürfen. Es ist für 1,2,3- Kategorien mit einem einzigen Objekt bewiesen .
1998 André Hirschowitz-Carlos Simpson Geben Sie eine Modellkategoriestruktur für die Kategorie der Segal-Kategorien an. Segal-Kategorien sind die fibrant-cofibrant-Objekte und Segal-Karten sind die schwachen Äquivalenzen . Tatsächlich verallgemeinern sie die Definition auf die einer Segal n -Kategorie und geben eine Modellstruktur für Segal n -Kategorien für jedes n ≥ 1 an.
1998 Chris Isham – Jeremy Butterfield Kochen-Specker-Theorem in der Topos-Theorie der Vorgarben: Die spektrale Vorgarbe (die Vorgarbe, die jedem Operator sein Spektrum zuweist) hat keine globalen Elemente ( globale Abschnitte ), sondern kann Teilelemente oder lokale Elemente haben . Ein globales Element ist das Analogon für die gewöhnliche Idee eines Elements einer Menge. Dies entspricht in der Quantentheorie dem Spektrum der C*-Algebra von Observablen in einem Topos ohne Punkte.
1998 Richard Thomas Richard Thomas, ein Schüler von Simon Donaldson , führt Donaldson-Thomas-Invarianten ein, die Systeme numerischer Invarianten komplex orientierter 3-Mannigfaltigkeiten X sind , analog zu Donaldson-Invarianten in der Theorie der 4-Mannigfaltigkeiten. Sie sind bestimmte gewichtete Euler-Eigenschaften des Modulraums von Garben auf X und "zählen" Gieseker semistabile kohärente Garben mit festem Chern-Charakter auf X . Idealerweise sollten die Modulräume eine kritische Menge von holomorphen Chern-Simons-Funktionen sein und die Donaldson-Thomas-Invarianten sollten die Anzahl der kritischen Punkte dieser Funktion sein, richtig gezählt. Derzeit existieren solche holomorphen Chern-Simons-Funktionen bestenfalls lokal.
1998 John Baez Spin-Schaum-Modelle : Ein 2-dimensionaler Zellkomplex mit durch Repräsentationen beschrifteten Flächen und durch Verflechtungsoperatoren beschrifteten Kanten . Spinschäume sind Funktoren zwischen den Spinnetzwerkkategorien . Jede Scheibe eines Spinnschaums ergibt ein Spinnnetzwerk.
1998 John Baez – James Dolan Mikrokosmos-Prinzip : Bestimmte algebraische Strukturen können in jeder Kategorie definiert werden, die mit einer kategorisierten Version derselben Struktur ausgestattet ist.
1998 Alexander Rosenberg Nichtkommutative Schemata : Das Paar (Spec( A ),O A ), wobei A eine abelsche Kategorie ist und ihr ein topologischer Raum Spec( A ) zusammen mit einem Bündel von Ringen O A darauf zugeordnet ist. Im Fall A = QCoh ( X ) für X a Schema ist das Paar (Spec( A ),O A ) natürlich isomorph zum Schema ( X Zar ,O X ) unter Verwendung der Äquivalenz der Kategorien QCoh (Spec( R )) = Mod R . Allgemeine abelschen Kategorien oder triangulierte Kategorien oder DG-Kategorien oder eine ∞ - Kategorien sollten als Kategorien von quasicoherent Scheiben (oder Komplexen von Scheiben) auf nichtkommutative Schemata betrachtet werden. Dies ist ein Ausgangspunkt in der nichtkommutativen algebraischen Geometrie . Das bedeutet, dass man sich die Kategorie A selbst als Raum vorstellen kann. Da A abelsch ist, erlaubt es auf natürliche Weise homologische Algebra auf nichtkommutativen Schemata und damit Garben-Kohomologie .
1998 Maxim Kontsevich Calabi-Yau-Kategorien : Eine lineare Kategorie mit einer Trace-Map für jedes Objekt der Kategorie und einer zugehörigen symmetrischen (in Bezug auf Objekte) nicht entarteten Paarung zur Trace-Map. Wenn X eine glatte projektive Calabi-Yau-Varietät der Dimension d ist, dann ist D b (Coh( X )) eine unitale Calabi-Yau A ∞ -Kategorie der Calabi-Yau-Dimension d . Eine Calabi-Yau-Kategorie mit einem Objekt ist eine Frobenius-Algebra .
1999 Joseph Bernstein – Igor Frenkel – Mikhail Khovanov Temperley-Lieb-Kategorien : Objekte werden durch nichtnegative ganze Zahlen aufgezählt . Die Menge der Homomorphismen von Objekt n zu Objekt m ist ein freier R- Modul mit einer Basis über einem Ring R . R ist gegeben durch die Isotopieklassen von Systemen von (| n | + | m |)/2 einfachen paarweise disjunkten Bögen innerhalb eines horizontalen Streifens auf der Ebene, die sich paarweise | . verbinden n | Punkte unten und | m | Punkte oben in einer bestimmten Reihenfolge. Morphismen werden zusammengesetzt, indem ihre Diagramme verkettet werden. Temperley-Lieb-Kategorien werden in Temperley-Lieb-Algebren kategorisiert .
1999 Moira Chas – Dennis Sullivan Konstruiert Stringtopologie durch Kohomologie. Dies ist Stringtheorie über allgemeine topologische Mannigfaltigkeiten.
1999 Michail Chovanow Khovanov-Homologie : Eine Homologietheorie für Knoten, bei der die Dimensionen der Homologiegruppen die Koeffizienten des Jones-Polynoms des Knotens sind.
1999 Vladimir Turaev Homotopie-Quantenfeldtheorie HQFT
1999 Vladimir Voevodsky – Fabien Morel Konstruiert die Homotopiekategorie von Schemata .
1999 Ronald Brown – George Janelidze 2-dimensionale Galois-Theorie
2000 Wladimir Wojewodski Gibt zwei Konstruktionen der motivischen Kohomologie von Varietäten an, durch Modellkategorien in der Homotopietheorie und durch eine triangulierte Kategorie von DM-Motiven.
2000 Yasha Eliashberg – Alexander Givental – Helmut Hofer Symplektische Feldtheorie SFT : Ein Funktor Z aus einer geometrischen Kategorie von gerahmten Hamilton-Strukturen und gerahmten Kobordismen zwischen ihnen zu einer algebraischen Kategorie von bestimmten differentiellen D-Modulen und Fourier-Integraloperatoren zwischen ihnen und einige Axiome erfüllend.
2000 Paul Taylor ASD (Abstract Stone Dualität): Eine sowohl konstruktive als auch berechenbare Reaxiomatisierung des Raums und der Karten in der allgemeinen Topologie im Sinne des λ-Kalküls berechenbarer stetiger Funktionen und Prädikate. Die Topologie auf einem Raum wird nicht als Gitter behandelt, sondern als exponentielles Objekt derselben Kategorie wie der ursprüngliche Raum mit zugehörigem -Kalkül . Jeder Ausdruck im λ-Kalkül bezeichnet sowohl eine stetige Funktion als auch ein Programm. ASD verwendet nicht die Kategorie der Mengen , aber die vollständige Unterkategorie der offenen diskreten Objekte spielt diese Rolle (ein offenes Objekt ist das Duale zu einem kompakten Objekt) und bildet ein arithmetisches Universum (Prätopos mit Listen) mit allgemeiner Rekursion.

2001–heute

Jahr Mitwirkende Vorfall
2001 Charles Rezk Konstruiert eine Modellkategorie mit bestimmten verallgemeinerten Segal-Kategorien als die fibranten Objekte und erhält so ein Modell für eine Homotopietheorie von Homotopietheorien. Gleichzeitig werden komplette Segal-Räume eingeführt.
2001 Charles Rezk Modelltoposen und ihre Verallgemeinerung Homotopietoposen (ein Modelltopos ohne die t-Vollständigkeitsannahme).
2002 Bertrand Toën - Gabriele Vezzosi Segal-Topos, die von Segal-Topologien stammen , Segal-Sites und Stapel darüber.
2002 Bertrand Toën-Gabriele Vezzosi Homotope algebraische Geometrie : Die Hauptidee besteht darin, Schemata zu erweitern , indem die Ringe formal durch jede Art von "homotopie-ringähnlichem Objekt" ersetzt werden. Genauer gesagt handelt es sich bei diesem Objekt um ein kommutatives Monoid in einer symmetrischen monoidalen Kategorie , das mit einem Begriff von Äquivalenzen ausgestattet ist, die als "bis zur Homotopie-Monoid" (zB E ∞ -Ringe ) verstanden werden.
2002 Peter Johnstone Einflussreiches Buch: Skizzen eines Elefanten – ein Kompendium der Topos-Theorie. Es dient als Enzyklopädie der Topos- Theorie (zwei von drei Bänden erschienen 2008).
2002 Dennis Gaitsgory- Kari Vilonen-Edward Frenkel Beweist das geometrische Langlands-Programm für GL( n ) über endlichen Körpern.
2003 Denis-Charles Cisinski Macht weiter an ABC-Modellkategorien und bringt sie wieder ans Licht. Von da an werden sie nach ihren Mitwirkenden ABC-Modellkategorien genannt.
2004 Dennis Gaitsgory Der Beweis des geometrischen Langlands-Programms wurde um GL( n ) über C erweitert . Dies ermöglicht es, Kurven über C statt über endlichen Körpern im geometrischen Langlands-Programm zu betrachten.
2004 Mario Caccamo Formaler kategorientheoretischer erweiterter λ-Kalkül für Kategorien.
2004 Francis Borceux-Dominique Bourn Homologische Kategorien
2004 William Dwyer-Philips Hirschhorn- Daniel Kan- Jeffrey Smith Führt in dem Buch Homotopie-Grenzfunktoren zu Modellkategorien und homotopischen Kategorien einen Formalismus homotopischer Kategorien und homotopischer Funktoren (schwache äquivalenzerhaltende Funktoren) ein, die den Modellkategorieformalismus von Daniel Quillen verallgemeinern . Eine homotopische Kategorie hat nur eine ausgezeichnete Klasse von Morphismen (die alle Isomorphismen enthält), die als schwache Äquivalenzen bezeichnet werden und das Zwei-von-Sechs-Axiom erfüllen. Dies ermöglicht die Definition homotopischer Versionen von Anfangs- und Endobjekten , Grenz- und Kolimitfunktoren (die durch lokale Konstruktionen im Buch berechnet werden), Vollständigkeit und Kovollständigkeit , Adjunktionen , Kan-Erweiterungen und universellen Eigenschaften .
2004 Dominic Verity Beweist die Street-Roberts-Vermutung .
2004 Rossstraße Definition der schwachen ω-Kategorie des Abstiegs einer kosimplizialen schwachen ω-Kategorie.
2004 Rossstraße Charakterisierungssatz für Kosmosen : Eine Doppelkategorie M ist ein Kosmos, wenn es eine Basisdoppelkategorie W gibt, so dass M biäquivalent zu Mod W ist . W kann als jede vollständige Unterkategorie von M aufgefasst werden, deren Objekte einen kleinen Cauchy-Generator bilden .
2004 Ross Street - Brian Day Quantenkategorien und Quantengruppenoide : Eine Quantenkategorie über einer geflochtenen monoidalen Kategorie V ist ein Objekt R mit einem Opmorphismus h : R op ⊗ R → A in ein Pseudomonoid A derart, dass h * stark monoidal ist (erhält Tensorprodukt und Einheit bis kohärent natürliche Isomorphismen) und alle R, h und A liegen in der autonomen monoiden Doppelkategorie Comod( V ) co der Comonoiden. Comod ( V ) = Mod ( V op ) Coop . Quantenkategorien wurden eingeführt, um Hopf-Algebroide und -Gruppoide zu verallgemeinern . Ein Quantengruppoid ist eine Hopf-Algebra mit mehreren Objekten.
2004 Stephan Stolz - Peter Teichner Definition von nD QFT vom Grad p parametrisiert durch eine Mannigfaltigkeit.
2004 Stephan Stolz - Peter Teichner Graeme Segal schlug in den 1980er Jahren vor, eine geometrische Konstruktion der elliptischen Kohomologie (der Vorstufe von tmf ) als eine Art Modulraum von CFTs bereitzustellen . Stephan Stolz und Peter Teichner führten diese Ideen in einem Programm zur Konstruktion von TMF als Modulraum supersymmetrischer euklidischer Feldtheorien fort und erweiterten sie . Sie vermuteten ein Stolz-Teichner-Bild (Analogie) zwischen Klassifikationsräumen von Kohomologietheorien in der chromatischen Filterung (de Rham-Kohomologie, K-Theorie, Morava-K-Theorien) und Modulräumen supersymmetrischer QFTs parametrisiert durch eine Mannigfaltigkeit (bewiesen in 0D und 1D ).
2005 Peter Selinger Dolchkategorien und Dolchfunktoren . Dolchkategorien scheinen Teil eines größeren Rahmens zu sein, der n- Kategorien mit Dualen umfasst .
2005 Peter Ozsváth - Zoltán Szabó Knoten Florer Homologie
2006 P. Carrasco-AR Garzon-EM Vitale Kategoriale gekreuzte Module
2006 Aslak Bakke Buan – Robert Marsh – Markus Reineke – Idun Reiten – Gordana Todorov Clusterkategorien : Clusterkategorien sind ein Spezialfall triangulierter Calabi-Yau-Kategorien der Calabi-Yau-Dimension 2 und eine Verallgemeinerung von Clusteralgebren .
2006 Jacob Lurie Monumentales Buch: Höhere Topos-Theorie : Auf seinen 940 Seiten verallgemeinert Jacob Lurie die gängigen Konzepte der Kategorientheorie auf höhere Kategorien und definiert n- Toposen , ∞-Toposen , Garben von n- Typen , ∞-Sites , ∞- Yoneda-Lemma und beweist Lurie Charakterisierungssatz für höherdimensionale Toposen. Luries Theorie der höheren Toposen kann als eine gute Theorie der Garben mit Werten in ∞-Kategorien interpretiert werden. Grob gesagt ist ein ∞-Topos eine ∞-Kategorie, die wie die ∞-Kategorie aller Homotopietypen aussieht . In einem Topos kann Mathematik gemacht werden. In einem höheren Topos kann nicht nur Mathematik betrieben werden, sondern auch " n- Geometrie", die höhere Homotopietheorie . Die Topos-Hypothese lautet, dass die ( n +1)-Kategorie n Cat ein Grothendieck ( n +1)-Topos ist. Die höhere Topostheorie kann auch rein algebro-geometrisch verwendet werden, um verschiedene Modulprobleme in diesem Kontext zu lösen.
2006 Marni Dee Sheppeard Quantentoposen
2007 Bernhard Keller-Thomas Hugh D-Cluster-Kategorien
2007 Dennis Gaitsgory - Jacob Lurie Stellt eine abgeleitete Version der geometrischen Satake-Äquivalenz dar und formuliert eine geometrische Langlands-Dualität für Quantengruppen .

Die geometrische Satake-Äquivalenz realisiert die Kategorie der Darstellungen der Langlands-Doppelgruppe L G in Form von sphärischen perversen Garben (oder D-Modulen ) auf dem affinen Grassmannschen Gr G = G (( t ))/ G [[t]] der ursprüngliche Gruppe G .

2008 Ieke Moerdijk- Clemens Berger Erweitert und verbessert die Definition der Reedy-Kategorie , sodass sie bei der Äquivalenz der Kategorien invariant wird .
2008 Michael J. Hopkins – Jacob Lurie Beweisskizze der Baez-Dolan- Tangle-Hypothese und der Baez-Dolan- Kobordismus-Hypothese, die erweiterte TQFT in allen Dimensionen klassifizieren .
2019 Brendan Fong – David Spivak Erstes Lehrbuch für das aufstrebende Feld Applied Category Theory , in dem die Kategorientheorie außerhalb der reinen Mathematik angewendet wird: An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • nLab , ebenso wie eine höherdimensionale Wikipedia, startete Ende 2008; siehe nLab
  • Zhaohua Luo; Homepage zur kategorialen Geometrie
  • John Baez, Aaron Lauda; Eine Vorgeschichte der n-kategorialen Physik
  • Ross-Straße; Ein australischer Konspekt der höheren Kategorien
  • Elaine Landry, Jean-Pierre Marquis; Kategorien im Kontext: historisch, grundlegend und philosophisch
  • Jim Stasheff; Ein Überblick über die kohomologische Physik
  • John Bell; Die Entwicklung der kategorialen Logik
  • Jean Dieudonne; Die historische Entwicklung der algebraischen Geometrie
  • Charles Weibel; Geschichte der homologischen Algebra
  • Peter Johnstone; Der Punkt der sinnlosen Topologie
  • Jim Stasheff; Die Vorgeschichte der Opern CiteSeer x :  10.1.1.25.5089
  • George Whitehead; 50 Jahre Homotopietheorie
  • Haynes Miller; Der Ursprung der Garbentheorie